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第三章《一元一次方程》
3.1 从算式到方程
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知识点1：方程的定义
【例1】（2017秋 全椒县期末）已知关于的一元一次方程，则的值为
A．3 B． C． D．
【解答】解：方程是关于的一元一次方程，
，解得．
故选：．
【变式1-1】（2016秋 昌江县校级月考）下列四个式子中，是方程的是
A． B． C． D．
【解答】解：是方程的是，
故选：．
【变式1-2】方程，，都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程，，是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？21世纪教育网版权所有
【解答】解：方程，，不是一元一次方程；
和是一元二次方程；
是二元一次方程．
知识点2：方程的解
【例2】（2019秋 高新区校级月考）若满足方程，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：满足方程，
，
．
故选：．
【变式2-1】（2019春 崇川区校级月考）小成心里想了两个数字，，满足下列三个方程，那么不满足的那个方程是 21教育网
A． B． C． D．
【解答】解：假设满足选项、两个方程，则
．
解得．
把代入选项的方程，满足选项的方程，
说明不满足的那个方程是选项的方程，
故选：．
【变式2-2】（2019秋 玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是 ．21·cn·jy·com
【解答】解：●用表示，把代入方程得，
解得：．
故答案是：1．
【变式2-3】（2019秋 靖远县期末）已知是方程的解，则 ．
【解答】解：把代入方程，
得：，
解方程得：．
故填：．
【变式2-4】（2011秋 郧西县期末）已知是方程的解，求代数式的值．
【解答】解：把代入方程得：
，
，
解得：，
把代入得：
；
或：；
所以代数式的值是：或23．
【变式2-5】判断下列方程的解是正数、负数、还是
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），方程的解是负数；
（2），方程的解是负数；
（3），方程的解是正数；
（4），方程的解是0．
知识点3：等式的性质
【例3】（2020春 内乡县期中）下列方程的变形，正确的是
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【解答】解：、由，得，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；
、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
、由，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
、由，得，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：．
【变式3-1】（2019秋 岳阳楼区校级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：若，只有时，成立，
选项符合题意；
若，则，
选项不符合题意；
若，则，
选项不符合题意；
若，则，
选项不符合题意．
故选：．
【变式3-2】（2019春 新野县期中）方程可变形为 ．
【解答】解：变形为，是利用了分数的性质，
右边不变，
故答案为1．
【变式3-3】（2018 深圳模拟）有下列等式：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得；21cnjy.com
⑤由，得．其中正确的是 ．
【解答】解：①由，得，正确；
②由，得，正确；
③由，得，不正确；
④由，得，正确；
⑤由，得或，不正确．
故答案为：①②④
【变式3-4】（2017秋 西城区校级期中）阅读下列材料：
问题：怎样将表示成分数？
小明的探究过程如下：
设①
②
③
④
⑤
⑥
⑦．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是 ；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是 ；
（2）仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式．
【解答】解：（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等www.21-cn-jy.com
从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是：等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． 2·1·c·n·j·y
故答案为：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）设，
，
，
，
，
．
【变式3-5】说出下列各等式变形的根据：
（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得．
【解答】解：（1）
等式两边同时加3，得
两边同时除以4，得
；
（2），
两边同时加，得
，
两边同时乘3，得
；
（3），
移项及合并同类项，得
两边同时乘以，得
．
知识点4：一元一次方程的定义
【例4】（2019秋 南岗区期末）下列各式中，是一元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，是二元一次方程，不符合题意；
、，是二元一次方程，不符合题意；
、，是一元一次方程，符合题意；
、，是分式方程，不符合题意，
故选：．
【变式4-1】（2019秋 青山区期末）下列方程，是一元一次方程的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，是一元一次方程，符合题意；
、，是二元一次方程，不符合题意；
、，是一元二次方程，不符合题意；
、，是分式方程，不符合题意，
故选：．
【变式4-2】（2020春 洛宁县期中）关于的方程是一元一次方程，则的值是 ．
【解答】解：由题意，得
，且，
解得，
故答案为：．
【变式4-3】（2018秋 鄂州期末）如果方程是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【解答】解：方程是关于的一元一次方程，
且，
解得．
故答案是：．
【变式4-4】（2017秋 上杭县期中）已知关于的方程是一元一次方程．试求：
（1）的值；
（2）的值．
【解答】解：（1）依题意有且，解之得，
故；
（2），
当时，原式．
【变式4-5】（2016秋 余杭区期末）已知关于的方程是一元一次方程，试求：
