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第一章《有理数》
1.1-1.2 正数和负数及有理数
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知识点1：正数和负数
【例1】（2019秋 永城市期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是 www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
【解答】解：由零件标注可知，零件的直径范围最大，最小，
最大可以是．
故选：．
【变式1-1】（2020 岐山县二模）如果体温上升记作，那么体温下降记作
A． B． C． D．
【解答】解：体温上升记作，
体温下降记作．
故选：．
【变式1-2】（2019秋 沈河区校级月考）如果小明的爸爸收入10万元记作万元，那么小明的爸爸支出4万元记作 万元．2·1·c·n·j·y
【解答】解：如果小明的爸爸收入10万元记作万元，那么小明的爸爸支出4万元记作万元．
故答案为：．
【变式1-3】（2019秋 五常市期末）（1）小明爸爸上周买进某种股票1000股，每股27.3元，下表为本周每天该股票的涨跌情况：21·世纪*教育网
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
①星期三收盘时，每股是多少元？
②本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
③若小明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
（2）国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
①稿费不高于800元的不纳税：
②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的的税；
③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的的税；
若王老师获得稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少钱？
【解答】解：（1）①元，
答：星期三收盘时，每股是28.3元；
②元，元，
答：本周内最高价是每股29.8元，最低价是每股25.8元；
③元，
，
周五的收盘价时卖出，不会获利，会亏本；
（2）元元，
王老师获得稿费少于4000元，
设稿费为元，由题意得，，
解得，，
答：王老师的稿费是3800元．
【变式1-4】（2019秋 梁平区期末）某校七（1）班学生的平均身高是160厘米，下表给出了该班6名学生的身高情况（单位：厘米）．www-2-1-cnjy-com
学 生
身 高 157 162 159 154 163 165
身高与平均身高的差值
（1）列式计算表中的数据和；
（2）这6名学生中谁最高？谁最矮？最高与最矮学生的身高相差多少？
（3）这6名学生的平均身高与全班学生的平均身高相比，在数值上有什么关系？（通过计算回答）
【解答】解：（1）由题意：，；
（2）由表格得到学生厘米最高，学生厘米最低；
最高与最矮学生的身高相差：，
（3）6名学生的平均身高，
这6名学生的平均身高与全班学生的平均身高相同．
知识点2：有理数
【例2】（2019秋 浦东新区期末）下列各组数中互素的是
A．4和6 B．9和10 C．14和21 D．27和51
【解答】解：、4和6有公约数1和2，故不符合题意；
、9和10只有公约数1，故符合题意；
、14和21有公约数1和7，故不符合题意；
、27和51有公约数1和3，故不符合题意；
故选：．
【变式2-1】（2020 新余模拟）在数3，，0，中，与的差为0的数是
A．3 B． C．0 D．
【解答】解：根据题意得：，
则与的差为0的数是，
故选：．
【变式2-2】（2017秋 房山区期末）在“1，，，0，”这五个数中，非负有理数是 ．（写出所有符合题意的数）21cnjy.com
【解答】解：非负有理数是1，，0．
故答案为：1，，0．
【变式2-3】（2017秋 诸暨市校级期中）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、、的形式，又可分别表示为0、、的形式，则 2 ．21*cnjy*com
【解答】解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等．【来源：21cnj*y.co*m】
于是可以判定与中有一个是0，有一个是1，但若，会使无意义，
，只能，即，于是只能是，于是．
原式，
故答案为：2．
【变式2-4】（2017秋 淅川县月考）把下列各数填入它所在的数集的括号里．
，，，0，，，6.9，，210，0.031，，
正数集合：
整数集合：
非负数集合：
负分数集合： ．
【解答】解：正数集合：，，6.9，210，0.031 ；
整数集合：，0，，210， ；
非负数集合：，0，，6.9，210，0.031 ；
负分数集合：，，， ．
故答案为：，，6.9，210，；，0，，210，；，0，，6.9，210，0.031 ；，，，．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点3：数轴
【例3】（2020 唐山一模）如图，数轴上，，，，五个点表示连续的五个整数，，，，，且，则下列说法：21教育名师原创作品
①点表示的数字是0；
②；
③；
④．
正确的有
A．都正确 B．只有①③正确 C．只有①②③正确 D．只有③不正确
【解答】解：，，，，表示连续的五个整数，且，
，，，，，
于是①②④正确，而③不正确，
故选：．
【变式3-1】（2020 东城区校级模拟）在数轴上，点、在原点的异侧，分别表示有理数、5，将点向左平移4个单位长度，得到点，若，则的值为 21*cnjy*com
A． B．1 C． D．3
【解答】解：点在原点的左侧，且，
点表示的数为，
．
故选：．
【变式3-2】（2019秋 金台区期末）、是数轴上的两个点，线段的长度为2，若点表示的数为，则点表示的数为 ，中点表示的数为 ．【版权所有：21教育】
【解答】解：、是数轴上的两个点，线段的长度为2，
点表示的数为，
点表示的数为或1；
中点表示的数为或0．
故答案为或1、或0．
【变式3-3】（2019秋 仪征市期末）动点，分别从数轴上表示10和的两点同时出发，以7个单位长度秒和4个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动， 秒后，点，间的距离为3个单位长度．【出处：21教育名师】
