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第四章《几何图形初步》
4.2 直线、射线、线段
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知识点1：直线、射线、线段
【例1】（2020春 泰山区期末）平面上有三点、、，如果，，，那么
A．点在线段上
B．点在线段的延长线上
C．点在直线外
D．点可能在直线上，也可能在直线外
【变式1-1】（2019秋 娄底期末）图中共有线段
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【变式1-2】（2019秋 潍坊期中）如图所示，若图中共有条线段，条射线，则 ．
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【变式1-3】（2018秋 郑州期末）直线，，的位置关系如图所示，则下列语句：
①点在直线上；②直线经过点；③直线，，两两相交；④点是直线，的交点，以上语句正确的有 （只填写序号）21世纪教育网版权所有
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【变式1-4】（2018秋 宁津县期末）（1）观察思考：如图，线段上有两个点、，请分别写出以点、、、为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）模型构建：如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；21·世纪*教育网
（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
知识点2：直线的性质：两点确定一条直线
【例2】（2019秋 保亭县期末）下列说法正确的是
A．射线和射线是同一条射线
B．射线的长度是
C．直线，相交于点
D．两点确定一条直线
【变式2-1】（2019秋 桂林期末）平面上有、、三点，经过任意两点画一条直线，可以画出直线的数量为 21*cnjy*com
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无数条
【变式2-2】（2019秋 温岭市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 21·cn·jy·com
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【变式2-3】（2019秋 东海县期末）要在墙上固定一根木条，至少需要 根钉子，理由是： ．
【变式2-4】（2019 吉林一模）如图，，是两根木条，用，两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为 ．
【变式2-5】如图所示， 要在一个 ( http: / / www.21cnjy.com )长方体的木块上打四个小孔， 这四个小孔要在一条直线上， 且每两个相邻孔之间的距离相等， 画出图形， 并说明其中道理 ．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点3：线段的性质：两点之间线段最短
【例3】（2019秋 厦门期末）下列4个生产、生活现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的是 【出处：21教育名师】
A．用两根钉子就可以把木条固定在墙上
B．植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩拉一条直的参照线
【变式3-1】（2019秋 凌源市期末）下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是 2·1·c·n·j·y
A．用两个钉子可以把木条钉在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上
C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上
D．为了缩短航程把弯曲的河道改直
【变式3-2】（2019秋 毕节市期末）下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 （填序号）．2-1-c-n-j-y
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，
【变式3-3】（2012秋 双流区期末）如图所示，四边形为任意的四边形，请你在其内部找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由．【版权所有：21教育】
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知识点4：两点间的距离
【例4】（2020秋 铁西区期中）已知线段，点是的中点，点是的三等分点，则，两点间距离为 21教育网
A．3 B．1.5 C．1.2 D．1
【变式4-1】（2020春 新泰市期末）已知点、、在一条直线上，，，则的长为 ．21cnjy.com
【变式4-2】（2019秋 江油市期末）如图，已知点、点是直线上的两点，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米秒，点的速度为2厘米秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段的长为5厘米．www.21-cn-jy.com
知识点5：比较线段的长短
【例5】（2019秋 永吉县期末）长度的线段的中点为，点将线段分成，则线段的长度为 ．21教育名师原创作品
【变式5-1】（2018秋 柯桥区期末）如图①点在线段上，点、分别是、的中点，且满足，．21*cnjy*com
（1）若 ， ，求线段的长；
（2）若点为线段上任意一点，其它条件不变，你能猜想的长度吗？直接写出你的猜想结果；
（3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请在图②中画出图形，写出你的猜想并说明理由．www-2-1-cnjy-com
必刷基础题
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第四章《几何图形初步》
4.2 直线、射线、线段
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知识点1：直线、射线、线段
【例1】（2020春 泰山区期末）平面上有三点、、，如果，，，那么
A．点在线段上
B．点在线段的延长线上
C．点在直线外
D．点可能在直线上，也可能在直线外
【解答】解：如图，在平面内，，
，，
点为以为圆心，7为半径，与以为圆心，3为半径的两个圆的交点，
由于，
所以，点在线段上，
故选：．
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【变式1-1】（2019秋 娄底期末）图中共有线段
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【解答】解：图中的线段有、、、；、、；、；；共10条，
故选：．
【变式1-2】（2019秋 潍坊期中）如图所示，若图中共有条线段，条射线，则 ．
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【解答】解：图中有线段、、、、、、、、、计10条，
射线共有16条．
，，
．
故答案为：26．
【变式1-3】（2018秋 郑州期末）直线，，的位置关系如图所示，则下列语句：
①点在直线上；②直线经过点；③直线，，两两相交；④点是直线，的交点，以上语句正确的有 （只填写序号）21世纪教育网版权所有
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【解答】解：由图可得，①点在直线上，正确；
②直线不经过点，错误；
③直线，，两两相交，正确；
④点是直线，的交点，正确；
故答案为：①③④．
【变式1-4】（2018秋 宁津县期末）（1）观察思考：如图，线段上有两个点、，请分别写出以点、、、为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；21cnjy.com
（2）模型构建：如果线段上有个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；21·cn·jy·com
（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
【解答】解：（1）以点为左端点向右的线段有：线段、、，
以点为左端点向右的线段有线段、，
以点为左端点的线段有线段，
共有条线段；
（2）设线段上有个点，该线段上共有线段条，
则，
倒序排列有，
，
；
