数学必修4北师大版1.6余弦函数的图像与性质课件

(共22张PPT)
北师大版必修4第一章三角函数
1.6余弦函数的图象与性质
余弦函数的图象
回顾：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
y=sinx x [0,2 ]
O1
O
y
x
-1
1
y=sinx x R
终边相同角的三角函数值相等
即： sin(x+2k )=sinx, k Z
描图：用光滑曲线
将这些正弦线的终点连结起来
利用图象平移
A
B
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

如何做余弦函数的图象？你有几种方法 ？
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=cosx=sin(x+ ), x R
余弦曲线
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
-
-
-
-1
1
-
-1
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
(2) 描点(定出五个关键点)
简图作法
x
y
o
1
-1
-2
-

2
3
4
正弦曲线
-2
-
o

2
3
x
-1
1
y
余弦曲线
函数
定义域
值域
R
R
定义域、值域
y
x
0
1
-1
y=cosx (x R)
当x= 时，函数值y取得最大值1；
当x= 时，函数值y取得最小值-1
观察下面图象：
性质3：周期性
周期函数的定义：
对定义域内的任意的x的值，存在一个常数T≠0，使得
T叫作周期
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……，
　　　　　　　 …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
余弦曲线
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
-1
由此可知，
都是这两个函数的周期。
对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小正周期。
根据上述定义，可知：
都是它的周期，
余弦函数都是周期函数，
最小正周期为
正弦、余弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=sinx (x R)
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
y=cosx (x R)
定义域
值 域
周期性
x R
y [ - 1, 1 ]
T = 2
余弦函数的奇偶性
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函数
余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。
关于y轴对称
正弦、余弦函数的奇偶性
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

是奇函数
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦、余弦函数的奇偶性
余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
y=cosx (x R)
x
cosx
- … … 0 … …
-1
0
1
0
-1
增区间为 其值从-1增至1
[ +2k , 2k ],k Z
减区间为 ， 其值从 1减至-1
[2k , 2k + ], k Z
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y
x
0
1
-1
y=cosx (x R)
当x= 时，函数值y取得最大值1；
当x= 时，函数值y取得最小值-1
观察下面图象：
函 数
性 质 y= sinx (k∈z) y= cosx (k∈z)
定义域
值域
最值及相应的 x的集合
周期性
奇偶性
单调性
对称中心
对称轴
x∈ R
x∈ R
[-1,1]
[-1,1]
x= 2kπ时　ymax=1
x= 2kπ+ π时 ymin=-1
周期为T=2π
周期为T=2π
奇函数
偶函数
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ]
上都是减函数 。
(kπ,0)
x = kπ
x= 2kπ+　　时　ymax=1
x=2kπ- 　　时 ymin=-1
π
2
π
2
在x∈[2kπ- , 2kπ+ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ+　 ，2kπ+ ]上都是减函数.
π
2
π
2
π
2
3π
2
(kπ+ ,0)
π
2
x = kπ+
π
2
余弦函数的图象和性质
例 画出函数y= - cosx，x [0, 2 ]的简图：
x
cosx
- cosx
0 2
1
0
-1
0
1
-1 0 1 0 -1
y
x
o
1
-1
y= - cosx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
正弦、余弦函数的图象
x
sinx
0 2
1
0
-1
0
1
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x [0, 2 ] 和 y= cosx，x [ , ]的简图：
o
1
y
x
-1
2
y=sinx，x [0, 2 ]
y= cosx，x [ , ]
向左平移 个单位长度
x
cosx
1
0
0
-1
0
0
变式练习:
（1）画出函数y=2-cosx, x [-2 ,0] 的简图.
（2）画出下列函数的简图.
y=|cosx|, x [- 2 , 2 ]
小
结
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法
五点法（描点法)
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
x
o
1
-1
y=sinx，x [0, 2 ]
y=cosx，x [0, 2 ]
余弦函数的图像和性质
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走 向 成 功