2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一第一章空间向量与立体几何综合测试题（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一第一章空间向量与立体几何综合测试题（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 679.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-17 21:56:48 | ||
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文档简介
第一章空间向量与立体几何综合测试题（基础）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1．已知，，，，，，若，则实数，的值分别是
A．1， B．， C．1，2 D．，2
2．已知向量，若共面，则等于（ ）
A． B．1 C．1或0 D．1或
3.已知直线过定点A(2，3，1)，且为直线的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线的距离为( )
A． B． C． D．
4.设是直线l的方向向量,是平面的法向量,则(C )
A、 B、 C或 D.或
5．已知O为坐标原点，向量（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．若点E在直线AB上，且⊥，则点E的坐标为（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
6．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7.已知空间向量，则向量（ ）
A B、 C、 D、
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( )
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
11.已知直线、的方向向量分别是，4，，，，，若且，则的值可以是
A． B． C．1 D．3
12．已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点E．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A．BD⊥CM
B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形
C．DM与BC不可能垂直
D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.有两个空的，第一空2分，第二空3分。
13.在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，设，，，则= （用a，b，c表示）
14．四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为_
15、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，C C1=3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，D D1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是__ _____
16．已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_____.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用、、表示； （2）求的长度.
18、（12分）在直三棱柱ABC A1B1C1中，是棱AC的中点，且
（1）求
（2）求三棱锥体积
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
20．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：
21．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．
（1）证明：A1C∥平面B1ED1；
（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．
22．（12分）24．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
第一章空间向量与立体几何综合测试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1．已知，，，，，，若，则实数，的值分别是A
A．1， B．， C．1，2 D．，2
2．已知向量，若共面，则等于（ D ）
A． B．1 C．1或0 D．1或
3.已知直线过定点A(2，3，1)，且为直线的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线的距离为( A )
A． B． C． D．
4.设是直线l的方向向量,是平面的法向量,则(C )
A、 B、 C或 D.或
5．已知O为坐标原点，向量（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．若点E在直线AB上，且⊥，则点E的坐标为（ A ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
6．已知，则的最小值是（ B ）
A． B． C． D．
7.已知空间向量，则向量（ C ）
A B、 C、 D、
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ D ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( ABC )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( CD )
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
11.已知直线、的方向向量分别是，4，，，，，若且，则的值可以是 AC
A． B． C．1 D．3
12．已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点E．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ABD ）
A．BD⊥CM
B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形
C．DM与BC不可能垂直
D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.有两个空的，第一空2分，第二空3分。
13.在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，设，，，则=（用a，b，c表示）
14．四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为__
15、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，C C1=3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，D D1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是__（-6，3，2）______
16．已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为___17______.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用、、表示； （2）求的长度.
解：（1）
（2）
，，
所以
．
的长度为．
18、（12分）在直三棱柱ABC A1B1C1中，是棱AC的中点，且
（1）求
（2）求三棱锥体积
答案：（1）、
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
【解析】分别以，，所在直线为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）
则，，，
设，则，
所以，
由，知，
所以，为中点，
所以，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2），，
设平面的法向量为，
由，得，
所以，取，得，
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离为
20．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：
【详解】 平面，平面
平面，平面
又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则各点的坐标为
因为点分别是，的中点，所以
（1）证明：设平面的一个法向量为
因为
由得，令所以
则
因为所以
又平面所以平面.
（2）证明：因为为棱上一点，所以
设则，所以
即所以
设平面的一个法向量为则
所以消去可得
令则所以
平面平面 则所以
从而因为所以
则即
21．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．
（1）证明：A1C∥平面B1ED1；
（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．
【解答过程】（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，
由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，
因为EO1 平面B1D1E，A1C 平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），
∴，，∴，
设是面B1ED1的法向量 ，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，
设B1D与面B1ED1所成角为θ，
∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为．
22．（12分）24．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
解：（1）证明，在梯形中，
∵，，，
∴，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，又∵，∴平面.
又四边形是矩形，∴，∴平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可建立直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，
∴，.
设为平面的法向量，由，得，
取，则.
∵是平面的一个法向量，∴.
