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第四章《几何图形初步》
4.1 几何图形
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知识点1：认识立体图形
【例1】（2019秋 雁塔区校级月考）下列说法不正确的是
A．四棱柱是长方体
B．八棱柱有10个面
C．六棱柱有12个顶点
D．经过棱柱的每个顶点有3条棱
【解答】解：四棱柱的底面若是一般的四边形，不是长方形，就不是长方体，因此选项是不正确的，符合题意，21cnjy.com
八棱柱有8个侧面，2个底面，共有10个面，因此选项不符合题意，
六棱柱上底面有六个顶点，下底面也有6个顶点，共有12个顶点，因此选项不符合题意，
面与面相交成线，线与相交于点，因此经过棱柱的每个顶点有3条棱，不符合题意，
故选：．
【变式1-1】（2016 台湾）有一正棱锥的底面为正三角形．若此正棱锥其中两个面的周长分别为27、15，则此正棱锥所有边的长度和为多少？ 21·cn·jy·com
A．36 B．42 C．45 D．48
【解答】解：如图所示：根据题意得：
，，
其他都不符合三角形条件，解得：，，
正棱锥所有边的长度和；
故选：．
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【变式1-2】（2019秋 玄武区校级期末）若一个棱柱有十个顶点，且所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 ．2·1·c·n·j·y
【解答】解：棱柱共有10个顶点，
该棱柱是五棱柱，
所有的侧棱长的和是，
每条侧棱长为．
故答案为：6．
【变式1-3】（2019春 崇明区期末）如图，在长方体中，可以把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸，从而说明棱 垂直于平面．
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【解答】解：把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸，从而说明棱平面，
故答案是：．
【变式1-4】如图，在长方体─中，与棱相交的棱有 ．
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【解答】解：观察图形可知，与棱相交的棱有，，，．
故答案为，，，．
【变式1-5】（2017秋 中山市期末）两种规格的长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）
长 宽 高
小纸盒 20
大纸盒 30
（1）做这种规格的纸盒各一个，共用料多少平方厘米？
（2）做一个大纸盒与做三个小纸盒，哪个用料多？多多少平方厘米？
【解答】解：（1）2
（平方厘米）．
答：共用料平方厘米；
（2）2 （平方厘米）；
（平方厘米）；
（平方厘米）．
答：做三个小纸盒的用料多，多平方厘米．
【变式1-6】（2017秋 顺德区校级月考）如果一个棱柱一共有12顶点，底边长是侧棱长的一半，并且所有的棱长的和是，求每条侧棱的长．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：设底边长为，则侧棱长为，
根据题意得：，
解得：，
，
答：侧棱长为．
知识点2：点、线、面、体
【例2】（2019秋 天桥区期末）下面的几何体，是由、、、中的哪个图旋转一周形成的
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A． B． C． D．
【解答】解：根据面动成体，可知图旋转一周形成圆台这个几何体，
故选：．
【变式2-1】如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的实物图是
A． B． C． D．
【解答】解：图形绕虚线旋转一周，可以得到的几何体有两部分组成：上面是圆锥，下面是圆柱，
故选：．
【变式2-2】夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，这是因为
A．面对成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线
【解答】解：夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线是因为点动成线，
故选：．
【变式2-3】如图所示图形绕图示的虚线旋转一周，（1）能形成 ，（2）能形成 ，（3）能形成 ．
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【解答】解：长方形绕它的一边旋转一周可形成圆柱；
直角三角形绕它的直角边边旋转一周可形成圆锥；
半圆绕它的直径旋转一周可形成球．
故答案为圆柱；圆锥；球．
【变式2-4】（2019秋 雁塔区校级月考）如图是一个长为，宽为的长方形纸片，若将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积为 ．（结果保留www.21-cn-jy.com
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【解答】解：将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱体，
所以：体积为：，
故答案为：．
【变式2-5】（2018秋 成都期末）已知一个直角三角形的两直角边分别是，．将这个直角三角形绕它的一直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，则这个圆锥的体积是 ．（结果用表示）21·世纪*教育网
【解答】解：分两种情况：
①；
②．
这个圆锥的体积是或立方厘米．
故答案为：或．
【变式2-6】（2019秋 兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．
（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到 种大小不同的几何体？
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积，其中取
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【解答】解：（1）将直角三角形纸板绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体．21教育网
（2）以为轴：
（立方厘米）；
以为轴：
（立方厘米）．
答：以为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
故答案为：3．
【变式2-7】（2016秋 抚州校级月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为、和的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．21*cnjy*com
（1）请画出可能得到的几何体简图．
（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积高）
【解答】解：（1）以为轴，得
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以为轴，得
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以为轴，得
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（2）以为轴体积为，
以为轴的体积为，
以为轴的体积为．
【变式2-8】（2019秋 莱西市期中）如图是一个长为，宽为的长方形纸片
（1）若将此长方形纸片绕长边或短边所在直线旋转一周，能形成的几何体是 ，这能说明的事实是 ．
（2）求：当此长方形纸片绕长边所在直线旋转一周时（如图，所形成的几何体的体积．
（3）求：当此长方形纸片绕短边所在直线旋转一周时（如图，所形成的几何体的体积．
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【解答】解：（1）若将此长方形纸片绕长边或短边所在直线旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）绕长边旋转得到的圆柱的底面半径为，高为，体积；
（3）绕短边旋转得到的圆柱底面半径为，高为，体积．
故答案为：圆柱；面动成体．；．
【变式2-9】（2018秋 金水区校级月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为、和的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．【出处：21教育名师】
（1）请画出可能得到的几何体简图．
（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积高）
【解答】解：（1）以为轴，得
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以为轴，得
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以为轴，得
