2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册第三章函数的概念与性质3.1.2 函数的表示法 教案（表格式）

课题 3.1.2 函数的表示法
教材分析 本节课选自人教A版第三章函数的概念与性质的《3.1.2函数的表示法》，本节课主要学习函数的三种表示方法：解析法，图象法，列表法及其简单应用， 在初中是通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，通过今天的学习，函数概念也可以通过函数的不同便是发来刻画，这样来加深对函数概念的认识.函数的不同表示方法能帮助学生对函数的深层认识，帮助理解抽象的函数概念．可以更充分的表现函数的形与数．
课程目标 1、明确函数的三种表示方法； 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
数学学科素养 1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式； 2.逻辑推理：由条件求函数解析式； 3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算； 4.数据分析：利用图像表示函数； 5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。
020教学重难点 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念. 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
课前准备 多媒体
教学 环节 时间 安排 教师活动 学生活动 设计 意图 批注
2min 35min 3min 一、复习回顾，情景导入 思考： 1.给出下列三个对于关系： 1(3) 他们分别是用什么形式表达两个变量x,f(x)之间的对应关系的？它们是否都是函数关系？这些表现形式在初中我们都称之为什么？优缺点是什么？ 二、探索新知 探究一 函数的表示法 列表法图像法解析法定 义用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优 点不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺 点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它的解析式
题型一函数的表示方法 例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). （一）解析法： 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈｛1,2,3,4,5｝。 （二）列表法： 用列表法可将y=f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 510152025
（三）图像法： 用图象法可将y=f(x)表示为 解题技巧： 1. 解析法：必须注明函数的定义域； 2 .图象法：是否连线； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 列举法、图像法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. 判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义. 函数的三种表示法互相兼容或互补，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析式为主. 变式训练 1．用列表法将函数表示如下： x0y0
则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：由表格可得，故选：A. 探究二分段函数的求值问题 1.分段函数 分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 2.强调：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”不等长. 题型二 分段函数求值 例2．已知函数，则的值为（ ） A． B． C．3 D．0 【解】 故选：D. 例3.已知函数，若，则的值是（ ） A． B． C．或 D．或 【解】 当时，由，得（舍）； 当时，由，可得或（舍）. 综上所述，. 故选：A. 解题技巧：(分段函数求值问题) 1.求分段函数的函数值的方法 （1）确定要求值的自变量属于哪一段区间. （2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止. （3）当出现 的形式时，应从内到外依次求值. 2.求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验. 变式训练 1.已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【解】 因为，则，. 故选：A. 2.已知，若，则x的值是（ ） B． C． D．1 【答案】AD 解： 当时，， 所以； 当时，或， 所以； 当时，（舍）， 则x的值是：或； 故选：A D. 探究三函数的图像及其画法 初中我们学习过函数图像的画法，那么画函数图像的方法有： 描点法：这是画函数图像的基本方法，其步骤是列表、描点、练线. 基本函数法：对于我们熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接根据以前学过的知识画出图像 分段函数分段法：对于分段函数，应分段画图，将每一段区间上对于的函数图像画出，即得该分段函数的图像. 例4.画出函数y=|x| 的图象. 解: 由绝对值的概念,我们有. 所以，函数y=|x| 的图象如图所示： 例5.给定函数 （1）在同一直角坐标系中画出函数 的图象； （2） 用M(x)表示中的较大者，记为， 试分别用图象法和解析法表示函数M(x). 解：（1） 在同一直角坐标系中画出函数的图象，如图： 解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，如图 结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为 解题方法（函数图像问题处理措施） （1）若y=f（x）是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍. （2）若y=f（x）不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f（x）的图象. （3）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 变式训练三 函数的图象是（ ） A． B． C． D． 解： 因为函数， 由一次函数的图象知选项C正确； 故选：C 题型四 函数的实际应用 例4: 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 解：从表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助. 从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高. 变式训练 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数 ①。 应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除 ②。 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见下表。 设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求 ，并画出图象。 （2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 解：（1） 根据上表，可得函数的解析式为 函数图象如图所示 （2）根据公式②，小王全年应缴纳所得额为 t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560 =0.8×189600－117360 =34320 将t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元. 三、小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 答案： 1. 理解函数的三种表示方法； 2.在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数； 3.注意分段函数的表示方法及其图象的画法; 四、作业 课本72页习题3.1 学生思考，独立完成，给出答案 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 学生独立完成 学生独立完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同完成 师生共同总结结论 师生共同寻找规律，达到结论 学生独立完成 师生共同完成 师生共同完成 学生独立完成 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 通过复习初中所学函数的表示方法，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 通过例题让学生进一步理解函数的三种表示方法，并分析三种表示方法的不同，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过例题让学生进一步理解函数的三种表示方法，并分析三种表示方法的不同，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过思考，总结函数的三种表示方法的特点，提高学生分析问题、概括能力。 通过例题让学生进一步理解函数的三种表示方法，并分析三种表示方法的不同，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过例题让学生进一步理解函数的三种表示方法，并分析三种表示方法的不同，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过例题讲解，让学生明白怎样把函数的解析式中绝对值号去掉，教给学生分段函数的定义。 通过例题练习分段函数图象的画法及其表示，提高学生解决问题的能力。 通过例题练习分段函数图象的画法及其表示，提高学生解决问题的能力。 培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力 通过例题进一步比较列表法、图象法，让学生进一步理解这两种表示方法的优缺点，提高学生的观察、概括能力。 通过例题进一步比较列表法、图象法，让学生进一步理解这两种表示方法的优缺点，提高学生的观察、概括能力。 通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的能力。 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点
板书 3.1.2函数的表示法 1. 函数的表示法 例1 例2 例3 例4 2.分段函数