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数学归纳法
一、引例:
(1)第一张骨牌必须能倒下
(2)假若第k(k≥1)张能倒下
时,一定能压倒紧挨着它的
第k+1张骨牌
(游戏开始的基础)
(游戏继续的条件)
分析:
能够使游戏一直连续运行的条件:
类似地,把关于自然数n的命题
看作多米诺骨牌,产生一种符合
运行条件的方法:
(递推基础)
(递推依据)
由(1)(2)知,游戏可以一直
连续运行。
由(1)(2)知,命题对于一切
n≥n。的自然数n都正确。
我们把以上证明关于自然数n的
命题的方法,叫做数学归纳法。
数学归纳法:
二、讲授新课
(1)证明:当n取第一个值n0结论正确;
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,
证明当n=k+1时结论也正确.
由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n
都正确。
注意:(1)是递推的基础(2)是递推的依据,二者缺一不可。
证明:(1)当n=1时,
等式是成立的.
(2)假设当n=k时等式成立,就是
那么
这就是说,当n=k+1时,等式也成立
由(1)和(2),可知的等式对任何 都成立.
例1数学归纳法证明等差数列通项公式:
三、例题分析
例2 用数学归纳法证明
证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立.
(2)假设当 时,等式成立,就是
那么
这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2),可知的等式对任何 都成立.
要证明的
目标是:
1+3+5+…
+(2k-1)+[2(k+1)-1]=(k+1)^2
四。课堂练习:
C
B
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变“n=k+1”时,不等式左边的变化是( ):
3 用数学归纳法证:
D
以上题目告诉我们用数学归纳法证明
命题的步骤(2)中,要注意对n=k到n=k+1
的正确理解,以及由n=k到n=k+1的过程中所
变化的部分。
评析:
4.求证:
证明:
一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题.
五、小结
二、用数学归纳法证明命题的步骤:
(1)证明:当n取第一个值n0结论正确;
(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
由(1),(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。
递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明
莫忘掉
作业: