第四章 一元一次方程 专项训练 新定义型试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第四章 一元一次方程 专项训练 新定义型试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-19 14:59:31 | ||
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文档简介
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专项训练
新定义型试题
类型一 数与新定义
1.如果定义新运算“＆”满足a＆b＝a×b＋a-b，那么1＆3＝__________.
2.已知：［x］表示不超过x的最大整数.例：［4.8］＝4，［-0.8］＝-1.现定义：{x}＝x-［x］，例：｛1.5｝＝1.5-［1.5］＝0.5，则{3.9}＋{-1.8}-{1}＝____________.
3.设a、b是任意两个有理数，规定a与b之间的一种运算“ ”为a b＝
例如：1 （-3）＝＝-3，（-3） 2＝（-3）-2＝-5.
参照上面材料，解答下列问题：
2 4＝____________，（-2） 4＝______________.
4.对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab＝ba；②对加法的分配律：c（a＋b）＝ca＋cb.现对a b这种运算作如下定义，规定：a b＝a·b＋a＋b.
（1）计算（-3） 2和2 （-3）的值，并据此推断这种运算是否满足交换律；
（2）举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律.
5.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.
定义：对于自然数n，在计算n＋（n＋1）＋（n＋2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.
例如：32是“纯数”，因为在计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为在计算23＋24＋25时，个位产生了进位.
（1）判断2019和2020是不是“纯数”，请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数.
类型二 式与新定义
6.定义一种新运算，规定：a b＝3a-b.
（1）请计算（-1） ＝____________；
（2）若a （-6b）＝-2，请计算（2a＋b） （2a-5b）的值.
7.根据下列材料，解答问题.
等比数列求和：
概念：对于一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q（q为常数，且q≠1），那么这一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数）成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比.
例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和.
解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100
则3S＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101
因此3S-S＝3101-1，所以S＝，
即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝.
（1）仿照例题，求等比数列1，5，52，53，…，52018的和；
（2）如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），请你求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018的值.
类型三 方程与新定义
8.在有理数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b＝-2a＋3b，如1 5＝-2×1＋3×5＝13，则方程2x 4＝0的解为____________.
9.定义一种新运算“”，规定：ab＝a-2b，除新运算“”外，其他运算完全按有理数和整式的运算进行.
（1）直接写出ba的结果：_________（用含a、b的代数式表示）；
（2）化简［（2x＋y）（x-y）］3y；
（3）解方程：2（1x）＝x.
类型四 新型数（对数）的运算与新定义
10.阅读下列材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年～1617年）.纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪，瑞士数学家欧拉（Euler，1707年～1783年）才发现指数和对数的联系.
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.比如指数式24＝16可转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可转化为指数式52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M·N）＝logaM＋logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M·N＝am·an＝am+n，由对数的定义得m＋n＝loga（M·N），
又∵m＋n＝logaM＋logaN，∴.loga（M·N）＝logaM＋logaN.
请解答下列问题：
（1）根据材料，某同学写出了三个式子：①log232＝5，②log416＝4，③＝1.其中正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
（2）①指数式43＝64可转化为对数式__________；
②证明：loga＝logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
③拓展应用：计算log32＋log36-log34＝__________；
（3）延伸应用：对数还有如下的运算法则：logaan＝n，
logNM＝（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0），例如：log223＝3，log25＝，
则log1001000＝____________.
参考答案
1.答案 1
解析 根据题中的新定义，得1＆3＝1×3＋1-3＝3＋1-3＝1.
2.答案 1.1
解析 依题意得｛3.9｝＋{-1.8}-{1}＝3.9-［3.9］＋（-1.8）-［-1.8］-1＋［1］＝3.9-3-1.8＋2-1＋1＝1.1，故答案为1.1.
3.答案 2；-6
解析 ∵a b，2＞0，-2＜0，∴2 4＝＝2，,
（-2） 4＝-2-4＝-6.
4.解析 （1）根据题中的新定义，得（-3） 2＝-3×2-3＋2＝-7，
2 （-3）＝2×（-3）＋2-3＝-6＋2-3＝-7.
∵（-3） 2＝2 （-3），∴这种运算满足交换律.
（2）3 （-2＋1）＝3 （-1）＝3×（-1）＋3-1＝-1，
3 （-2）＋3 1＝3×（-2）＋3-2＋3×1＋3＋1＝2，
∴这种运算不满足对加法的分配律.
5.解析 （1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”.理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，在计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，
∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”.