（1）的值；
（2）的值．
【解答】解：（1）依题意有且，解之得，
故；
（2）当时，．
知识点5：一元一次方程的解
【例5】（2019秋 姜堰区期末）已知关于的方程的解是，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：关于的方程的解是，
，
．
故选：．
【变式5-1】（2020春 长春期末）下列方程中，解为的是
A． B． C． D．
【解答】解：、将代入方程左边，右边，左边右边，不是方程的解；
、将代入方程左边，右边，左边右边，不是方程的解；
、将代入方程右边，左边，左边右边，是方程的解；
、将代入方程左边，右边，左边右边，不是方程的解，
故选：．
【变式5-2】（2019秋 天桥区期末）小明在做解方程的作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，方程是：■．小明翻看了书后的答案，此方程的解是，则这个常数是 ．
【解答】解：设所缺的部分为，
则，
把代入，得
得．
故答案是：1．
【变式5-3】（2019秋 薛城区期末）已知是关于的一元一次方程的解， 则的值为 ．
【解答】解： 把代入方程得，
解得．
故答案是：．
【变式5-4】（2019秋 路北区期末）如果是方程的解，那么关于的方程的解是多少？
【解答】解：当时，，
解得：，
将代入方程得：
即，
解得：．
【变式5-5】（2020春 船营区期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断是否是差解方程；
（2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值．
【解答】解：（1），
，
，
是差解方程；
（2），
，
关于的一元一次方程是差解方程，
，
解得：．
必刷提高题
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第三章《一元一次方程》
3.1 从算式到方程
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【例1】（2017秋 全椒县期末）已知关于的一元一次方程，则的值为
A．3 B． C． D．
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A． B． C． D．
【变式1-2】方程，，都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程，，是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？21世纪教育网版权所有
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【例2】（2019秋 高新区校级月考）若满足方程，则等于
A． B． C． D．
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A． B． C． D．
【变式2-2】（2019秋 玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断●应该是 ．21cnjy.com
【变式2-3】（2019秋 靖远县期末）已知是方程的解，则 ．
【变式2-4】（2011秋 郧西县期末）已知是方程的解，求代数式的值．
【变式2-5】判断下列方程的解是正数、负数、还是
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
知识点3：等式的性质
【例3】（2020春 内乡县期中）下列方程的变形，正确的是
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【变式3-1】（2019秋 岳阳楼区校级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3-2】（2019春 新野县期中）方程可变形为 ．
【变式3-3】（2018 深圳模拟）有下列等式：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得；21·cn·jy·com
⑤由，得．其中正确的是 ．
【变式3-4】（2017秋 西城区校级期中）阅读下列材料：
问题：怎样将表示成分数？
小明的探究过程如下：
设①
②
③
④
⑤
⑥
⑦．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）从步骤①到步骤②，变形的依据是 ；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是 ；
（2）仿照上述探求过程，请你将表示成分数的形式．
【变式3-5】说出下列各等式变形的根据：
（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得．
知识点4：一元一次方程的定义
【例4】（2019秋 南岗区期末）下列各式中，是一元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式4-1】（2019秋 青山区期末）下列方程，是一元一次方程的是
A． B． C． D．
【变式4-2】（2020春 洛宁县期中）关于的方程是一元一次方程，则的值是 ．
【变式4-3】（2018秋 鄂州期末）如果方程是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【变式4-4】（2017秋 上杭县期中）已知关于的方程是一元一次方程．试求：
（1）的值；
（2）的值．
【变式4-5】（2016秋 余杭区期末）已知关于的方程是一元一次方程，试求：
（1）的值；
（2）的值．
知识点5：一元一次方程的解
【例5】（2019秋 姜堰区期末）已知关于的方程的解是，则的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-1】（2020春 长春期末）下列方程中，解为的是
A． B． C． D．
【变式5-2】（2019秋 天桥区期末）小明在做解方程的作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，方程是：■．小明翻看了书后的答案，此方程的解是，则这个常数是 ．
【变式5-3】（2019秋 薛城区期末）已知是关于的一元一次方程的解， 则的值为 ．
【变式5-4】（2019秋 路北区期末）如果是方程的解，那么关于的方程的解是多少？
【变式5-5】（2020春 船营区期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是差解方程．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断是否是差解方程；
（2）若关于的一元一次方程是差解方程，求的值．
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