中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《几何图形初步》
4.2 直线、射线、线段
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点1：直线、射线、线段
【例1】（2018春 东营区校级期中）下列语句中准确规范的是
A．直线，相交于一点 B．反向延长直线
C．反向延长射线是端点） D．延长线段到，使
【变式1-1】（2018秋 鄂州期末）如图，点，，，，，在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为 21cnjy.com
A．10，10 B．12，15 C．15，12 D．15，15
【变式1-2】（2016秋 青龙县期末）已知线段，在上逐一画点（所画点与、不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段 条．21·cn·jy·com
【变式1-3】（2019秋 孝昌县期末）如图，点、、、是直线上的四个点，图中共有线段的条数是 ．21·世纪*教育网
【变式1-4】（2018 朝阳区二模）直线，，的位置关系如图所示，则下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，，两两相交；④点是直线，，的公共点，正确的有 （只填写序号）．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式1-5】（2019秋 长葛市期末）如图，已知、、、四点，根据下列要求画图：
（1）画直线、射线；
（2）画；
（3）找一点，使点既在上又在上．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式1-6】（2018秋 大东区期中）读图，回答问题
（1）在线段上取一点，共有 条线段
（2）在线段上取两点，，共有 条线段
（3）在线段上取三点，，，共有 条线段
（4）在线段上取个点，共有 条线段
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点2：直线的性质：两点确定一条直线
【例2】已知、为平面上的2个定点，且．若点、到直线的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有 条．www-2-1-cnjy-com
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-1】（2017秋 孟津县期末）在平面内，有2点最多画一条直线，有3点最多能画3条直线，有4点最多能画6条直线，，那么有10点最多能画 条直线（每经过两点确定一条直线）．
【变式2-2】同一平面内有个点，经过其中每两个点画一条直线，最少可以画几条？最多可以画几条？
【变式2-3】（2017秋 濉溪县月考）过 ( http: / / www.21cnjy.com )平面上四点中的任意两点作直线，甲说有一条，乙说有四条，丙说有六条，丁说他们说的都不对，应该是一条、四条或六条，谁说的对？请画图来说明你的看法．
知识点3：线段的性质：两点之间线段最短
【例3】（2019秋 南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，、、各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上、、三点共线），已知，，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在 【版权所有：21教育】
A．住宅区 B．住宅区
C．住宅区 D．、住宅区中间处
【变式3-1】（2015秋 新泰市期中）四边形中，，，，，，．在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则其最小和为 ．
【变式3-2】（2014秋 慈溪市期末）如图，，，是同一平面内的三点，且与距离为5，与距离为6，与距离为8，直线经过点，且可以绕点转动，点是直线上的任意一点．
（1）若直线与线段有交点，在图1中画出使取最小值的点，并写出的最小值；
（2）如图2．
①若图中表示的是直线的一个确定的位置，画图表示线段长度最小的位置，并说明理由；
②当直线绕点转动时，设点到直线的距离的最大值为，直接写出的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点4：两点间的距离
【例4】（2020 浙江自主招生）某公司员工分别在、、三个住宅区，区有30人，区有15人，区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 21世纪教育网版权所有
A．区 B．区 C．区 D．、两区之间
【变式4-1】（2019秋 薛城区期末）下列叙述：①最小的正整数是0；②单项式的次数是3；③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；④若，则点是线段的中点；⑤若表示有理数，且，则．其中正确的个数有 21教育网
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式4-2】（2019秋 南海区期末）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则 ．2-1-c-n-j-y
【变式4-3】（2015秋 嘉峪关校级期末）若线段，是线段上的任意一点，、分别是和的中点，则 ．21教育名师原创作品
【变式4-4】（2019秋 德州期末）如图1，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点，分别是，的中点．www.21-cn-jy.com
（1）求线段的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
（3）动点、分别从、同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？2·1·c·n·j·y
【变式4-5】（2019秋 赫山区期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．21*cnjy*com
【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
【综合运用】
（1）填空：
①、两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ；
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ．
（2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当为何值时，；
（4）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
知识点5：比较线段的长短
【例5】（2018秋 崇左期末）已知线段，是直线上一点，，则线段长为
A．7 B．3 C．3或7 D．以上都不对
【变式5-1】如图，在三角形中，用刻度尺量一量，比较3条边的大小，下列式子正确的是
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【变式5-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第号楼恰好有、2、3、4、个厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼 米处．
【变式5-3】（2019秋 叶集区期末）如图，线段，是线段上一点，是的中点，是的中点．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）若，，求线段的长；
（2）若，试用含的式子表示线段的长．