（2）分三种情况讨论：
①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为两位自然数时，十位上的数只能为1、2、3，个位上的数只能为0、1、2，所以这个数可以是10、11、12、20、21、22、30、31、32，共9个；
③当这个数为100时，易知100是“纯数”.
综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13.
6.解析 （1）.
（2）a （-6b）＝-2，即3a＋6b＝-2，a＋2b＝，
∴（2a＋b） （2a-5b）＝（2a＋b）×3-（2a-5b）＝6a＋3b-2a＋5b＝4a＋8b＝4（a＋2b）＝＝-3.
7.解析 （1）令M＝1＋5＋52＋53＋…＋52018，则5M＝5＋52＋53＋…＋52018＋52019，
因此5M-M＝52019-1，所以M＝，即1＋5＋52＋53＋…＋52018＝.
（2）令s＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018，则ms＝m＋m2＋m3＋m4＋m5＋…＋m2018＋m2019，
所以ms-s＝m2019-1，即（m-1）s＝m2019-1，所以s＝，即1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018＝（m≠0且m≠1）.
8.答案 x＝3
解析 ∵a b＝-2a＋3b，2x 4＝0，∴2x 4＝-2x2x＋3×4＝0，解得x＝3.
9.解析 （1）b-2a.
（2）根据题中的新定义，
得原式［（2x＋y）-2（x-y）］3y＝（x＋3y）3y＝（x＋3y）-2x3y＝x-3y.
（3）利用新定义，可将方程化为2-2（1-2x）＝-2x，
去括号，得2-2＋4x＝-2x，
移项，得4x＋2x＝-2＋2，
合并同类项，得6x＝，
系数化为1，得x＝.
10.解析 （1）log232＝5，log416＝2，＝1，故正确的是①③.故答案为B.
（2）①log464＝3.
②证明：设logaM＝p，logaN＝q，则ap＝M，aq＝N，
∴，由对数的定义得p-q＝loga，
又∵p-q＝logaM-logaN，∴loga＝logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）.
③log32＋log36-log34＝log3＝log33＝1.故答案为1.
（3）∵logNM＝. ∴log1001000＝.
又∵logaan＝n，∴log10103＝3，log10102＝2.
∴，故答案为.
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专项训练
新定义型试题
类型一 数与新定义
1.如果定义新运算“＆”满足a＆b＝a×b＋a-b，那么1＆3＝__________.
2.已知：［x］表示不超过x的最大整数.例：［4.8］＝4，［-0.8］＝-1.现定义：{x}＝x-［x］，例：｛1.5｝＝1.5-［1.5］＝0.5，则{3.9}＋{-1.8}-{1}＝____________.
3.设a、b是任意两个有理数，规定a与b之间的一种运算“ ”为a b＝
例如：1 （-3）＝＝-3，（-3） 2＝（-3）-2＝-5.
参照上面材料，解答下列问题：
2 4＝____________，（-2） 4＝______________.
4.对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab＝ba；②对加法的分配律：c（a＋b）＝ca＋cb.现对a b这种运算作如下定义，规定：a b＝a·b＋a＋b.
（1）计算（-3） 2和2 （-3）的值，并据此推断这种运算是否满足交换律；
（2）举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律.
5.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.
定义：对于自然数n，在计算n＋（n＋1）＋（n＋2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.
例如：32是“纯数”，因为在计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为在计算23＋24＋25时，个位产生了进位.
（1）判断2019和2020是不是“纯数”，请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数.
类型二 式与新定义
6.定义一种新运算，规定：a b＝3a-b.
（1）请计算（-1） ＝____________；
（2）若a （-6b）＝-2，请计算（2a＋b） （2a-5b）的值.
7.根据下列材料，解答问题.
等比数列求和：
概念：对于一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即＝q（q为常数，且q≠1），那么这一列数a1，a2，a3，…，an（n为正整数）成等比数列，这一常数q叫做该数列的公比.
例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和.
解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100
则3S＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101
因此3S-S＝3101-1，所以S＝，
即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝.
（1）仿照例题，求等比数列1，5，52，53，…，52018的和；
（2）如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），请你求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018的值.
类型三 方程与新定义
8.在有理数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为a b＝-2a＋3b，如1 5＝-2×1＋3×5＝13，则方程2x 4＝0的解为____________.
9.定义一种新运算“”，规定：ab＝a-2b，除新运算“”外，其他运算完全按有理数和整式的运算进行.
