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第四章《几何图形初步》
4.3.1 角
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知识点1：角的概念
【例1】（2019秋 琼山区校级期末）张燕同学按如图所示方法用量角器测量的大小，她发现边恰好经过的刻度线末端．你认为的大小应该为 21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【变式1-1】（2020春 潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是
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A．可用表示 B．也可用表示
C．也可用表示 D．也可用表示
【变式1-2】（2019秋 白云区期末）如图，已知点是直线上一点，，射线、将三等分，则 ．21教育网
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【变式1-3】（2018秋 嘉陵区期末）点是直线上一点，以为端点画射线，，使，，画出符合题意的两个图形，再求的度数．21cnjy.com
【变式1-4】（2015秋 港南区期末）（1）在内部画1条射线，则图1中有 个不同的角；
（2）在内部画2条射线，，则图2中有 个不同的角；
（3）在内部画3条射线，，，则图3中有 个不同的角；
（4）在内部画10条射线，，，则图中有 个不同的角；
（5）在内部画条射线，，，则图中有 个不同的角．
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知识点2：钟面角
【例2】（2019秋 富锦市期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为
A． B． C． D．
【变式2-1】（2019秋 三明期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为
A． B． C． D．
【变式2-2】（2019秋 沙坪坝区校级期末）钟表上的时间是3时20分，则此时时针与分针所成的夹角是
度．
【变式2-3】（2019秋 宿豫区期末）时钟显示为时，时针与分针所夹的角度是 ．
【变式2-4】（2017秋 兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径表示时针，半径表示分针，它们所成的钟面角为；本题中所提到的角都不小于，且不大于；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．21·cn·jy·com
（1）时针每分钟转动的角度为 ，分针每分钟转动的角度为 ；
（2）8点整，钟面角 ，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径指向12点方向，在图中画出6点15分时半径、的大概位置，并求出此时的度数．www.21-cn-jy.com
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【变式2-5】（2014秋 海宁市校级月考）时钟的分针每分钟转过的角度是 ，时针每分钟转过的角度是 ．今天我们数学考试的时间是，在这一个半小时的时间内，时针与分针所夹的角将有几个时刻为？试分别求出这几个时刻．【来源：21·世纪·教育·网】
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知识点3：方向角
【例3】（2020春 哈尔滨月考）如图为北偏东方向，，则的方向为
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A．南偏东 B．南偏东 C．南偏西 D．东偏北
【变式3-1】（2020秋 渝中区校级月考）小明家在学校的南偏西方向上，则学校在小明家 上．
A．南偏西 B．西偏南 C．北偏东 D．北偏东
【变式3-2】（2020秋 江岸区校级月考）如图，处在的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是 21·世纪*教育网
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A． B． C． D．
【变式3-3】（2020春 曲阜市期末）如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的北偏西的方向上，则等于 度．www-2-1-cnjy-com
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【变式3-4】（2020春 雁塔区校级期末）如图，已知点在点的北偏东，在点的北偏西，若，，则 ．2·1·c·n·j·y
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【变式3-5】（2019秋 薛城区期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线．2-1-c-n-j-y
（1）射线的方向是 ；
（2）若射线平分，求的度数．
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知识点4：度分秒的换算
【例4】（2019秋 天心区期末）用度、分、秒表示为
A． B． C． D．
【变式4-1】（2019秋 仁寿县期末）下面等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2019秋 房山区期末）把用度、分、秒表示，正确的是
A． B． C． D．
【变式4-3】（2020春 莱州市期中） 度 分 秒．
【变式4-4】（2019秋 临颍县期末）把的角用度来表示，应表示为 度．
【变式4-5】（2017春 高唐县校级月考）计算：
（1）
（2）．
知识点5：作图—基本作图
【例5】（2020 柳州）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【变式5-1】（2019秋 肥城市期末）下列关于用尺规作图的结论错误的是
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【变式5-2】（2020 葫芦岛）如图，在中，，，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ．21*cnjy*com
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【变式5-3】（2020 柯桥区模拟）已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交直线于点，连接．若，，则的度数为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
【变式5-4】（2020春 亭湖区校级期中）如图，在中，．
（1）请用尺规作图法，作的平分线，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点分别作于点，于点，四边形 形．