∵，∴当时，有最大值，∴的最小值为13
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1．已知，，，，，，若，则实数，的值分别是
A．1， B．， C．1，2 D．，2
2．已知向量，若共面，则等于（ ）
A． B．1 C．1或0 D．1或
3.已知直线过定点A(2，3，1)，且为直线的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线的距离为( )
A． B． C． D．
4.设是直线l的方向向量,是平面的法向量,则(C )
A、 B、 C或 D.或
5．已知O为坐标原点，向量（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．若点E在直线AB上，且⊥，则点E的坐标为（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
6．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7.已知空间向量，则向量（ ）
A B、 C、 D、
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( )
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
11.已知直线、的方向向量分别是，4，，，，，若且，则的值可以是
A． B． C．1 D．3
12．已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点E．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A．BD⊥CM
B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形
C．DM与BC不可能垂直
D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.有两个空的，第一空2分，第二空3分。
13.在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，设，，，则= （用a，b，c表示）
14．四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为_
15、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，C C1=3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，D D1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是__ _____
16．已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为_____.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用、、表示； （2）求的长度.
18、（12分）在直三棱柱ABC A1B1C1中，是棱AC的中点，且
（1）求
（2）求三棱锥体积
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
20．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：
21．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．
（1）证明：A1C∥平面B1ED1；
（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．
22．（12分）24．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
第一章空间向量与立体几何综合测试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1．已知，，，，，，若，则实数，的值分别是A
A．1， B．， C．1，2 D．，2
2．已知向量，若共面，则等于（ D ）
A． B．1 C．1或0 D．1或
3.已知直线过定点A(2，3，1)，且为直线的一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线的距离为( A )
A． B． C． D．
4.设是直线l的方向向量,是平面的法向量,则(C )
A、 B、 C或 D.或
5．已知O为坐标原点，向量（﹣2，1，1），点A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．若点E在直线AB上，且⊥，则点E的坐标为（ A ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
6．已知，则的最小值是（ B ）
A． B． C． D．
7.已知空间向量，则向量（ C ）
A B、 C、 D、
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ D ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.如图，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是( ABC )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
10.已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( CD )
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
11.已知直线、的方向向量分别是，4，，，，，若且，则的值可以是 AC
A． B． C．1 D．3
12．已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD相交于点E．将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ABD ）
A．BD⊥CM
B．存在一个位置，使△CDM为等边三角形
C．DM与BC不可能垂直
D．直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.有两个空的，第一空2分，第二空3分。
13.在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，设，，，则=（用a，b，c表示）
14．四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为__
15、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，C C1=3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以DA，DC，D D1为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是__（-6，3，2）______
16．已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为___17______.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用、、表示； （2）求的长度.
解：（1）
（2）
，，
所以
．
的长度为．
18、（12分）在直三棱柱ABC A1B1C1中，是棱AC的中点，且
（1）求
（2）求三棱锥体积
答案：（1）、
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.
（1）求异面直线与所成角余弦的大小；
（2）求点到平面的距离.
【解析】分别以，，所在直线为轴，轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）
则，，，
设，则，
所以，
由，知，
所以，为中点，
所以，，
．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2），，
设平面的法向量为，
由，得，
所以，取，得，
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离为
20．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：
【详解】 平面，平面
平面，平面
又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
则各点的坐标为
因为点分别是，的中点，所以
（1）证明：设平面的一个法向量为
因为
由得，令所以
则
因为所以
又平面所以平面.
（2）证明：因为为棱上一点，所以
设则，所以
即所以
设平面的一个法向量为则
所以消去可得
令则所以
平面平面 则所以
从而因为所以
则即
21．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为棱CC1的中点．
（1）证明：A1C∥平面B1ED1；
（2）求直线B1D与平面B1ED1所成角的正弦值．
【解答过程】（1）证明：连接A1C1与B1D1相交于O1，连接EO1，
由于E，O1分别是CC1，A1C1的中点，则EO1∥A1C，
因为EO1 平面B1D1E，A1C 平面B1D1E，所以A1C∥平面B1ED1．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
设AB＝1，AA1＝2，则B1（1，1，2），D（0，0，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），
∴，，∴，
设是面B1ED1的法向量 ，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝﹣1，即，
设B1D与面B1ED1所成角为θ，
∴B1D与面B1ED1所成角的正弦值为．
22．（12分）24．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
解：（1）证明，在梯形中，
∵，，，
∴，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，又∵，∴平面.
又四边形是矩形，∴，∴平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可建立直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，
∴，.
设为平面的法向量，由，得，
取，则.
∵是平面的一个法向量，∴.
∵，∴当时，有最大值，∴的最小值为13