数学高二北师大版椭圆的定义

(共17张PPT)
课题：椭圆及其标准方程（一）
（一）认识椭圆
（二）动手试验
(1)取一条一定长的细绳
(2)把它的两端用图钉固定在纸板上
(3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出一个图形
（三）概念透析
F1
F2
M
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距
1、椭圆的定义
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) .
（想一想：下面怎样化简？）
由椭圆的定义，
代入坐标
O
x
y
M
F1
F2
(四)方程推导
由椭圆定义可知
整理得
两边再平方，得
移项，再平方
该方程叫做椭圆的标准方程,它表示的椭圆焦点在X轴上，
且F1(-c,0)、F2(c,0)
两边同除以
得：
得：
焦点在y轴：
焦点在x轴：
2、椭圆的标准方程:
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。
注意：
（五）尝试应用
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（五）尝试应用
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
当焦点在X轴时，方程为：
当焦点在Y轴时，方程为：
例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P
解： 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
∵ c=2，且 c2= a2 - b2
∴ 4= a2 - b2 ……①
又∵椭圆经过点P
∴ ……②
联立①②可求得：
∴椭圆的标准方程为
(法一)
x
y
F1
F2
P
（六）典例分析
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
标准方程为
由椭圆的定义知，
所以所求椭圆的标准方程为
求椭圆的标准方程的步骤：
（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）
（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b　 （后定量）
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
探究定义
a、b、c 的关系
x
y
F1
F2
M
O
x
y
F1
F2
M
O
a2-c2=b2
(a>b>0)
（七）归纳小结
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
作业布置：