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【变式5-5】（2019秋 川汇区期末）如图，已知锐角，．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在边上，当满足什么条件时？．并说明理由．
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必刷基础题
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第四章《几何图形初步》
4.3.1 角
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知识点1：角的概念
【例1】（2019秋 琼山区校级期末）张燕同学按如图所示方法用量角器测量的大小，她发现边恰好经过的刻度线末端．你认为的大小应该为 www.21-cn-jy.com
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A． B． C． D．
【解答】解：如图，
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由图可知，，
根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，．
故选：．
【变式1-1】（2020春 潍坊期中）如图所示，下列说法错误的是
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A．可用表示 B．也可用表示
C．也可用表示 D．也可用表示
【解答】解：、可用表示，本选项说法正确；
、不能用表示，本选项说法错误；
、也可用表示，本选项说法正确；
、也可用表示，本选项说法正确；
故选：．
【变式1-2】（2019秋 白云区期末）如图，已知点是直线上一点，，射线、将三等分，则 ．2·1·c·n·j·y
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【解答】解：点是直线上一点，，
，
又射线、将三等分，
，
，
故答案为：．
【变式1-3】（2018秋 嘉陵区期末）点是直线上一点，以为端点画射线，，使，，画出符合题意的两个图形，再求的度数．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：满足题意的情况有两种：
①当，在的同侧时，如图，；
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②当，在的异侧时，如图，；
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【变式1-4】（2015秋 港南区期末）（1）在内部画1条射线，则图1中有 个不同的角；
（2）在内部画2条射线，，则图2中有 个不同的角；
（3）在内部画3条射线，，，则图3中有 个不同的角；
（4）在内部画10条射线，，，则图中有 个不同的角；
（5）在内部画条射线，，，则图中有 个不同的角．
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【解答】解：（1）在内部画1条射线，则图中有3个不同的角，
故答案为：3．
（2）在内部画2条射线，，则图中有6个不同的角，
故答案为：6．
（3）在内部画3条射线，，，则图中有10个不同的角，
故答案为：10．
（4）在内部画10条射线，，，，则图中有个不同的角，
故答案为：66．
（5）在内部画条射线，，，，则图中有个不同的角．
故答案为：．
知识点2：钟面角
【例2】（2019秋 富锦市期末）钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，2-1-c-n-j-y
点30分时，时针与分针的夹角的度数为：．
故选：．
【变式2-1】（2019秋 三明期末）上午时，钟表的时针与分针的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：点整，时针指向10，分针指向12，中间相差两大格，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
点整分针与时针的夹角是度．
故选：．
【变式2-2】（2019秋 沙坪坝区校级期末）钟表上的时间是3时20分，则此时时针与分针所成的夹角是
度．
【解答】解：钟表上的时间指示为3点20分，
时针与分针所成的角是：，．
故答案是：20．
【变式2-3】（2019秋 宿豫区期末）时钟显示为时，时针与分针所夹的角度是 ．
【解答】解：时，时针与分针所夹角度是，
故答案为：．
【变式2-4】（2017秋 兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径表示时针，半径表示分针，它们所成的钟面角为；本题中所提到的角都不小于，且不大于；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．21*cnjy*com
（1）时针每分钟转动的角度为 ，分针每分钟转动的角度为 ；
（2）8点整，钟面角 ，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径指向12点方向，在图中画出6点15分时半径、的大概位置，并求出此时的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
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【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为，分针每分钟转动的角度为；
故答案为：0.5，6；
（2），4点时，
故答案为：120，4；
（3）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，
．
【变式2-5】（2014秋 海宁市校级月考）时钟的分针每分钟转过的角度是 ，时针每分钟转过的角度是 ．今天我们数学考试的时间是，在这一个半小时的时间内，时针与分针所夹的角将有几个时刻为？试分别求出这几个时刻．【出处：21教育名师】
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【解答】解：时钟的分针每分钟转过的角度是，
时针每分钟转过的角度是，
故答案为：6，0.5；
时针与分针所夹的角将有两个个时刻为，
设从，分钟时时针与分针夹角为，由题意得
解得，
即分，时针与分针相距；
设，分钟时时针与分针夹角为，由题意得
①，
解得，
②，解得，
即分或分，时针与分针相距，
综上所述：时针与分针相距时分别为分、分或分．
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知识点3：方向角
【例3】（2020春 哈尔滨月考）如图为北偏东方向，，则的方向为
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A．南偏东 B．南偏东 C．南偏西 D．东偏北
【解答】解：如图所示：
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是北偏东方向的一条射线，，