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（2）以为轴体积为，
以为轴的体积为，
以为轴的体积为．
知识点3：认识平面图形
【例3】（2019 天心区校级自主招生）已知如图，则不含阴影部分的矩形的个数是
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A．15 B．24 C．25 D．26
【解答】解：根据以上分析不含阴影的矩形个数为26个．
故选：．
【变式3-1】（2017秋 长安区校级月考）平面内有四条直线，无论位置关系如何，它们的交点个数不可能是 www-2-1-cnjy-com
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【解答】解：如图所示：
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故不可能为2个交点．
故选：．
【变式3-2】用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形，最多搭成 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，用六根长度相等的火柴棒可以搭成如下图中三棱锥的形状，所以最多搭成4个等边三角形．
故选．
【变式3-3】（2019秋 道里 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）把圆分成若干等份，然后把它剪开，照右图的样子拼成一个近似的长方形．已知长方形的周长比原来圆的周长增加了4厘米，这个圆的周长是 厘米，拼成的长方形面积是 平方厘米．【版权所有：21教育】
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【解答】解：设原的半径是，
则长方形的长为，宽为，
，
解得，
这个圆的周长是厘米；
拼成的长方形面积是平方厘米．
故答案为：，．
【变式3-4】（2016春 任城区期中）一个圆被分成四个扇形，若各个扇形的面积之比为，则最小的扇形的圆心角的度数为 ．21世纪教育网版权所有
【解答】解：扇形，，，的面积之比为，
其所占扇形比分别为：，
最小的扇形的圆心角是．
故答案为：．
【变式3-5】（2013秋 莘县期中）如图，数一数，图中共有 个三角形．
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【解答】解：仔细观察图形可知，图中共有20个三角形．
故答案为20．
【变式3-6】（2018 台湾）如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？ 2-1-c-n-j-y
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为12，不合题意；
选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：．
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第四章《几何图形初步》
4.1 几何图形
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知识点1：认识立体图形
【例1】（2019秋 雁塔区校级月考）下列说法不正确的是
A．四棱柱是长方体
B．八棱柱有10个面
C．六棱柱有12个顶点
D．经过棱柱的每个顶点有3条棱
【变式1-1】（2016 台湾）有一正棱锥的底面为正三角形．若此正棱锥其中两个面的周长分别为27、15，则此正棱锥所有边的长度和为多少？ 21cnjy.com
A．36 B．42 C．45 D．48
【变式1-2】（2019秋 玄武区校级期末）若一个棱柱有十个顶点，且所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 ．21·cn·jy·com
【变式1-3】（2019春 崇明区期末）如图，在长方体中，可以把平面与平面组成的图形看作直立于面上的合页形折纸，从而说明棱 垂直于平面．
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【变式1-4】如图，在长方体─中，与棱相交的棱有 ．
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长 宽 高
小纸盒 20
大纸盒 30
（1）做这种规格的纸盒各一个，共用料多少平方厘米？
（2）做一个大纸盒与做三个小纸盒，哪个用料多？多多少平方厘米？
【变式1-6】（2017秋 顺德区校级月考）如果一个棱柱一共有12顶点，底边长是侧棱长的一半，并且所有的棱长的和是，求每条侧棱的长．www.21-cn-jy.com
知识点2：点、线、面、体
【例2】（2019秋 天桥区期末）下面的几何体，是由、、、中的哪个图旋转一周形成的
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A． B． C． D．
【变式2-1】如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的实物图是
A． B． C． D．
【变式2-2】夜里将点燃的蚊香迅速绕一圈，可划出一个曲线，这是因为
A．面对成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线
【变式2-3】如图所示图形绕图示的虚线旋转一周，（1）能形成 ，（2）能形成 ，（3）能形成 ．
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【变式2-4】（2019秋 雁塔区校级月考）如图是一个长为，宽为的长方形纸片，若将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体的体积为 ．（结果保留21教育网
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【变式2-5】（2018秋 成都期末）已知一个直角三角形的两直角边分别是，．将这个直角三角形绕它的一直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，则这个圆锥的体积是 ．（结果用表示）2·1·c·n·j·y
【变式2-6】（2019秋 兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．
（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到 种大小不同的几何体？
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积，其中取
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【变式2-7】（2016秋 抚州校级月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为、和的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．21·世纪*教育网
（1）请画出可能得到的几何体简图．
（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积高）
【变式2-8】（2019秋 莱西市期中）如图是一个长为，宽为的长方形纸片
（1）若将此长方形纸片绕长边或短边所在直线旋转一周，能形成的几何体是 ，这能说明的事实是 ．
（2）求：当此长方形纸片绕长边所在直线旋转一周时（如图，所形成的几何体的体积．
（3）求：当此长方形纸片绕短边所在直线旋转一周时（如图，所形成的几何体的体积．
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（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积高）
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【变式3-1】（2017秋 长安区校级月考）平面内有四条直线，无论位置关系如何，它们的交点个数不可能是 【来源：21·世纪·教育·网】
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【变式3-2】用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形，最多搭成 个．
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【变式3-4】（2016春 任城区期中）一个圆被分成四个扇形，若各个扇形的面积之比为，则最小的扇形的圆心角的度数为 ．2-1-c-n-j-y
【变式3-5】（2013秋 莘县期中）如图，数一数，图中共有 个三角形．
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【变式3-6】（2018 台湾）如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？ 21*cnjy*com
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
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