数学必修Ⅱ北师大版1.6垂直关系精品课件

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垂直关系
习题课
垂直关系 习题课
复习与回顾
一 、线面垂直的定义和判定定理：
1．如果一条直线和一个平面内的 都垂直，那么称这条直线和这个平面 ．
2．直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
任何一条直线
垂直
两条相交
二 、面面垂直的定义和判定定理：
1. 两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
2．平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直．
直二面角
一条垂线
三、 线面垂直与面面垂直性质定理
四、垂直关系的转化
线线垂直
面面垂直
线面垂直
判定
判定
性质
性质
（习题1－6 B组2）如图，P为△ABC所在直线外一点。PA⊥PC,PA ⊥PB,PB ⊥PC
PH ⊥平面ABC于H。
求证（1）H是△ABC的垂心。（2）△ABC为锐角三角形。
习题演练
分析：1 要证H是垂心，先证AH ⊥BC。于是连接AH交BC于D
2 由AP ⊥面PBC得BC⊥PA。
3 由PH ⊥BC得BC ⊥平面PAH。
4 对于第二问，由第一问知AD ⊥BC于D，所以要证三
角形为锐角三角形，须证H在三角形内。
证明：(1)连接AH并延长交BC于D。
∴ ∵ PA⊥PB,PA ⊥PC,PA∩PC=P;
∴ PA ⊥平面PBC.
又∵BC
面PBC
∴ PA ⊥BC
∵PH ⊥平面ABC，BC
∴PH ⊥BC
∴BC ⊥平面PAH,而AH
∴BC ⊥AH.
同理，BH ⊥AC;CH ⊥AB.
∴H为△ABC的垂心。
平面ABC
平面PAH，
(2) 由已知，∠BPC=90°;连接PD，由第一问知PD ⊥BC
则D在线段BC上，又因为AD ⊥BC,从而∠ABC, ∠ACB都是锐角。
同理可证， ∠BAC也为锐角。故△ABC为锐角三角形。
(2)方法2：由图可知P在以AC为直径的圆上，AB＞PA,BC＞PC
∴B在以AC为直径的圆外。因此∠ABC为锐角。同理其余角也是锐角。
问题 1上题图形中有几个直角三角形？
引申与创新
问题 2 一个四面体中可以有四个直角三角形吗？
C
B
A
P
A
C
B
C
P
B
C
P
A
设计1
引申与创新
P
A
B
问题 2 一个四面体中可以有四个直角三角形吗？
设计2
如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，
引申与创新
B
A
C
设计3
问题 2 一个四面体中可以有四个直角三角形吗？
P
P
A
C
B
A
A
C
B
C
P
B
引申与创新
探究
B
C
P
A
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究1 BC⊥平面PAC吗？
C
B
P
A
探究
B
C
P
A
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究2 BC⊥PC吗？
探究3 △PBC为直角三角形吗？
C
B
P
A
探究
B
C
P
A
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究4 图中有几个直角三角形？
C
B
A
P
A
C
B
C
P
P
A
B
探究
B
C
P
A
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究5 面PBC⊥面PAC吗？
探究6 若AM⊥PC ，那么AM⊥平面PBC吗？
探究
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究7若AM⊥PC于M，AN⊥PB于N，连MN，则:（1）PB ⊥平面AMN吗？（2）PB ⊥MN吗？
探究
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究8 若AM⊥PC于M，AN⊥PB于N，连MN，则∠ANM是二面角A-PB-C的一个平面角吗？
探究
B
C
P
A
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究9 图中互相垂直的平面有几对？
探究
对设计1就垂直关系进行探究，即PA⊥平面ABC，BC ⊥AC于C
探究10 若CQ ⊥ PB于Q，CS ⊥AB于S，连接QS。则 PB ⊥平面PQS吗？
开拓思维
拓展一 本节探究仅对设计1中垂直关系进行了探讨；还可以就点面距离，线面角，面面角等进行探一究。本题还可以以圆柱，棱柱等载体给出。
拓展二 对于设计2，还可就设计1所探究的10个方面进行同样探究；
拓展三 对于设计1，二面角A-PB-C的平面角如何做？
拓展四 研究边长为a的正四面体的距离和角、内切球外切球的半径。
解题反思
本节通过一道课本习题，引申到四直角四面体，并以此为载体对空间垂直关系进行探究，进而拓展到空间点线面关系的研究，给我们以下启示：
1 要善于对课本典型例题，习题和高考题进行联系思考。探究与创新是无止境的，以后还要继续进行。
2 只有善于创新，勇于探究，活学活用，培养能力，才能形成方法。
3 本节运用了化归等数学思想，平时要重视在数学思想指导下思考问题。
作业：
整理出设计1的10个探究问题；并仿此探究设计2.
思考题：拓展三，四.
引申与创新
C
B
P
A
P
P
A
C
B
A
A
C
B
C
P
谢谢大家！