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第四章《几何图形初步》
4.1 几何图形
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知识点1：认识立体图形
【例1】（2020秋 和平区期中）下列立体图形中，面数相同的是
①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【解答】解：①正方体六个面；
②圆柱三个面；
③四棱柱六个面；
④圆锥两个面，
面数相同的是①③，
故选：．
【变式1-1】（2020秋 沙坪坝区校级月考）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是
A． B．
C． D．
【解答】解：、球面不是平面，故本选项错误；
、六个面都是平面，故本选项正确；
、上面不是平面，故本选项错误；
、侧面不是平面，故本选项错误；
故选：．
【变式1-2】（2020春 平顶山期末）如图，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里（球的半径为时，球的体积为，若圆柱的容积为，则三个球的体积之和为 ．（结果保留
【解答】解：设球的半径为，
根据题意得：三个球的体积之和，
圆柱体盒子容积，
，
．
答：三个球的体积之和是．
故答案为：．
【变式1-3】（2019秋 皇姑区期末）两个圆柱体容器如图所示，它们的半径分别为和，高分别为和．先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中，若设倒完以后，第二个容器的水面离容器口有，则可列方程为： ．21·cn·jy·com
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【解答】解：第一个容器中水的体积为；
第二个容器中水的体积为，
水的体积不变，
，
故答案为：．
【变式1-4】（2020春 浦东新区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、5厘米、3厘米，那么这个长方体的棱长和为 厘米．21世纪教育网版权所有
【解答】解：因为长方体的长、宽、高分别是7厘米、5厘米、3厘米，
则这个长方体的棱长总和为（厘米）．
故这个长方体的棱长和为60厘米．
故答案为：60．
【变式1-5】（2019秋 市南区期末）一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱是 棱柱．
【解答】解：一个直棱柱有15条棱，则它是直五棱柱．
故答案为：五．
【变式1-6】（2018秋 渠县校级月考） （1） 下面这些基本图形和你很熟悉， 试一试在括号里写出它们的名称 ．2·1·c·n·j·y
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（2） 将这些几何体分类， 并写出分类的理由 ．
【解答】解： （1） 从左向右依次是： 球、 圆柱、 圆锥、 长方体、 三棱柱 ．
（2） 观察图形， 按柱、 锥、 球划分， 则有圆柱、 长方体、 三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体 ．
【变式1-7】（2017秋 顺德区校级月考）如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留．
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【解答】解：（立方厘米）．
答：该新几何体的体积为立方厘米．
【变式1-8】（2013秋 兴化市校级月考）如果一个棱柱一共有12顶点，底边长是侧棱长的一半，并且所有的棱长的和是，求每条侧棱的长．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：设底边长为，则侧棱长为，
根据题意得：，
解得：，
则侧棱长为．
【变式1-9】（2013秋 平山区校级月考）将图中的各几何体分类，并说明理由．
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【解答】解：按柱、锥、球划分：（1）（2）（3）（5）（7）都是柱类；
（4）是锥体；（6）是球体．
【变式1-10】（201 ( http: / / www.21cnjy.com )7秋 长安区校级月考）如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．21·世纪*教育网
（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？它们都是平的吗？
（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们是直的吗？
（3）六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？
（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．
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【解答】解：（1）圆柱有3个面，六棱柱有8个面，圆柱有两个平面，有一个曲面，棱柱的8个面都是平面；
（2）圆柱的侧面与底面相交形成1条线，是一条曲线；
（3）该棱柱共有12个顶点，经过每个顶点有3条棱；
（4）棱柱与圆柱的相同点是：都是柱体；
不同点是：棱柱与圆柱的底面形状不同，棱柱的底面是多边形，圆柱的底面是圆形，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的侧面是长方形．21教育网
知识点2：点、线、面、体
【例2】（2020秋 二七区校级月考）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，是属于 2-1-c-n-j-y
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
【解答】解：孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，是属于线动成面，
故选：．
【变式2-1】（2019秋 道外区期末）下面图形中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是
A． B． C． D．
【解答】解：、以直线为轴旋转一周可以得到圆锥，故此选项不合题意；
、以直线为轴旋转一周可以得到两个圆锥，故此选项不合题意；
、以直线为轴旋转一周可以得到圆柱，故此选项符合题意；
、以直线为轴旋转一周可以得到球，故此选项不合题意；
故选：．
【变式2-2】（2019秋 道里区期末）一直角三角形的直角边分别为3和5，以直角边所在的直线为轴旋转一周得到的图形的体积是 ．21*cnjy*com
【解答】解：高为3，半径为5，圆锥的体积是；
高为5，半径为3，圆锥的体积是；
故答案为：或．
【变式2-3】（2017秋 洪山区校级月考）如图，一个长、宽的长方形的硬纸片旋转所得几何体的体积是 【来源：21cnj*y.co*m】
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【解答】解：将长方形纸片绕长边所在直线旋转一周，得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱体，
所以：体积为：，
故答案为：．
【变式2-4】（2017秋 锦江区校级期中）如图，一个边长为2的正方形和等腰直角三角形的一边重合，组成了一个平面图形，如果将它绕所在直线按逆时针方向旋转，得到一个几何体，则这个几何体的体积为 ．（圆锥的体积公式为：21cnjy.com