【变式5-4】（2015秋 金堂县期末）已知、两点在数轴上表示的数为和，、均为数轴上的点，且．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）若、的位置如图所示，试化简：．
（2）如图，若，，求图中以、、、、这5个点为端点的所有线段长度的和；
（3）如图，为中点，为中点，且，，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数为多少？【出处：21教育名师】
必刷提高题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《几何图形初步》
4.2 直线、射线、线段
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点1：直线、射线、线段
【例1】（2018春 东营区校级期中）下列语句中准确规范的是
A．直线，相交于一点 B．反向延长直线
C．反向延长射线是端点） D．延长线段到，使
【解答】解：．点应该用大写字母表示，直线，相交于一点，故本选项错误；
．直线向两端无限延伸，可以反向延长射线，故本选项错误
．反向延长射线（应该是端点），故本选项错误
．可以延长线段到，使，本选项正确；
故选：．
【变式1-1】（2018秋 鄂州期末）如图，点，，，，，在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为 21世纪教育网版权所有
A．10，10 B．12，15 C．15，12 D．15，15
【解答】解：图中线段有15条：线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段、线段，线段、线；
以每个点为端点的射线有2条，共6个点，故射线有12条；
故选：．
【变式1-2】（2016秋 青龙县期末）已知线段，在上逐一画点（所画点与、不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段 条．21cnjy.com
【解答】解：由题意可得：当在上有20个点时，共有线段：，
故答案为：231．
【变式1-3】（2019秋 孝昌县期末）如图，点、、、是直线上的四个点，图中共有线段的条数是 ．www.21-cn-jy.com
【解答】解：图中的线段有：、、、、、共6条，
故答案为：6．
【变式1-4】（2018 朝阳区二模）直线，，的位置关系如图所示，则下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，，两两相交；④点是直线，，的公共点，正确的有 （只填写序号）．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：①点在直线上是错误的；
②直线经过点是错误的；
③直线，，两两相交是正确的；
④点是直线，，的公共点是错误的．
故答案为：③．
【变式1-5】（2019秋 长葛市期末）如图，已知、、、四点，根据下列要求画图：
（1）画直线、射线；
（2）画；
（3）找一点，使点既在上又在上．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图所示：直线、射线即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）如图所示：点即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式1-6】（2018秋 大东区期中）读图，回答问题
（1）在线段上取一点，共有 条线段
（2）在线段上取两点，，共有 条线段
（3）在线段上取三点，，，共有 条线段
（4）在线段上取个点，共有 条线段
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）在线段上取一点，共有条线段；
（2）在线段上取两点，，共有条线段；
（3）在线段上取三点，，，共有条线段；
（4）在线段上取个点，共有
条线段．
故答案为3、6、10、
知识点2：直线的性质：两点确定一条直线
【例2】已知、为平面上的2个定点，且．若点、到直线的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有 条．21*cnjy*com
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图所示：
，点、到直线的距离分别等于2、3，
与外切，共有3条公切线，
满足条件的直线共有3条．
故选：．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-1】（2017秋 孟津县期末）在平面内，有2点最多画一条直线，有3点最多能画3条直线，有4点最多能画6条直线，，那么有10点最多能画 条直线（每经过两点确定一条直线）．
【解答】解：在平面内，有2点最多画1条直线，有3点最多能画条直线，有4点最多能画条直线，，
平面内有个点，过其中两点画直线，最多画条，
有10点最多能画．
故答案为：45．
【变式2-2】同一平面内有个点，经过其中每两个点画一条直线，最少可以画几条？最多可以画几条？
【解答】解：①当同一平面内的个点共线时，可以画一条直线．
②过任何三点都不在一条直线上3点，一共可以画条直线；
过任何三点都不在一条直线上4点，一共可以画条直线；
过任何三点都不在一条直线上5点，一共可以画条直线；
过任何三点都不在一条直线上点，一共可以画条直线．
综上所述，最少可以画1条直线，最多可以画条直线．
【变式2-3】（2017秋 濉溪县月考）过平 ( http: / / www.21cnjy.com )面上四点中的任意两点作直线，甲说有一条，乙说有四条，丙说有六条，丁说他们说的都不对，应该是一条、四条或六条，谁说的对？请画图来说明你的看法．
【解答】解：丁说的对．
（1）当四点共线时，可画1条，如图（1）；
（2）当四点中有三点共线时，可画4条，如图（2）；
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）当四点中任意三点不共线时，可画6条，如图（3）；
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点3：线段的性质：两点之间线段最短
【例3】（2019秋 南沙区期末）如图，某工厂有三个住宅区，、、各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三个区在一条大道上、、三点共线），已知，，为了方便职工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在 【出处：21教育名师】
A．住宅区 B．住宅区
C．住宅区 D．、住宅区中间处
【解答】解：当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和是：；
当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和是：；
当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和是：；
当停靠点在区时，设距离区米，所有员工步行到停靠点路程和是：
．
当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和最小．
故选：．
【变式3-1】（2015秋 新泰市期中）四边形中，，，，，，．在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则其最小和为 ．
【解答】解：两点之间，线段最短，
在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，这个点就是对角线的交点，
对角线，，
其最小和为．
故答案为：24．
