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第一章《有理数》
1.5 有理数的乘方
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知识点1：有理数的乘方
【例1】（2020 天津模拟）计算的结果等于
A．2 B． C． D．
【变式1-1】（2019秋 岑溪市期末）在有理数，，，0，，中，正整数一共有多少个？ 21教育网
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2019秋 沙坪坝区校级月考）大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若 “分裂”后，其中最大的一个奇数是41，则的值是 ．21·cn·jy·com
【变式1-3】（2018 蒙阴县二模）一般的，如果，那么叫做以为底的对数，记作．例如：由于，所以3是以2为底8的对数，记作；由于，所以1是以为底的对数，记作．www.21-cn-jy.com
对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果，且，，，那么：
（1）；
（2）；
（3）．
根据上面的运算性质，计算的结果是 ．
【变式1-4】（2019 柳州模拟）阅读材料，求值：．
解：设，将等式两边同时乘以2得：
将下式减去上式得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）（其中为正整数）
【变式1-5】（2017秋 定远县校级期中）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结．
【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空：
（1），；
（2），；
（3）若，则 ；
（4）若，则 ．
【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是：
【知识运用】运用上述结论解答：已知，，求的值．
知识点2：有理数的混合运算
【例2】（2019秋 密云区期末）定义运算★，如1★．若，且★，则的值为
A．7 B．1 C．1或7 D．3或
【变式2-1】（2019秋 广饶县期末）六年级参加书画比赛的同学有95人，比七年级的参赛人数少，七年级参加书画比赛的有 2·1·c·n·j·y
A．89人 B．104人 C．114人 D．570人
【变式2-2】（2019秋 鄂城区期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式2-3】（2019秋 台州期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，时，其“运算”如下：2-1-c-n-j-y
若，则第2019次“运算”的结果是 ．
【变式2-4】（2019秋 农安县期末）已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，求的值．21cnjy.com
【变式2-5】（2019秋 江油市期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
知识点3：近似数和有效数字
【例3】（2019秋 余杭区期末）用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是
A．107 B．107.0 C．106 D．106.5
【变式3-1】（2019秋 曲靖期末）已知是由四舍五人得到的近似数，则的可能取值范围是
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2019秋 瑞安市期中）0.720精确到 位，50780精确到千位的近似数是 ．
【变式3-3】（2018秋 宿迁期末）圆周率，用四舍五入法把精确到万分位，得到的近似值是 ．21*cnjy*com
【变式3-4】判断并改错（只改动括号的部分）
（1）用四舍五入得到的近似数0.0130有个有效数字）．
（2）用四舍五入法，把0.63048精确到千分位的近似数是．
（3）由四舍五入得到的近似数3.70和3.7是（不一样的）．
（4）由四舍五入得到的近似数4.7万，它精确到（千位）．
【变式3-5】下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？
（1）132.4；（2）0.0572；（3）
知识点4：科学记数法—表示较大的数
【例4】（2020 滨海新区一模）据国家卫健委通报，截至到3月9日，全国支援武汉和湖北抗击疫情的医护人员已达到4.26万人．将42600用科学记数法表示为 21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【变式4-1】（2020 光明区一模）自教育部开展“停课不停学”工作以来，截至2020年4月3日，参加在线课程学习的学生达11.8亿人次，将11.8亿用科学记数法表示为 www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【变式4-2】（2019秋 太仓市期末）地球与月球的平均距离为384 ，将384 000这个数用科学记数法表示为 ．21世纪教育网版权所有
【变式4-3】（2020 道里区校 ( http: / / www.21cnjy.com )级二模）保护水资源，人人有责，我国目前可利用的淡水资源总量仅为899000亿立方米，请用科学记数法表示这个数899000是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
【变式4-4】（2017春 盐都区期中）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果．
（1）求一个容积为的氢气球所充氢气的质量；
（2）一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍．
【变式4-5】（2016春 故城县校级期中）已知一台计算机的运算速度为次秒．
（1）求这台计算机秒运算了多少次？
（2）若该计算机完成一道证明题需要进行次运算，求完成这道证明题需要多少分钟？
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第一章《有理数》
1.5 有理数的乘方
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知识点1：有理数的乘方
【例1】（2020 天津模拟）计算的结果等于
A．2 B． C． D．
【解答】解：原式，
故选：．
【变式1-1】（2019秋 岑溪市期末）在有理数，，，0，，中，正整数一共有多少个？ 21世纪教育网版权所有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：，，0，，，
在有理数，，，0，，中，
正整数有，共有1个，
故选：．
【变式1-2】（2019秋 沙坪坝区校级月考）大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若 “分裂”后，其中最大的一个奇数是41，则的值是 ．2-1-c-n-j-y
【解答】解：，，，
，
分裂后的第一个数是，共有个奇数，
最大奇数为，
即，
，
最大的一个奇数是41，则的值6．
故答案为：6．
【变式1-3】（2018 蒙阴县二模）一般的，如果，那么叫做以为底的对数，记作．例如：由于，所以3是以2为底8的对数，记作；由于，所以1是以为底的对数，记作．【来源：21cnj*y.co*m】
对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果，且，，，那么：
（1）；
（2）；
（3）．
根据上面的运算性质，计算的结果是 ．
【解答】解：
．
故答案为：20．
【变式1-4】（2019 柳州模拟）阅读材料，求值：．