【解答】解：将该平面图形绕所在直线按逆时针方向旋转，得到一个由半个圆锥和半个圆柱组成的几何体，
这个几何体的体积，
故答案为：．
【变式2-5】（2019秋 兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．
（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到 种大小不同的几何体？
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积，其中取
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【解答】解：（1）将直角三角形纸板绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体．www.21-cn-jy.com
（2）以为轴：
（立方厘米）；
以为轴：
（立方厘米）．
答：以为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．
故答案为：3．
【变式2-6】（2016秋 抚州校级月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为、和的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．www-2-1-cnjy-com
（1）请画出可能得到的几何体简图．
（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积高）
【解答】解：（1）以为轴，得
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以为轴，得
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以为轴，得
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）以为轴体积为，
以为轴的体积为，
以为轴的体积为．
知识点3：认识平面图形
【例3】（2019秋 道外区期末）用圆规画圆的过程中，把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离是，则该圆的直径是 ．【出处：21教育名师】
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【解答】解：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离是，
该圆的直径是，
故选：．
【变式3-1】（2019秋 道里区期末）下列说法：①把10克的糖完全溶解在100克的水中，则糖占糖水的；②除以一个数等于乘这个数的倒数；③圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率；④一桶水用去它的还剩15千克，则这桶水重量为20千克．其中正确的个数为 【版权所有：21教育】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①把10克的糖完全溶解在100克的水中，则糖占糖水的，故①错误；
②除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，故②错误；
③圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，正确；
④一桶水用去它的还剩15千克，则这桶水重量为：（千克），故④错误．
正确的只有③1个．
故选：．
【变式3-2】（2020秋 南岗区期中）如图，阴影部分的面积为 ．取
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【解答】解：，
故答案为：1.14．
【变式3-3】（2020秋 南岗区期中）如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，则大长方形和小长方形的面积的比值是 ．21教育名师原创作品
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【解答】解：设阴影部分的面积为，
阴影部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，
大长方形的面积为，小长方形的面积为，
大长方形和小长方形的面积的比值为，
故答案为：．
【变式3-4】（2019秋 南岗区期末）一个圆的周长是，半径增加了后，面积增加了 ．取21*cnjy*com
【解答】解：取近似值3.14，
圆是半径为，
圆原来的面积为：
，
半径增加了后的面积为：
，
，
所以半径增加了后，面积增加了．
故答案为：138.16．
【变式3-5】（2020秋 南岗区期中）随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化．为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体育”的号召．哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示．取
（1）求塑胶地面休闲区的面积；
（2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值．
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【解答】解：（1）（平方米），
答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米；
（2）（平方米），
（平方米），
所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为．
【变式3-6】（2014秋 闵行区期末）如图，大正方形的边长为8厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留
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【解答】解：周长：
（厘米）；
面积：（平方厘米）．
答：阴影部分的周长是厘米，面积是平方厘米．
【变式3-7】（2010秋 下城区期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）右边有两个大小形状完全相同的直角三角形，请你在平面上把这两个三角形拼出所有不同形状的四边形，并画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角）．
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【解答】解：
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必刷基础题
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知识点1：认识立体图形
【例1】（2020秋 和平区期中）下列立体图形中，面数相同的是
①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【变式1-1】（2020秋 沙坪坝区校级月考）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2020春 平顶山期末）如图，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里（球的半径为时，球的体积为，若圆柱的容积为，则三个球的体积之和为 ．（结果保留
