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第一章《有理数》
1.3-1.4 有理数的加减乘除
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知识点1：倒数
【例1】（2020 东营一模）的倒数是
A． B． C． D．
【解答】解：的倒数是．
故选：．
【变式1-1】（2020 青山区校级模拟）的负倒数是
A． B．3 C． D．
【解答】解：的负倒数是3．
故选：．
【变式1-2】（2019春 金山区期末）的倒数是 ．
【解答】解：，的倒数是．
故答案为：．
【变式1-3】（2016秋 汨罗市校级期中）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值等于2的数，求式子．21cnjy.com
【解答】解：和互为相反数，和互为倒数，是绝对值等于2的数，
当时，原式；
当时，原式．
知识点2：有理数的加法
【例2】（2020春 香坊区校级期中）下列说法正确的是
A．在数轴上与原点的距离越远的点表示的数越大
B．在数轴上与之间的有理数为
C．任何一个有理数都可以在数轴上表示出来
D．比大6的数是7
【解答】解：．在数轴上与原点的距离越远的点表示的数的绝对值越大，故选项错误；
．在数轴上与之间的有理数为无数个，故选项错误；
．因为任何一个有理数都可以在数轴上表示出来，故选项正确；
．比大6的数是5，故选项错误．
故选：．
【变式2-1】（2019秋 行唐县期末）若的相反数是，，则的值为
A． B．2 C．或2 D．8或
【解答】解：的相反数是，
，
，
，
（1），时，
．
（2），时，
．
故选：．
【变式2-2】（2019秋 渝北区期末）已知，，，则
【解答】解：，，
、，
又，即，
、或、，
当、时，；
当、时，；
故答案为：5或11．
【变式2-3】（2017秋 崇川区期末）若，，则 ．
【解答】解：当时，，解得；
当时，，舍去；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，舍去；
当时，，解得；
综上或，或；
当、时，；
当、时，；
当、时，；
当、时，；
即或；
故答案为：或．
【变式2-4】（2019秋 仪陇县期中）已知，，且，求的值．
【解答】解：，，且，
，或，
则或．
【变式2-5】（2019秋 兰考县期中）已知，；
（1）当、同号时，求的值；
（2）当、异号时，求的值．
【解答】解：（1），，且，同号，
，；，，
则或；
（2），，且，异号，
，；，，
则或．
知识点3：有理数的减法
【例3】（2019秋 青龙县期末）据中央气象台发布，2019年11月30日某市的最高气温是，最低气温是，则该天的最高气温比最低气温高 21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【解答】解：
答：该天的最高气温比最低气温高．
故选：．
【变式3-1】（2019秋 海珠区期末）已知，是有理数，若在数轴上的对应点的位置如图所示，且，有以下结论：www.21-cn-jy.com
①；②；③；④，
其中结论正确的个数是
A．4个 B．2个 C．3个 D．1个
【解答】解：，，
，
①符合题意；
，，
，
，
②不符合题意；
，，
，
③符合题意；
，，
，
④符合题意，
结论正确的有3个：①、③、④．
故选：．
【变式3-2】（2018秋 梁平区期末）若，，且，那么 ．
【解答】解：，，
，．
又，
，或，．
当，时，；
当，时，．
故答案为：或．
【变式3-3】（2019秋 陇县期中）比小4的数是 ．
【解答】解：．
故答案为：．
【变式3-4】（2019秋 莱西市期中）【阅读】表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点间的距离．2·1·c·n·j·y
（1）
（2）
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得，则 ．
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是： ．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3），
，
或，
（4）与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
使得成立的整数是和2之间的所有整数（包括和，
这样的整数是、、、0、1、2．
故答案为：5；7；2或；、、、0、1、2．
【变式3-5】（2017秋 朝阳区期末）观察下面的等式：
；
；
；
；
回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）已知，则的值是 ；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为，求的最大值，并写出此时的等式．
【解答】解：观察可知：，
则（1）；
（2）已知，则的值是或0；
（3）由，可得，
则，解得，
即的最大值是4，
此时的等式是．
故答案为：；0．
知识点4：有理数的加减混合运算
【例4】（2019秋 江夏区期末）计算：
A． B． C． D．
【解答】解：
故选：．
【变式4-1】（2019秋 麻城市校级期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，故此选项不合题意；
、，正确，符合题意．
、，故此选项不合题意；
、，故此选项不合题意．
故选：．
【变式4-2】（2018秋 安仁县期末）已知，，，且，那么 ．
【解答】解：，，，
，，，
，
，，或，，，
则或0．
故答案为：2或0
【变式4-3】（2018秋 东台市月考）计算： ．
【解答】解：
；
故答案为50．
【变式4-4】（2018秋 金乡县期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：
解：原式
启发应用
用上面的方法完成下列计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
知识点5：有理数的乘法
【例5】（2020 历下区一模）有理数，在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：由数轴上的位置得：，且，
，，
故选：．
【变式5-1】（2017秋 荔湾区期中）已知，，且，则的值为 ．
【解答】解：因为，，
所以，．
由于，
所以，，或，．
当，时，
；
当，时，
．
故答案为：
【变式5-2】（2017秋 西乡塘区校级月考）已知，．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
