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第四章《几何图形初步》
4.3.1 角
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知识点1：角的概念
【例1】（2019秋 福田区期末）如图所示，下列说法正确的是
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A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角 D．和不是同一个角
【变式1-1】（2015秋 万州区期末）有下列说法：①射线是直线的一半；②线段是点与点的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有 21·cn·jy·com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-2】（2018秋 桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有条射线，此时共有多少个角？
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知识点2：钟面角
【例2】（2019秋 百色期末）上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是
A． B． C． D．
【变式2-1】（2012 通辽）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为
A． B．
C． D．以上结论都不对
【变式2-2】（2014秋 阿坝州期末）时针指示6点15分，它的时针和分针所夹的角是 度．
【变式2-3】（1）1点20分时，时钟的时针与分针的夹角是几度？2点15分时，时钟的时针与分针的夹角又是几度？www.21-cn-jy.com
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针与时针各转过了多大角度？
（3）时钟的分针从4点整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时才能与时针重合？
【变式2-4】（2017秋 兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径表示时针，半径表示分针，它们所成的钟面角为；本题中所提到的角都不小于，且不大于；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．21世纪教育网版权所有
（1）时针每分钟转动的角度为 ，分针每分钟转动的角度为 ；
（2）8点整，钟面角 ，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径指向12点方向，在图中画出6点15分时半径、的大概位置，并求出此时的度数．2·1·c·n·j·y
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【变式2-5】下列关于钟表上时针与分针所成角的问题．
（1）上午3时整，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（2）下午2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（3）一天中有多少次时针与分针成直角？
知识点3：方向角
【例3】（2019 高阳县一模）如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口点沿北偏东的方向行驶30海里到达点，再从点沿北偏西方向行驶30海里到点，要想从点直接回到港口，行驶的方向应是 【来源：21·世纪·教育·网】
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A．南偏西方向 B．南偏西方向
C．南偏西方向 D．南偏西方向
【变式3-1】（2017秋 沂水县期末）学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是，，，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西方向，那么平面图上的等于
A． B． C． D．
知识点4：度分秒的换算
【例4】（2019秋 岳阳楼区校级期末） ； ．
【变式4-1】（2020 通辽）如图，点在直线上，．则的度数是 ．
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【变式4-2】（2017秋 榆树市期末）计算：．
知识点5：作图—基本作图
【例5】（2020秋 西城区校级月考）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交延长线于点．
下列叙述正确的是
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A． B． C． D．平分
【变式5-1】（2020春 郑州期末）下面三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于三条弧①、②、③有以下三种说法：21教育网
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（1）弧①是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧；
（2）弧②是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧；
（3）弧③是以点为圆心，以大于的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式5-2】如图，使用圆规作图，看图填空：
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（1）在射线上 线段 ；
（2）以点 为圆心，以线段 为半径作弧交 于点 ；
（3）分别以点 和点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点 和点 ；
（4）以点 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边 ， 于点 ，点 ．
【变式5-3】如图所示，求作一个角等于已知角．
作法：（1）作射线 ；
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（2）以 为圆心，以 为半径画弧，交于点，交于点；
（3）以 为圆心，以 为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，以 为半径画弧，交前面的弧于点；
（5）过 作射线．就是所求作的角．
【变式5-4】（2020秋 铁西区期中）尺规作图：如图，已知线段，求作线段，使．
【变式5-5】（2019秋 遂宁期末）如图所示，已知锐角及一点．
（1）过点作、的垂线，垂足分别是、；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想与之间的关系，并证明．
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【变式5-6】（2018 福建模拟）如图，已知中，．在上求作点，使．当，时，求的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）21cnjy.com
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【变式5-7】（2017秋 蓬江区校级月考）如图，在直线上找一点点，使．
（不写作法，保留作图痕迹）
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必刷提高题
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第四章《几何图形初步》
4.3.1 角
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知识点1：角的概念
【例1】（2019秋 福田区期末）如图所示，下列说法正确的是
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A．就是 B．可以用表示
C．和是同一个角 D．和不是同一个角
【解答】解：、错误．理由在图中，不能明确表示哪一个角，必须由三个字母表示，本选项不符合题意．
、可以用表示，正确，本选项符合题意．
、和不是同一个角，本选项不符合题意．
、和是同一个角，本选项不符合题意，
故选：．
【变式1-1】（2015秋 万州区期末）有下列说法：①射线是直线的一半；②线段是点与点的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有 21cnjy.com
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：射线是指直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形，没有长度，直线也没有长度，①的说法错误；2·1·c·n·j·y
点与点的距离是指线段的长度，是一个数，而线段是一个图形，②错误；
角的大小与这个角的两边的长短无关，③错误；
当这两个锐角的度数是和时，，的角是锐角，不是钝角，④错误；
正确的个数是0个，
故选：．
【变式1-2】（2018秋 桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有条射线，此时共有多少个角？
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【解答】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：（个；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：（个；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：（个；
（4）由前三问类推，角内有条射线时，图中共有条射线，则角的个数为个．
知识点2：钟面角
【例2】（2019秋 百色期末）上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是
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故选：．
【变式2-1】（2012 通辽）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为
A． B．
C． D．以上结论都不对
【解答】解：点10分时，分针在指在2时位置处，时针指在4时过10分钟处，由于一大格是，10分钟转过的角度为，因此4点10分时，分针与时针的夹角是．