（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，
直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，
因此一共要进行次握手．
知识点2：直线的性质：两点确定一条直线
【例2】（2019秋 保亭县期末）下列说法正确的是
A．射线和射线是同一条射线
B．射线的长度是
C．直线，相交于点
D．两点确定一条直线
【解答】解：、射线和射线不是同一条射线，故本选项错误；
、射线是无限长的，故本选项错误；
、直线，，直线的写法不对，故本选项错误；
、两点确定一条直线是正确的．
故选：．
【变式2-1】（2019秋 桂林期末）平面上有、、三点，经过任意两点画一条直线，可以画出直线的数量为 2·1·c·n·j·y
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无数条
【解答】解：①如果三点共线，过其中两点画直线，共可以画1条；
②如果任意三点不共线，过其中两点画直线，共可以画3条．
故选：．
【变式2-2】（2019秋 温岭市期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是 【来源：21·世纪·教育·网】
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．21·世纪*教育网
故选：．
【变式2-3】（2019秋 东海县期末）要在墙上固定一根木条，至少需要 根钉子，理由是： ．
【解答】解：根据直线的性质，要在墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，理由是：两点确定一条直线．
【变式2-4】（2019 吉林一模）如图，，是两根木条，用，两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为 ．
【解答】解：这一生活现象用你学过的数学知识解释为：两点确定一条直线（过所点有且只有一条直线：或过一点不能确定一条直线），www-2-1-cnjy-com
故答案为：两点确定一条直线（过所点有且只有一条直线：或过一点不能确定一条直线）．
【变式2-5】如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com ) 要在一个长方体的木块上打四个小孔， 这四个小孔要在一条直线上， 且每两个相邻孔之间的距离相等， 画出图形， 并说明其中道理 ．21*cnjy*com
【解答】解： 如图所示：
因为经过两点， 有且只有一条直线， 所以先找出长方体两边的中点、，连接，再把线段平均分成五等份， 在每两份之间打一个孔即可 ．【来源：21cnj*y.co*m】
故答案为： 经过两点， 有且只有一条直线 ．
知识点3：线段的性质：两点之间线段最短
【例3】（2019秋 厦门期末）下列4个生产、生活现象中，可用“两点之间线段最短”来解释的是 【版权所有：21教育】
A．用两根钉子就可以把木条固定在墙上
B．植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩拉一条直的参照线
【解答】解：、用两根钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
、植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；【出处：21教育名师】
、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间线段最短”来解释，符合题意；
、砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩拉一条直的参照线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；21教育名师原创作品
故选：．
【变式3-1】（2019秋 凌源市期末）下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是 21*cnjy*com
A．用两个钉子可以把木条钉在墙上
B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上
C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上
D．为了缩短航程把弯曲的河道改直
【解答】解：、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
、确定树之间的距离，即得到相互的坐标关系，故本选项不符合题意；
、根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
、根据两点之间，线段最短，故本选项符合题意．
故选：．
【变式3-2】（2019秋 毕节市期末）下列有四个生活、生产现象：其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有 （填序号）．
①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，
【解答】解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，原理：两点确定一条直线；
②从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，原理：两点之间，线段最短；
③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，原理：两点确定一条直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，原理：两点之间，线段最短；
故答案为：②④．
【变式3-3】（2012秋 双流区期末）如图所示，四边形为任意的四边形，请你在其内部找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小，并说明理由．www.21-cn-jy.com
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【解答】解：如图，四边形的对角线与的交点，是其内部到四个顶点的距离之和最小的点．
其理由如下：
设点是四边形内部异于点的点，则
（1）当点不在四边形的对角线与上时，
两点之间直线段最短，
，，
；
（2）当点在对角线上，而不在上时，
两点之间直线段最短，
，，
；
（3）当点在对角线上，而不在上时，
两点之间直线段最短，
，，
，
综上所述，当点是四边形内部异于点的点时，它到四边形四个顶点的距离之和大于点到四边形四个顶点的距离之和．2-1-c-n-j-y
所以，点为所求的点．
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知识点4：两点间的距离
【例4】（2020秋 铁西区期中）已知线段，点是的中点，点是的三等分点，则，两点间距离为
A．3 B．1.5 C．1.2 D．1
【解答】解：点是的中点，，
，
当点是的三等分点，点在线段上时，，
，
当点是的三等分点，点在线段上时，，
，
故选：．
【变式4-1】（2020春 新泰市期末）已知点、、在一条直线上，，，则的长为 ．21教育网
【解答】解：若在线段上，
则；
若在线段的延长线上，
则，
故答案为或．
【变式4-2】（2019秋 江油市期末）如图，已知点、点是直线上的两点，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米秒，点的速度为2厘米秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段的长为5厘米．
【解答】解：设运动时间为秒．
①如果点向左、点向右运动，由题意，得：，解得；
②点、都向右运动，由题意，得：，解得；
③点、都向左运动，由题意，得：，解得．
④点向右、点向左运动，由题意，得：，解得．
综上所述，经过或1或3秒9秒时线段的长为5厘米．
知识点5：比较线段的长短
【例5】（2019秋 永吉县期末）长度的线段的中点为，点将线段分成，则线段的长度为 ．
【解答】解：线段的中点为，
设，则，
，解得
即．
．
【变式5-1】（2018秋 柯桥区期末）如图①点在线段上，点、分别是、的中点，且满足，．
（1）若 ， ，求线段的长；
（2）若点为线段上任意一点，其它条件不变，你能猜想的长度吗？直接写出你的猜想结果；
（3）若点在线段的延长线上，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请在图②中画出图形，写出你的猜想并说明理由．
【解答】解：（1）、分别是、的中点，
，，
，
所以的长为．
（2）同（1），．
（3）图如右，．
理由：由图知
．
必刷基础题
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