中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《几何图形初步》
4.3.2-4.3.3 角的比较和运算；余角和补角
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点1：角平分线的定义
【例1】（2017秋 福清市期末）在平面内，，在的外部，是锐角，平分，平分，若度数逐渐变大，则变化情况是
( http: / / www.21cnjy.com )
A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定
【解答】解：平分，平分，
，，
，
的度数不变．
故选：．
【变式1-1】如图所示，已知射线平分，射线，三等分，又平分，则图中等于的角共有 21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：平分，
，
射线，三等分，
，
，
平分，
，
，
，
故与相等的角有，，，
故选：．
【变式1-2】（2019秋 沙河市期末）如图，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过秒后，恰好平分．求的值；并判断此时是否平分？请说明理由；www-2-1-cnjy-com
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间平分？请说明理由．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）旋转前，
当平分时，，
，
，
结论：平分，
理由：，，
，
平分
（2）
若平分
则，
，
．
【变式1-3】（2019秋 兰州期末）如图，已知，平分，且，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设，
，
．
．
又平分，
．
，
，
解得，
．
【变式1-4】（2019秋 南平期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：，平分
又
平分
【变式1-5】（2018秋 武冈市期末）已知是一个直角，作射线，再分别作和的平分线、．
（1）如图①，当时，求的度数；
（2）如图②，当射线在内绕点旋转时，的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数；21*cnjy*com
（3）如图③，当射线在外绕点旋转时，画出图形，判断的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）、分别平分和，
，，
；
（2）的大小不变等于，
理由：
；
（3）的大小发生变化，或．
如图①，则为；如图②，则为．（说明过程同（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点2：角的计算
【例2】（2019秋 江都区期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
根据折叠可知：
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
．
则的度数为．
故选：．
【变式2-1】（2019秋 大竹县期末）在同一平面内，已知，，则等于
A． B． C．或 D．
【解答】解：①如图1，在内，
，，
；
( http: / / www.21cnjy.com )
②如图2，在外，
，，
；
综上所述，的度数是或．
故选：．
【变式2-2】（2018秋 龙岩期末）如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的角平分线，下列叙述正确的是 21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．的度数不能确定
【解答】解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
，分别是，的角平分线，
，
，
又，
，
故选：．
【变式2-3】（2019秋 句容市期末）如图，在的内部有3条射线、、，若，，，则 ．（用含的代数式表示）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式2-4】（2019秋 泰兴市期末）如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图：平分，
，
设，，，
，
，
故答案为：110．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-5】（2019秋 黄石期末）如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如图1，当，时，的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当，时， 度．（直接写出结果）
（3）如图3，当，时，猜想：的度数是多少？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图1，，，
，
是的平分线，是的平分线，
，
，
；
（2）如图2，，，
，
平分，平分，
，，
．
故答案为：35．
（3）如图3，，，
，
是的平分线，是的平分线，
，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-6】（2019秋 贵港期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．21教育网
（1）如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1），，
．
故答案为：．
（2），是的角平分线，
．
．
．
（3），
．
，
．
，
．
．
．
．
【变式2-7】（2018秋 汉阳区期末）已知，、、、是内的射线．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）如图1，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小；
（2）如图2，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小；
（3）在（2）的条件下，若，当在内绕着点以2度秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值．
【解答】解：（1）因为，
平分，平分，
所以，，
即
，
答：的度数为；
（2）因为平分，平分，
所以，，
①射线在左侧时，
如图： ( http: / / www.21cnjy.com )
；
②射线在右侧时，
如图： ( http: / / www.21cnjy.com )
；
答：的度数为或．
（3）射线从逆时针以每秒的速度旋转秒，，
根据（2）中的第一种情况，得
．
射线平分，
．
，，
．
射线平分，
．
又，
，
解得．
根据（2）中的第二种情况，
观察图形可知：这种情况不可能存在．
答：的值为21秒．
知识点3：余角和补角
【例3】（2019秋 盐湖区期末）如图，，，则的度数是
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
．
故选：．
【变式3-1】（2017秋 桂平市期末）通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角恰好是的补角的2倍，此时对应的时间应是 21世纪教育网版权所有
A．8点 B．4点 C．6点 D．8点或4点
【解答】解：根据题意有，
解得，
则此时对应的时间应是8点或4点．
故选：．
【变式3-2】（2017秋 常州期末）已知，则的余角是 度．
【解答】解：的余角．
故答案为40．
【变式3-3】如图，，垂足是，，那么的余角是 或 ，的补角是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：，，可得：
，垂足是，
那么的余角是或；
即的补角是．
【变式3-4】（2019秋 北海期末）如图，为直线上一点，，平分，．
（1）求出的度数；
（2）请通过计算说明：是否平分．
（3）与互补的角是 ；
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1），平分，
，
；
（2）平分，理由如下：
，，
．
，
．
，
平分．
（3）与互补的角是和．
【变式3-5】（2019秋 封开县期末）如图，，平分，反向延长射线至．
（1）和是否互补？说明理由；
（2）射线是的平分线吗？说明理由；
（3）反向延长射线至点，射线将分成了的两个角，求．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）因为
，
所以和互补．
（2）因为平分，
所以，
因为，
，
所以，即是的平分线．
（3）因为将分成了的两个部分，
所以或者．
①当时，设，，
由（2）得：
因为，
所以，
解方程得：，
所以．
②当时，设，，
同理可列出方程：，
解得：，
所以．
综上所述，的度数是54或．
【变式3-6】（2017秋 利川市期末）如图①，，平分，平分．
（1）已知，且小于平角，求的度数；
（2）若（1）中，其它条件不变，求的度数；
（3）如图②，若，且大于平角，其它条件不变，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1），，
