2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2函数的对称性学案

21级高一对称微专题思维学案
【学习目标】
基础性目标：
我能通过探究通过平移的知识利用有关奇偶性探究有关对称问题，提升自己的逻辑推理核心素养。
拓展性目标：
我能通过简单的图形分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论，提升自己的逻辑推理和数学运算，数学建模的核心素养。
我能利用对称公式解决实际问题，提升自己的逻辑推理，数学运算的核心素养。
三、挑战性目标：
4.我可以解决实际的对称问题。
一、【从函数平移角度研究对称问题】
本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的对称性．
如是偶函数，从图象平移角度来说：意味着函数的图象向右平移一个单位后，有对称轴，故函数的图象有对称轴．
从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，的自变量为，故意味着．
这说明：与关于对称是等价的命题．
⑴ ① 若是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项）
② 若是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项）
A． B．
C． D．
E． F．
⑵ ①若是偶函数，则函数图象的对称轴为_______．
②若是奇函数，则函数图象的对称中心为_________．
⑶ ①若是偶函数，则函数图象的对称轴为_______．
②若是奇函数，则函数图象的对称中心为_________．
⑷ 若的对称中心为，则函数图象的对称中心为 ．
⑸ (优专用)若的对称中心为，则函数图象的对称中心为________．图象的对称中心为_______．
偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．
二、【轴对称问题公式的探究】
这里我们要讲的是研究方法：
先来看偶函数，偶函数的图形是关于轴对称的，它具有代数形式是，如何从图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量和，由于图象是关于轴对称的，所以在与处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，和可以理解为一个是，一个是，也可以理解为与中点为．
由此角度可以想想，若将对称轴换成呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？
①
②若，则，一定要写成的形式，只需两个括号中的和为即可．
第1种思考方式：若关于对称，则关于对称的两自变量所对应的函数值相等；
第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若和两点关于轴对称，则两自变量满足（∵中点在对称轴上）．
如：，括号中的和为，∴的图象关于对称．
一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：
，则关于轴对称．
再如：若，此时是否有对称轴？有，仍然为．
当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．
例：若是偶函数，则的对称轴为_____．
在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由关于对称．
上面的说法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有，则的图象否有对称性？不一定有，因为和的关系不能确定，但严格意义上还是关于对称，因为与可通过去解决．
若，则的图象否有对称性？有，关于对应．
有限制时，不一定对称，如，因为时，的情况无法确定．当然，这些问题本身就非常变态了，不必深究．
本质上来说，当与的值域的并集为时，可以得到对称，否则得不到．
一般的轴对称：
函数的图象关于直线对称；
一般的结论 若函数满足，则的图象关于直线成轴对称．
证明方法：
推论1： 的图象关于直线对称
推论2、 的图象关于直线对称
推论3、 的图象关于直线对称
【例2】⑴若函数满足：，则的图象的对称轴为________；
⑵若函数满足：，则的图象的对称轴为________；
⑶若函数满足：，则的图象的对称轴为________．
（4）函数对任意的均有，那么、、的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【拓展练习】轴对称函数的性质
（5）若函数在上为减函数，且对任意的，有，则（ ）
A． B． C． D．
（6）已知函数，当时，，且恒成立，则当
时， ．
已知为定义在上的函数，且为偶函数，且当时，，则当 时，__________．
（8）已知定义域为R的函数f(x)满足f( x)= f(x+4)，且函数f(x)在区间(2，+∞)上单调递增，如果，且，则的值( )
A. 可正可负 B.恒大于0 C.可能为0 D.恒小于0
三、【中心对称问题公式的探究】
对称中心：每个点绕着对称中心旋转后还在图象上．
奇函数中两自变量的中点是中间的，两函数值中点是，有．
若将对称中心移到点，可同理，从出发，向左向右距离相等，使其自变量对称，则它们对应的函数值的中点应为，所以．当自变量关于对称时，函数值关于对称．
例：，则关于中心对称．
当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边走．
例：，则是中心对称的，对称中心为．
，则关于中心对称．
一般的中心对称：
⑴ 函数的图象关于点对称．
⑵ 若函数满足，则的图象关于点成中心对称．
证明过程：
推论1、 的图象关于点对称
推论2、 的图象关于点对称
推论3、 的图象关于点对称
【例3】⑴若函数满足：，则的图象的对称中心为________；
⑵若函数满足：，则的图象的对称中心为________；
⑶若函数满足：，则的图象的对称中心为________．
【拓展练习】中心对称函数的性质
⑴已知函数当时，，且恒成立，则当
时， ．
⑵已知当时，，且恒成立，则当时，
________．
⑶已知是定义在上的函数且为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数不是奇函数 B．
C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于点对称
⑷已知为定义在上的函数，若函数为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．函数为奇函数
（5）已知函数满足,若函数与图像的交点为,则（ ）
A．0 B． C． D．
四、【两个函数图象对称公式的探究】
两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数与图象关于Y轴对称
2、奇函数与图象关于原点对称函数
3、函数与图象关于X轴对称
4、互为反函数与函数图象关于直线对称
5.函数与图象关于直线对称
推论1:函数与图象关于直线对称
推论2:函数与 图象关于直线对称
推论3:函数与图象关于直线对称
6的图象关于直线对称，且函数的最小值为；
7的图象关于直线对称，且函数的最小值为；
五、【对称应用探究】
（19年烟台考题） 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于轴成轴对称图形”的充要条件是“为偶函数”.
（1）若为偶函数，且当时，，求的解析式，并求不等式的解集；
（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图形”的充要条件是“为偶函数”.若函数的图象关于直线对称，且当时，.
（i）求的解析式；
（ii）求不等式解集.
（20年烟台考题） 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
（18年烟台考题）关于函数有如下结论：若函数的图象关于点对称，则有成立.
（1）若函数的图象关于点对称，根据题设中的结论求实数的值；
（2）若函数的图象既关于点（2，0)对称，又关于点（-2，1)对称，且当时，，求的值.