解：设，将等式两边同时乘以2得：
将下式减去上式得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）（其中为正整数）
【解答】解：（1）设，
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即；
（2）设，
将等式两边同时乘以3，得
，
将下式减去上式，得
即
得．
【变式1-5】（2017秋 定远县校级期中）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结．
【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空：
（1），；
（2），；
（3）若，则 ；
（4）若，则 ．
【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是：
【知识运用】运用上述结论解答：已知，，求的值．
【解答】解：【知识呈现】
（3）若，则；
（4）若，则．
【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有两个，平方等于一个正数的数有两个；21教育网
【知识运用】根据题意得：或，或，
解得：或，或，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
综上所述，的值是3，，，．．
故答案为：；；绝对值等于一个正数的数有两个，平方等于一个正数的数有两个．
知识点2：有理数的混合运算
【例2】（2019秋 密云区期末）定义运算★，如1★．若，且★，则的值为
A．7 B．1 C．1或7 D．3或
【解答】解：★，且，
，
或，
解得或，
故选：．
【变式2-1】（2019秋 广饶县期末）六年级参加书画比赛的同学有95人，比七年级的参赛人数少，七年级参加书画比赛的有 21·cn·jy·com
A．89人 B．104人 C．114人 D．570人
【解答】解：
．
故选：．
【变式2-2】（2019秋 鄂城区期末）若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，则的值是 ．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意得，，，
则原式
，
故答案为：．
【变式2-3】（2019秋 台州期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，时，其“运算”如下：【来源：21·世纪·教育·网】
若，则第2019次“运算”的结果是 ．
【解答】解：由题意可得，
当时，
第一次输出的结果为：13，
第二次输出的结果为：40，
第三次输出的结果为：5，
第四次输出的结果为：16，
第五次输出的结果为：1，
第六次输出的结果为：4，
第七次输出的结果为：1
第八次输出的结果为：4
，
，
第2019次“运算”的结果是1，
故答案为：1．
【变式2-4】（2019秋 农安县期末）已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，求的值．www.21-cn-jy.com
【解答】解：由已知可得，，，；
当时，
当时，
【变式2-5】（2019秋 江油市期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）根据题中新定义得：；．
（2）根据题中新定义得：，
，
已知等式整理得：，
解得：．
知识点3：近似数和有效数字
【例3】（2019秋 余杭区期末）用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是
A．107 B．107.0 C．106 D．106.5
【解答】解：用四舍五入法把106.49精确到个位的近似数是106，
故选：．
【变式3-1】（2019秋 曲靖期末）已知是由四舍五人得到的近似数，则的可能取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：的可能取值范围是．
故选：．
【变式3-2】（2019秋 瑞安市期中）0.720精确到 位，50780精确到千位的近似数是 ．
【解答】解：0.720精确到千分位，50780精确到千位的近似数是．
故答案为：千分，．
【变式3-3】（2018秋 宿迁期末）圆周率，用四舍五入法把精确到万分位，得到的近似值是 ．21cnjy.com
【解答】解：用四舍五入法把精确到万分位，得到的近似值是3.1416，
故答案为：3.1416．
【变式3-4】判断并改错（只改动括号的部分）
（1）用四舍五入得到的近似数0.0130有个有效数字）．
（2）用四舍五入法，把0.63048精确到千分位的近似数是．
（3）由四舍五入得到的近似数3.70和3.7是（不一样的）．
（4）由四舍五入得到的近似数4.7万，它精确到（千位）．
【解答】解：（1）用四舍五入得到的近似数0.0130有1、3、0三个有效数字；
（2）用四舍五入法，把0.63048精确到千分位的近似数是0.630．
（3）由四舍五入得到的近似数3.70是精确到百分位，3.7是精确到十分位，故两近似数是不一样的．
（4）由四舍五入得到的近似数4.7万，它精确到千位，
故答案为：（1）有3个有效数字；（2）0.630；（3）不一样；（4）千位．
【变式3-5】下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？
（1）132.4；（2）0.0572；（3）
【解答】解：（1）132.4精确到十分位，有4个有效数字；
（2）0.0572精确到万分位，有3个有效数字；
（3）精确到十位，有3个有效数字．
知识点4：科学记数法—表示较大的数
【例4】（2020 滨海新区一模）据国家卫健委通报，截至到3月9日，全国支援武汉和湖北抗击疫情的医护人员已达到4.26万人．将42600用科学记数法表示为 21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【解答】解：将数据42600用科学记数法可表示为：．
故选：．
【变式4-1】（2020 光明区一模）自教育部开展“停课不停学”工作以来，截至2020年4月3日，参加在线课程学习的学生达11.8亿人次，将11.8亿用科学记数法表示为 www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【解答】解：11.8亿．
故选：．
【变式4-2】（2019秋 太仓市期末）地球与月球的平均距离为384 ，将384 000这个数用科学记数法表示为 ．21*cnjy*com
【解答】解：将384 000这个数用科学记数法表示为，
故答案为：．
【变式4-3】（2020 ( http: / / www.21cnjy.com ) 道里区校级二模）保护水资源，人人有责，我国目前可利用的淡水资源总量仅为899000亿立方米，请用科学记数法表示这个数899000是 ．【出处：21教育名师】
【解答】解：将899000用科学记数法表示为：．
故答案为：．
【变式4-4】（2017春 盐都区期中）已知的氢气质量约为，请用科学记数法表示下列计算结果．
（1）求一个容积为的氢气球所充氢气的质量；
（2）一块橡皮重，这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍．
【解答】解：（1），
；
（2）．
故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍．
【变式4-5】（2016春 故城县校级期中）已知一台计算机的运算速度为次秒．
（1）求这台计算机秒运算了多少次？
（2）若该计算机完成一道证明题需要进行次运算，求完成这道证明题需要多少分钟？
【解答】解：（1）这台计算机秒，则一共计算了：（次），
答：这台计算机秒运算了次；
（2）由题意可得：（秒）=150（分钟），
答：完成这道证明题需要150分钟．
必刷提高题
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