【变式3-2】（2014秋 慈溪市期末）如图，，，是同一平面内的三点，且与距离为5，与距离为6，与距离为8，直线经过点，且可以绕点转动，点是直线上的任意一点．
（1）若直线与线段有交点，在图1中画出使取最小值的点，并写出的最小值；
（2）如图2．
①若图中表示的是直线的一个确定的位置，画图表示线段长度最小的位置，并说明理由；
②当直线绕点转动时，设点到直线的距离的最大值为，直接写出的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图1，的最小值是；
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）①如图2，理由：垂线段最短；
( http: / / www.21cnjy.com )
②的值为．
知识点4：两点间的距离
【例4】（2020 浙江自主招生）某公司员工分别在、、三个住宅区，区有30人，区有15人，区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 21教育网
A．区 B．区 C．区 D．、两区之间
【解答】解：当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和是：，
当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和是：，
当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和是：，
当停靠点在、区之间时，
设在区、区之间时，设距离区米，
则所有员工步行路程之和，
，
，
当时，即在区时，路程之和最小，为4500米；
综上，当停靠点在区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在区．
故选：．
【变式4-1】（2019秋 薛城区期末）下列叙述：①最小的正整数是0；②单项式的次数是3；③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；④若，则点是线段的中点；⑤若表示有理数，且，则．其中正确的个数有 21·cn·jy·com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①最小的正整数是0；错误，最小的正整数是1．
②单项式的次数是3；错误，单项式的次数是4．
③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；错误，可以得到六边形．
④若，则点是线段的中点；错误，，，不一定在同一直线上．
⑤若表示有理数，且，则．错误，应该是．
故选：．
【变式4-2】（2019秋 南海区期末）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则 ．21教育名师原创作品
【解答】解：如图1，
设，则，，
点为的中点，
，
，
，
，
解得：，
；
如图2，设，则，，
点为的中点，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：或．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式4-3】（2015秋 嘉峪关校级期末）若线段，是线段上的任意一点，、分别是和的中点，则 ．21*cnjy*com
【解答】解：
点，分别是、的中点，，
，，
；
故答案为：．
【变式4-4】（2019秋 德州期末）如图1，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点，分别是，的中点．
（1）求线段的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
（3）动点、分别从、同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？21·世纪*教育网
【解答】解：（1）线段厘米，厘米，点，分别是，的中点，
厘米，厘米，
厘米；
（2）点，分别是，的中点，
，，
；
（3）①当时，是线段的中点，得
，解得；
②当时，为线段的中点，，解得；
③当时，为线段的中点，，解得；
④当时，为线段的中点，，解得（舍，
综上所述：或或．
【变式4-5】（2019秋 赫山区期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．【来源：21·世纪·教育·网】
【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．
【综合运用】
（1）填空：
①、两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ；
②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为 ；点表示的数为 ．
（2）求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当为何值时，；
（4）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．
【解答】解：（1）①10，3；
②，；
（2）当、两点相遇时，、表示的数相等
，
解得：，
当时，、相遇，
此时，，
相遇点表示的数为4；
（3）秒后，点表示的数，点表示的数为，
，
又，
，
解得：或3，
当：或3时，；
（4）点表示的数为，
点表示的数为，
．
知识点5：比较线段的长短
【例5】（2018秋 崇左期末）已知线段，是直线上一点，，则线段长为
A．7 B．3 C．3或7 D．以上都不对
【解答】解：当点在线段上时：；当在的延长线上时：．
故选：．
【变式5-1】如图，在三角形中，用刻度尺量一量，比较3条边的大小，下列式子正确的是
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：用刻度尺量一量，比较3条边的大小：
．
故选：．
【变式5-2】一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第号楼恰好有、2、3、4、个厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼 米处．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：假设车站距离1号楼米，
则总距离，
①当时，，最小值为1350；
②当时，，最小值为900；
②当时，，最小值为750（此时；
当时，，最小值为750（此时．
综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米．
故答案为：150．
【变式5-3】（2019秋 叶集区期末）如图，线段，是线段上一点，是的中点，是的中点．2-1-c-n-j-y
（1）若，，求线段的长；
（2）若，试用含的式子表示线段的长．
【解答】解：（1）因为，是的中点，
所以，
又因为，是的中点，
所以，
所以；
（2）因为是的中点，
所以，
因为是的中点，
所以，
．
【变式5-4】（2015秋 金堂县期末）已知、两点在数轴上表示的数为和，、均为数轴上的点，且．www-2-1-cnjy-com
（1）若、的位置如图所示，试化简：．
（2）如图，若，，求图中以、、、、这5个点为端点的所有线段长度的和；
（3）如图，为中点，为中点，且，，若点为数轴上一点，且，试求点所对应的数为多少？【版权所有：21教育】
【解答】解：（1）由已知有：，
，
（2）
（4分）又
（6分）
答：所有线段长度的和为41.6（8分）
（3）
为的中点，为的中点
，
（9分）
又
解得：
（10分）
若点在点的左边时，点在原点的左边（图略）
故点所对应的数为（11分）
若点在点的右边时，点在原点的右边（图略）
故点所对应的数为3
答：所对应的数为或3．（12分）
必刷提高题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