【变式1-3】（2019秋 皇姑区期末）两个圆柱体容器如图所示，它们的半径分别为和，高分别为和．先在第一个容器中倒满水，然后将其倒入第二个容器中，若设倒完以后，第二个容器的水面离容器口有，则可列方程为： ．21教育网
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【变式1-4】（2020春 浦东新区期末）已知一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、5厘米、3厘米，那么这个长方体的棱长和为 厘米．www.21-cn-jy.com
【变式1-5】（2019秋 市南区期末）一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱是 棱柱．
【变式1-6】（2018秋 渠县校级月考） （1） 下面这些基本图形和你很熟悉， 试一试在括号里写出它们的名称 ．2·1·c·n·j·y
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（2） 将这些几何体分类， 并写出分类的理由 ．
【变式1-7】（2017秋 顺德区校级月考）如图1是三个直立于水面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：厘米），将它们拼成如图2的新几何体，求该新几何体的体积（结果保留．
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【变式1-8】（2013秋 兴化市校级月考）如果一个棱柱一共有12顶点，底边长是侧棱长的一半，并且所有的棱长的和是，求每条侧棱的长．【来源：21·世纪·教育·网】
【变式1-9】（2013秋 平山区校级月考）将图中的各几何体分类，并说明理由．
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【变式1-10】（2017秋 长安区校 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．21·世纪*教育网
（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？它们都是平的吗？
（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们是直的吗？
（3）六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？
（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．
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知识点2：点、线、面、体
【例2】（2020秋 二七区校级月考）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，是属于 2-1-c-n-j-y
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
【变式2-1】（2019秋 道外区期末）下面图形中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是
A． B． C． D．
【变式2-2】（2019秋 道里区期末）一直角三角形的直角边分别为3和5，以直角边所在的直线为轴旋转一周得到的图形的体积是 ．21世纪教育网版权所有
【变式2-3】（2017秋 洪山区校级月考）如图，一个长、宽的长方形的硬纸片旋转所得几何体的体积是 21*cnjy*com
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【变式2-4】（2017秋 锦江区校级期中）如图，一个边长为2的正方形和等腰直角三角形的一边重合，组成了一个平面图形，如果将它绕所在直线按逆时针方向旋转，得到一个几何体，则这个几何体的体积为 ．（圆锥的体积公式为：【来源：21cnj*y.co*m】
【变式2-5】（2019秋 兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，．
（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到 种大小不同的几何体？
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积，其中取
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【变式2-6】（2016秋 抚州校级月考）小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为、和的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体．21·cn·jy·com
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（2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积高）
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【例3】（2019秋 道外区期末）用圆规画圆的过程中，把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离是，则该圆的直径是 ．【出处：21教育名师】
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【变式3-1】（2019秋 道里区期末）下列说法：①把10克的糖完全溶解在100克的水中，则糖占糖水的；②除以一个数等于乘这个数的倒数；③圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率；④一桶水用去它的还剩15千克，则这桶水重量为20千克．其中正确的个数为 【版权所有：21教育】
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【变式3-2】（2020秋 南岗区期中）如图，阴影部分的面积为 ．取
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【变式3-3】（2020秋 南岗区期中）如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的，则大长方形和小长方形的面积的比值是 ．www-2-1-cnjy-com
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（1）求塑胶地面休闲区的面积；
（2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值．
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【变式3-6】（2014秋 闵行区期末）如图，大正方形的边长为8厘米，求阴影部分的周长和面积．（结果保留21*cnjy*com
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【变式3-7】（2010秋 下城区 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）右边有两个大小形状完全相同的直角三角形，请你在平面上把这两个三角形拼出所有不同形状的四边形，并画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角）．
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