（1）直接写出ba的结果：_________（用含a、b的代数式表示）；
（2）化简［（2x＋y）（x-y）］3y；
（3）解方程：2（1x）＝x.
类型四 新型数（对数）的运算与新定义
10.阅读下列材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年～1617年）.纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪，瑞士数学家欧拉（Euler，1707年～1783年）才发现指数和对数的联系.
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.比如指数式24＝16可转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可转化为指数式52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M·N）＝logaM＋logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M·N＝am·an＝am+n，由对数的定义得m＋n＝loga（M·N），
又∵m＋n＝logaM＋logaN，∴.loga（M·N）＝logaM＋logaN.
请解答下列问题：
（1）根据材料，某同学写出了三个式子：①log232＝5，②log416＝4，③＝1.其中正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
（2）①指数式43＝64可转化为对数式__________；
②证明：loga＝logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
③拓展应用：计算log32＋log36-log34＝__________；
（3）延伸应用：对数还有如下的运算法则：logaan＝n，
logNM＝（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0），例如：log223＝3，log25＝，
则log1001000＝____________.
参考答案
1.答案 1
解析 根据题中的新定义，得1＆3＝1×3＋1-3＝3＋1-3＝1.
2.答案 1.1
解析 依题意得｛3.9｝＋{-1.8}-{1}＝3.9-［3.9］＋（-1.8）-［-1.8］-1＋［1］＝3.9-3-1.8＋2-1＋1＝1.1，故答案为1.1.
3.答案 2；-6
解析 ∵a b，2＞0，-2＜0，∴2 4＝＝2，,
（-2） 4＝-2-4＝-6.
4.解析 （1）根据题中的新定义，得（-3） 2＝-3×2-3＋2＝-7，
2 （-3）＝2×（-3）＋2-3＝-6＋2-3＝-7.
∵（-3） 2＝2 （-3），∴这种运算满足交换律.
（2）3 （-2＋1）＝3 （-1）＝3×（-1）＋3-1＝-1，
3 （-2）＋3 1＝3×（-2）＋3-2＋3×1＋3＋1＝2，
∴这种运算不满足对加法的分配律.
5.解析 （1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”.理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，在计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，
∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”.
（2）分三种情况讨论：
①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为两位自然数时，十位上的数只能为1、2、3，个位上的数只能为0、1、2，所以这个数可以是10、11、12、20、21、22、30、31、32，共9个；
③当这个数为100时，易知100是“纯数”.
综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13.
6.解析 （1）.
（2）a （-6b）＝-2，即3a＋6b＝-2，a＋2b＝，
∴（2a＋b） （2a-5b）＝（2a＋b）×3-（2a-5b）＝6a＋3b-2a＋5b＝4a＋8b＝4（a＋2b）＝＝-3.
7.解析 （1）令M＝1＋5＋52＋53＋…＋52018，则5M＝5＋52＋53＋…＋52018＋52019，
因此5M-M＝52019-1，所以M＝，即1＋5＋52＋53＋…＋52018＝.
（2）令s＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018，则ms＝m＋m2＋m3＋m4＋m5＋…＋m2018＋m2019，
所以ms-s＝m2019-1，即（m-1）s＝m2019-1，所以s＝，即1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018＝（m≠0且m≠1）.
8.答案 x＝3
解析 ∵a b＝-2a＋3b，2x 4＝0，∴2x 4＝-2x2x＋3×4＝0，解得x＝3.
9.解析 （1）b-2a.
（2）根据题中的新定义，
得原式［（2x＋y）-2（x-y）］3y＝（x＋3y）3y＝（x＋3y）-2x3y＝x-3y.
（3）利用新定义，可将方程化为2-2（1-2x）＝-2x，
去括号，得2-2＋4x＝-2x，
移项，得4x＋2x＝-2＋2，
合并同类项，得6x＝，
系数化为1，得x＝.
10.解析 （1）log232＝5，log416＝2，＝1，故正确的是①③.故答案为B.
（2）①log464＝3.
②证明：设logaM＝p，logaN＝q，则ap＝M，aq＝N，
∴，由对数的定义得p-q＝loga，
又∵p-q＝logaM-logaN，∴loga＝logaM-logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）.
③log32＋log36-log34＝log3＝log33＝1.故答案为1.
（3）∵logNM＝. ∴log1001000＝.
又∵logaan＝n，∴log10103＝3，log10102＝2.
∴，故答案为.
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