，
，
的方向角是南偏东．
故选：．
【变式3-1】（2020秋 渝中区校级月考）小明家在学校的南偏西方向上，则学校在小明家 上．
A．南偏西 B．西偏南 C．北偏东 D．北偏东
【解答】解：小明家在学校的南偏西方向上，
学校在小明家北偏东方向上．
故选：．
【变式3-2】（2020秋 江岸区校级月考）如图，处在的南偏西方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是 21cnjy.com
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A． B． C． D．
【解答】解：处在处的南偏西方向，处在处的北偏东方向，
，
处在处的南偏东方向，
，
．
故选：．
【变式3-3】（2020春 曲阜市期末）如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的北偏西的方向上，则等于 度．21·世纪*教育网
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【解答】解：如图：
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根据题意可得：，，
，
，，
．
故答案为：30．
【变式3-4】（2020春 雁塔区校级期末）如图，已知点在点的北偏东，在点的北偏西，若，，则 ．21世纪教育网版权所有
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【解答】解：如图：
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点在点的北偏东，在点的北偏西，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：15．
【变式3-5】（2019秋 薛城区期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）射线的方向是 ；
（2）若射线平分，求的度数．
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【解答】解：（1）的方向是北偏西，的方向是北偏东，
，，
，
，
，
，
的方向是北偏东；
故答案为：北偏东；
（2），，
．
又射线是的反向延长线，
．
．
，平分，
．
．
．
知识点4：度分秒的换算
【例4】（2019秋 天心区期末）用度、分、秒表示为
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
【变式4-1】（2019秋 仁寿县期末）下面等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意．
故选：．
【变式4-2】（2019秋 房山区期末）把用度、分、秒表示，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
【变式4-3】（2020春 莱州市期中） 度 分 秒．
【解答】解：，
，
所以．
故答案为：35，28，48．
【变式4-4】（2019秋 临颍县期末）把的角用度来表示，应表示为 度．
【解答】解：
．
故答案为：24.38．
【变式4-5】（2017春 高唐县校级月考）计算：
（1）
（2）．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
知识点5：作图—基本作图
【例5】（2020 柳州）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：、过点作于；
、作了的垂直平分线得到的中点；
、过上的点作的垂线；
、作的垂直平分线交于．
故选：．
【变式5-1】（2019秋 肥城市期末）下列关于用尺规作图的结论错误的是
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
【解答】解：．根据一个三角形的两角与一边，或，这个三角形一定可以作出；
所以选项不符合题意；
．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，
所以选项符号题意；
．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；
所以选项不符合题意；
．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．
所以选项不符合题意．
故选：．
【变式5-2】（2020 葫芦岛）如图，在中，，，，以为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点，交于点．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，点在边上，，连接，则的周长为 ．21教育网
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【解答】解：，，，
，
由作图方法可得：平分，
，
在和中
，
，
，
的周长为：．
故答案为：12．
【变式5-3】（2020 柯桥区模拟）已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交直线于点，连接．若，，则的度数为 ．21·cn·jy·com
【解答】解：由题意得，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
，
如图1，，
；
如图2，，
，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
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【变式5-4】（2020春 亭湖区校级期中）如图，在中，．
（1）请用尺规作图法，作的平分线，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点分别作于点，于点，四边形 形．
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【解答】解：（1）如图，射线即为所求．
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（2）结论：四边形是正方形．
理由：，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方．
【变式5-5】（2019秋 川汇区期末）如图，已知锐角，．
（1）尺规作图：求作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点在边上，当满足什么条件时？．并说明理由．
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【解答】解：（1）如图，线段即为所求．
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（2）结论：．
理由：平分，
，
，，
，
．
必刷基础题
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