．
平分，平分，
，
；
（2），，
．
平分，平分，
，
；
（3），，
．
平分，平分，
，
．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式3-7】（2017秋 沂水县期末）如图，已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合，过点在三角板的内部，作射线，使，求的度数；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足怎样的数量关系？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1），
，
．
（2），
令为，为，，
，
，
，即，
．
知识点4：角的大小比较
【例4】（2017秋 宁晋县期末）比较大小： ．（填“”、“ ”或“”
【解答】解：，，
，
，
故答案为：．
【变式4-1】根据图， 比较，，，，的大小， 它们从小到大排列为 ．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解： 由图可观察出：；
；
最大；
度 ．
故．
必刷提高题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《几何图形初步》
4.3.2-4.3.3 角的比较和运算；余角和补角
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点1：角平分线的定义
【例1】（2017秋 福清市期末）在平面内，，在的外部，是锐角，平分，平分，若度数逐渐变大，则变化情况是
( http: / / www.21cnjy.com )
A．变大 B．变小 C．保持不变 D．无法确定
【变式1-1】如图所示，已知射线平分，射线，三等分，又平分，则图中等于的角共有 21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】（2019秋 沙河市期末）如图，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．www.21-cn-jy.com
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图，经过秒后，恰好平分．求的值；并判断此时是否平分？请说明理由；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图，那么经过多长时间平分？请说明理由．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式1-3】（2019秋 兰州期末）如图，已知，平分，且，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式1-4】（2019秋 南平期末）如图，已知，，平分，平分，求和的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式1-5】（2018秋 武冈市期末）已知是一个直角，作射线，再分别作和的平分线、．
（1）如图①，当时，求的度数；
（2）如图②，当射线在内绕点旋转时，的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数；2·1·c·n·j·y
（3）如图③，当射线在外绕点旋转时，画出图形，判断的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求的度数．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点2：角的计算
【例2】（2019秋 江都区期末）将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【变式2-1】（2019秋 大竹县期末）在同一平面内，已知，，则等于
A． B． C．或 D．
【变式2-2】（2018秋 龙岩期末）如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的角平分线，下列叙述正确的是 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．的度数不能确定
【变式2-3】（2019秋 句容市期末）如图，在的内部有3条射线、、，若，，，则 ．（用含的代数式表示）
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-4】（2019秋 泰兴市期末）如图，已知，，在的内部绕点任意旋转，若平分，则的值为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-5】（2019秋 黄石期末）如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如图1，当，时，的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当，时， 度．（直接写出结果）
（3）如图3，当，时，猜想：的度数是多少？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-6】（2019秋 贵港期末）点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处．2-1-c-n-j-y
（1）如图①，将三角板的一边与射线重合时，则 ；
（2）如图②，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角和的度数；
（3）将三角板绕点逆时针旋转至图③时，，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式2-7】（2018秋 汉阳区期末）已知，、、、是内的射线．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）如图1，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小；
（2）如图2，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小；
（3）在（2）的条件下，若，当在内绕着点以2度秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值．
知识点3：余角和补角
【例3】（2019秋 盐湖区期末）如图，，，则的度数是
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【变式3-1】（2017秋 桂平市期末）通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角恰好是的补角的2倍，此时对应的时间应是 21世纪教育网版权所有
A．8点 B．4点 C．6点 D．8点或4点
【变式3-2】（2017秋 常州期末）已知，则的余角是 度．
【变式3-3】如图，，垂足是，，那么的余角是 或 ，的补角是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式3-4】（2019秋 北海期末）如图，为直线上一点，，平分，．
（1）求出的度数；
（2）请通过计算说明：是否平分．
（3）与互补的角是 ；
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式3-5】（2019秋 封开县期末）如图，，平分，反向延长射线至．
（1）和是否互补？说明理由；
（2）射线是的平分线吗？说明理由；
（3）反向延长射线至点，射线将分成了的两个角，求．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式3-6】（2017秋 利川市期末）如图①，，平分，平分．
（1）已知，且小于平角，求的度数；
（2）若（1）中，其它条件不变，求的度数；
（3）如图②，若，且大于平角，其它条件不变，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【变式3-7】（2017秋 沂水县期末）如图，已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处．21cnjy.com
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合，过点在三角板的内部，作射线，使，求的度数；
（2）如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点在三角板的内部作射线，使得恰好是的角平分线，此时与满足怎样的数量关系？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点4：角的大小比较
【例4】（2017秋 宁晋县期末）比较大小： ．（填“”、“ ”或“”
【变式4-1】根据图， 比较，，，，的大小， 它们从小到大排列为 ．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
必刷提高题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