【解答】解：设运动的时间为秒，则运动后所表示的数为，所表示的数为，由题意得，
，
解得，或．
故答案为：3或5．
【变式3-4】（2019秋 郑州期末）如图，已知在纸面上有一条数轴．
操作一：
折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合．
操作二：
折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ，
点表示的数为
【解答】解：操作一：表示1的点与表示的点重合，即对折点所表示的数为，
设这个数为，则有，解得，，
故答案为：5；
操作二：表示1的点与表示3的点重合，即对折点所表示的数为，
①设与表示的点重合，则有，解得，，
故答案为：6；
②设点、点所表示的数为、，则有，
，解得，，，
故答案为：，5.5．
【变式3-5】（2019秋 工业园区期末）如图，在数轴上，点表示，点表示11，点表示18．动点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为秒．21教育网
（1）当为何值时，、两点相遇？相遇点所对应的数是多少？
（2）在点出发后到达点之前，求为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等；
（3）在点向右运动的过程中，是的中点，在点到达点之前，求的值．
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【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
，
在的右侧，且，
当时，、两点相遇，相遇点所对应的数是；
（2）由题意得，的值大于0且小于7．
若点在点的左边，则，解得．
若点在点的右边，则，解得．
综上所述，的值为3或时，点到点的距离与点到点的距离相等；
（3）是的中点，
，
，，
．
【变式3-6】（2019秋 槐荫区期中）（1）在数轴上标出数，，1，3.5所对应的点，，，；21世纪教育网版权所有
（2），两点间距离 ；，两点间距离 ；
（3）数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离 ；
（4）若动点，分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问①为何值时，两点重合？②为何值时，两点之间的距离为1？2-1-c-n-j-y
【解答】解：（1）如图所示：
（2），
；
（3）；
（4）①依题意有，
解得．
故为3秒时，两点重合；
②依题意有
，
解得；
或，
解得．
故为2秒或4秒时，两点之间的距离为1．
故答案为：2.5，3；．
知识点4：相反数
【例4】（2020 温岭市模拟）一个数的相反数是5，则这个数是
A． B． C． D．5
【解答】解：根据相反数的定义，则这个数的相反数是．
故选：．
【变式4-1】（2020 卧龙区模拟）的相反数是
A． B． C． D．
【解答】解：根据相反数的定义，得的相反数是．
故选：．
【变式4-2】（2019秋 辽宁月考）的相反数是 ．如果，则 ．
【解答】解：的相反数是8．如果，则．
故答案为：8，．
【变式4-3】（2018秋 温江区校级月考）如果、互为相反数，那么 ．
【解答】解：因数、互为相反数，
所以，
则．
故答案为：．
【变式4-4】数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为10，求这两个数．
【解答】解：设两个数是和，
则有，．
则．
则这两个数分别是．
知识点5：绝对值
【例5】（2019秋 罗湖区校级期中）已知，则的值为 ．
【解答】解：已知
当的值为：，，，，0，1，2，
的值可以为：22，21，20，，11，10，9，
的值也可以为：，，，，5，6，7，
为：1、3、5、7、9、11、、为正整数）
故答案为：1、3、5、7、9、11、、为正整数）．
知识点6：有理数大小比较
【例6】（2020 秦淮区一模）如图，数轴上的、两点所表示的数分别为、，则下列各数中，最大的是 21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【解答】解：由数轴可得：，
取，，则
，，，
最大的是1，故选项正确，
故选：．
【变式6-1】（2020 南岸区自主招生）在下列各数中，比小的数是
A．0 B．1 C．2 D．
【解答】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
故选：．
【变式6-2】（2019秋 淮安区期末）比较大小： （填“”“ ”或“”
【解答】解：，
，
故答案为：．
【变式6-3】（2019秋 定州市期中）有理数：，，5，0，3.5，
（1）将上面各数在下图的数轴上表示出来，并把这些数用“”连接．
（2）请将以上各数填到相应的横线上；
正有理数： ；
负有理数： ．
【解答】解：（1）如图所示：
把这些数用“”连接为：．
（2）正有理数：，5，3.5；
负有理数：，．
故答案为：，5，3.5；，．
【变式6-4】（2019秋 路北区期中）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且．
（1）用“”连接这四个数：0，，，；
（2）化简：．
【解答】解：（1）根据数轴得：；
（2）由图可知：，，，与互为相反数，即，
原式．
必刷提高题
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第一章《有理数》
1.1-1.2 正数和负数及有理数
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【例1】（2019秋 永城市期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是 21教育网
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A． B． C． D．
【变式1-1】（2020 岐山县二模）如果体温上升记作，那么体温下降记作
A． B． C． D．
【变式1-2】（2019秋 沈河区校级月考）如果小明的爸爸收入10万元记作万元，那么小明的爸爸支出4万元记作 万元．www-2-1-cnjy-com
【变式1-3】（2019秋 五常市期末）（1）小明爸爸上周买进某种股票1000股，每股27.3元，下表为本周每天该股票的涨跌情况：2-1-c-n-j-y
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
①星期三收盘时，每股是多少元？
②本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