故选：．
【变式2-2】（2014秋 阿坝州期末）时针指示6点15分，它的时针和分针所夹的角是 度．
【解答】解：把6点作为起始时间．15分钟，时针旋转了一个大格的，即，
此时分针指向3，3与6之间有三个大格，共，
故针和分针所夹角的度数是．
【变式2-3】（1）1点20分时，时钟的时针与分针的夹角是几度？2点15分时，时钟的时针与分针的夹角又是几度？21·世纪*教育网
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针与时针各转过了多大角度？
（3）时钟的分针从4点整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时才能与时针重合？
【解答】解：（1）分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格，
点20分时，时针与分针的夹角是，
2点15分时，时针与分针的夹角是．
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针共走了20分钟，
分针转过的角度是，
时针转过的角度是度．
（3）设经过分钟分针可与时针重合（即追上时针），4点时二者夹角是120度（即相距120度）
则列方程得：
解得
分针按顺时针转过的度数为：度，才能与时针重合．
【变式2-4】（2017秋 兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径表示时针，半径表示分针，它们所成的钟面角为；本题中所提到的角都不小于，且不大于；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．www-2-1-cnjy-com
（1）时针每分钟转动的角度为 ，分针每分钟转动的角度为 ；
（2）8点整，钟面角 ，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径指向12点方向，在图中画出6点15分时半径、的大概位置，并求出此时的度数．2-1-c-n-j-y
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【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为，分针每分钟转动的角度为；
故答案为：0.5，6；
（2），4点时，
故答案为：120，4；
（3）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，
．
【变式2-5】下列关于钟表上时针与分针所成角的问题．
（1）上午3时整，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（2）下午2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？是什么角？
（3）一天中有多少次时针与分针成直角？
【解答】解：（1）3点整，时针指向3，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，因此3点整分针与时针的夹角正好是，是直角；www.21-cn-jy.com
（2）如图，
分针由起始位置12开始，旋转了32分钟，
共计
时针由起始位置2开始，旋转了，
时针分针夹角为；
（3）一天中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针（圈，分针每超过一圈，前后各有一次垂直，所以一天中有（次时针与分针垂直．21*cnjy*com
所以一天中有44次时针与分针成直角．
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知识点3：方向角
【例3】（2019 高阳县一模）如图，某边防战士驾驶摩托艇外出巡逻，先从港口点沿北偏东的方向行驶30海里到达点，再从点沿北偏西方向行驶30海里到点，要想从点直接回到港口，行驶的方向应是 【来源：21cnj*y.co*m】
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A．南偏西方向 B．南偏西方向
C．南偏西方向 D．南偏西方向
【解答】解：如图，由题可得，，，，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
从点直接回到港口，行驶的方向应是南偏西方向，
故选：．
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【变式3-1】（2017秋 沂水县期末）学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是，，，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西方向，那么平面图上的等于
A． B． C． D．
【解答】解：从图中发现平面图上的．
故选．
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【变式3-2】（2016春 东平县期中）甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 ．
【解答】解：甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西．
故答案为：南偏西．
知识点4：度分秒的换算
【例4】（2019秋 岳阳楼区校级期末） ； ．
【解答】解：，
；
，，
，
故答案为：35，9，0；12.26．
【变式4-1】（2020 通辽）如图，点在直线上，．则的度数是 ．
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【解答】解：点在直线上，且，
，
故答案为：．
【变式4-2】（2017秋 榆树市期末）计算：．
【解答】解：
．
知识点5：作图—基本作图
【例5】（2020秋 西城区校级月考）如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交延长线于点．
下列叙述正确的是
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A． B． C． D．平分
【解答】解：由作图可知，直线垂直平分线段，故，
故选：．
【变式5-1】（2020春 郑州期末）下面三个图是三个基本作图的作图痕迹，关于三条弧①、②、③有以下三种说法：21·cn·jy·com
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（1）弧①是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧；
（2）弧②是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧；
（3）弧③是以点为圆心，以大于的长为半径所作的弧．
其中正确说法的个数为
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：（1）弧①是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧，正确．
（2）②是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧，错误，应该是②是以点为圆心，大于长为半径所作的弧．21教育网
（3）弧③是以点为圆心，以大于的长为半径所作的弧，错误，应该是弧③是以点为圆心，以大于的长为半径所作的弧，【来源：21·世纪·教育·网】
故选：．
【变式5-2】如图，使用圆规作图，看图填空：
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（1）在射线上 线段 ；
（2）以点 为圆心，以线段 为半径作弧交 于点 ；
（3）分别以点 和点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点 和点 ；
（4）以点 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边 ， 于点 ，点 ．
【解答】解：（1）截取，，；
（2），，，；
（3），，，；
（4），，，，．
【变式5-3】如图所示，求作一个角等于已知角．
作法：（1）作射线 ；
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（2）以 为圆心，以 为半径画弧，交于点，交于点；
（3）以 为圆心，以 为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，以 为半径画弧，交前面的弧于点；
（5）过 作射线．就是所求作的角．
【解答】解：作法如下：
（1）作射线；
（2）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；
（3）以点为圆心，以的长（或的长）为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，以的长为半径画弧，交前面的弧于点；
（5）过点作射线，
则就是所求作的角．
【变式5-4】（2020秋 铁西区期中）尺规作图：如图，已知线段，求作线段，使．
【解答】解：如图，线段即为所求．
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【变式5-5】（2019秋 遂宁期末）如图所示，已知锐角及一点．
（1）过点作、的垂线，垂足分别是、；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想与之间的关系，并证明．
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【解答】解：（1）过点作、的垂线、如图所示；
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（2）猜想：或．
理由：左图中，在四边形中，，
．
右图中，，，
．
【变式5-6】（2018 福建模拟）如图，已知中，．在上求作点，使．当，时，求的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）21世纪教育网版权所有
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【解答】解：如图，点为所作，
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在中，，
，
，
在中，．
【变式5-7】（2017秋 蓬江区校级月考）如图，在直线上找一点点，使．
（不写作法，保留作图痕迹）
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【解答】解：连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点为所求的点．
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