【解答】解：，，
，，
（1）若，所以，异号，
当，时，，
当，时，，
综上，；
（2）若，则，
当，时，，
当，时，，
综上，．
知识点6：有理数的除法
【例6】（2019秋 路南区期末）如图，在不完整的数轴上有、两点，当原点是线段的中点时，下列说法错误的是 21世纪教育网版权所有
A．点、表示的两个数互为相反数
B．点、表示的两个数绝对值相等
C．点、表示的两个数的商为
D．点、表示的两个数互为负倒数
【解答】解：原点是线段的中点时，
点、表示的两个数互为相反数，不符合题意；
点、表示的两个数绝对值相等，不符合题意；
点、表示的两个数的商为，不符合题意；
点、表示的两个数不一定为负倒数，符合题意．
故选：．
【变式6-1】（2019秋 封开县期末）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中，①；②；③；④；⑤；正确的是 21教育网
A．①②⑤ B．③④ C．③⑤ D．②④
【解答】解：根据数轴上点的位置得：，且，
，，，，，
故选：．
【变式6-2】（2018秋 鲤城区期末）若，则的值为 ．
【解答】解：，，同号，分两种情况讨论：
①当，时，原式；
②当，时，原式．
故答案为：3或．
【变式6-3】（2018秋 启东市期中）已知有理数，满足，，，则的值为 ．
【解答】解：有理数，满足，
，或，，
①当，时，
，
，
，
，
；
；
②当，时，
，
，
，
，
，
此时不符合，舍去，
故答案为：．
【变式6-4】（2015秋 安图县月考）阅读材料，回答问题．
计算：．
解：方法一：原式．
方法二：原式的倒数为：
故原式．
用适当的方法计算：．
【解答】解：
，
原式．
必刷提高题
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第一章《有理数》
1.3-1.4 有理数的加减乘除
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知识点1：倒数
【例1】（2020 东营一模）的倒数是
A． B． C． D．
【变式1-1】（2020 青山区校级模拟）的负倒数是
A． B．3 C． D．
【变式1-2】（2019春 金山区期末）的倒数是 ．
【变式1-3】（2016秋 汨罗市校级期中）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值等于2的数，求式子．www.21-cn-jy.com
知识点2：有理数的加法
【例2】（2020春 香坊区校级期中）下列说法正确的是
A．在数轴上与原点的距离越远的点表示的数越大
B．在数轴上与之间的有理数为
C．任何一个有理数都可以在数轴上表示出来
D．比大6的数是7
【变式2-1】（2019秋 行唐县期末）若的相反数是，，则的值为
A． B．2 C．或2 D．8或
【变式2-2】（2019秋 渝北区期末）已知，，，则
【变式2-3】（2017秋 崇川区期末）若，，则 ．
【变式2-4】（2019秋 仪陇县期中）已知，，且，求的值．
【变式2-5】（2019秋 兰考县期中）已知，；
（1）当、同号时，求的值；
（2）当、异号时，求的值．
知识点3：有理数的减法
【例3】（2019秋 青龙县期末）据中央气象台发布，2019年11月30日某市的最高气温是，最低气温是，则该天的最高气温比最低气温高 21cnjy.com
A． B． C． D．
【变式3-1】（2019秋 海珠区期末）已知，是有理数，若在数轴上的对应点的位置如图所示，且，有以下结论：21世纪教育网版权所有
①；②；③；④，
其中结论正确的个数是
A．4个 B．2个 C．3个 D．1个
【变式3-2】（2018秋 梁平区期末）若，，且，那么 ．
【变式3-3】（2019秋 陇县期中）比小4的数是 ．
【变式3-4】（2019秋 莱西市期中）【阅读】表示4与1差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点间的距离．2·1·c·n·j·y
（1）
（2）
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得，则 ．
（4）利用数轴找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是： ．
【变式3-5】（2017秋 朝阳区期末）观察下面的等式：
；
；
；
；
回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）已知，则的值是 ；
（3）设满足上面特征的等式最左边的数为，求的最大值，并写出此时的等式．
知识点4：有理数的加减混合运算
【例4】（2019秋 江夏区期末）计算：
A． B． C． D．
【变式4-1】（2019秋 麻城市校级期中）下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
【变式4-2】（2018秋 安仁县期末）已知，，，且，那么 ．
【变式4-3】（2018秋 东台市月考）计算： ．
【变式4-4】（2018秋 金乡县期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：
解：原式
启发应用
用上面的方法完成下列计算：
（1）；
（2）．
知识点5：有理数的乘法
【例5】（2020 历下区一模）有理数，在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【变式5-1】（2017秋 荔湾区期中）已知，，且，则的值为 ．
【变式5-2】（2017秋 西乡塘区校级月考）已知，．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
知识点6：有理数的除法
【例6】（2019秋 路南区期末）如图，在不完整的数轴上有、两点，当原点是线段的中点时，下列说法错误的是 21教育网
A．点、表示的两个数互为相反数
B．点、表示的两个数绝对值相等
C．点、表示的两个数的商为
D．点、表示的两个数互为负倒数
【变式6-1】（2019秋 封开县期末）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中，①；②；③；④；⑤；正确的是 21·cn·jy·com
A．①②⑤ B．③④ C．③⑤ D．②④
【变式6-2】（2018秋 鲤城区期末）若，则的值为 ．
【变式6-3】（2018秋 启东市期中）已知有理数，满足，，，则的值为 ．
【变式6-4】（2015秋 安图县月考）阅读材料，回答问题．
计算：．
解：方法一：原式．
方法二：原式的倒数为：
故原式．
用适当的方法计算：．
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