③若小明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
（2）国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
①稿费不高于800元的不纳税：
②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的的税；
③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的的税；
若王老师获得稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少钱？
【变式1-4】（2019秋 梁平区期末）某校七（1）班学生的平均身高是160厘米，下表给出了该班6名学生的身高情况（单位：厘米）．www.21-cn-jy.com
学 生
身 高 157 162 159 154 163 165
身高与平均身高的差值
（1）列式计算表中的数据和；
（2）这6名学生中谁最高？谁最矮？最高与最矮学生的身高相差多少？
（3）这6名学生的平均身高与全班学生的平均身高相比，在数值上有什么关系？（通过计算回答）
知识点2：有理数
【例2】（2019秋 浦东新区期末）下列各组数中互素的是
A．4和6 B．9和10 C．14和21 D．27和51
【变式2-1】（2020 新余模拟）在数3，，0，中，与的差为0的数是
A．3 B． C．0 D．
【变式2-2】（2017秋 房山区期末）在“1，，，0，”这五个数中，非负有理数是 ．（写出所有符合题意的数）21世纪教育网版权所有
【变式2-3】（2017秋 诸暨市校级期中）设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、、的形式，又可分别表示为0、、的形式，则 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式2-4】（2017秋 淅川县月考）把下列各数填入它所在的数集的括号里．
，，，0，，，6.9，，210，0.031，，
正数集合：
整数集合：
非负数集合：
负分数集合： ．
知识点3：数轴
【例3】（2020 唐山一模）如图，数轴上，，，，五个点表示连续的五个整数，，，，，且，则下列说法：21·世纪*教育网
①点表示的数字是0；
②；
③；
④．
正确的有
A．都正确 B．只有①③正确 C．只有①②③正确 D．只有③不正确
【变式3-1】（2020 东城区校级模拟）在数轴上，点、在原点的异侧，分别表示有理数、5，将点向左平移4个单位长度，得到点，若，则的值为 21·cn·jy·com
A． B．1 C． D．3
【变式3-2】（2019秋 金台区期末）、是数轴上的两个点，线段的长度为2，若点表示的数为，则点表示的数为 ，中点表示的数为 ．21*cnjy*com
【变式3-3】（2019秋 仪征市期末）动点，分别从数轴上表示10和的两点同时出发，以7个单位长度秒和4个单位长度秒的速度沿数轴向负方向匀速运动， 秒后，点，间的距离为3个单位长度．【来源：21cnj*y.co*m】
【变式3-4】（2019秋 郑州期末）如图，已知在纸面上有一条数轴．
操作一：
折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 的点重合．
操作二：
折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示 的点重合；
②若数轴上，两点的距离为在的左侧），且折叠后，两点重合，则点表示的数为 ，
点表示的数为
【变式3-5】（2019秋 工业园区期末）如图，在数轴上，点表示，点表示11，点表示18．动点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为秒．21cnjy.com
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（2）在点出发后到达点之前，求为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等；
（3）在点向右运动的过程中，是的中点，在点到达点之前，求的值．
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【变式3-6】（2019秋 槐荫区期中）（1）在数轴上标出数，，1，3.5所对应的点，，，；【出处：21教育名师】
（2），两点间距离 ；，两点间距离 ；
（3）数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离 ；
（4）若动点，分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问①为何值时，两点重合？②为何值时，两点之间的距离为1？【版权所有：21教育】
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【例4】（2020 温岭市模拟）一个数的相反数是5，则这个数是
A． B． C． D．5
【变式4-1】（2020 卧龙区模拟）的相反数是
A． B． C． D．
【变式4-2】（2019秋 辽宁月考）的相反数是 ．如果，则 ．
【变式4-3】（2018秋 温江区校级月考）如果、互为相反数，那么 ．
【变式4-4】数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为10，求这两个数．
知识点5：绝对值
【例5】（2019秋 罗湖区校级期中）已知，则的值为 ．
知识点6：有理数大小比较
【例6】（2020 秦淮区一模）如图，数轴上的、两点所表示的数分别为、，则下列各数中，最大的是 2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【变式6-1】（2020 南岸区自主招生）在下列各数中，比小的数是
A．0 B．1 C．2 D．
【变式6-2】（2019秋 淮安区期末）比较大小： （填“”“ ”或“”
【变式6-3】（2019秋 定州市期中）有理数：，，5，0，3.5，
（1）将上面各数在下图的数轴上表示出来，并把这些数用“”连接．
（2）请将以上各数填到相应的横线上；
正有理数： ；
负有理数： ．
【变式6-4】（2019秋 路北区期中）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且．
（1）用“”连接这四个数：0，，，；
（2）化简：．
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