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第四章《几何图形初步》
4.3.2-4.3.3 角的比较和运算；余角和补角
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知识点1：角平分线的定义
【例1】（2019秋 锦江区校级期末）如图，点在直线上，是的角平分线，，则的度数是 21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
【解答】解：，
，
是的角平分线，
．
故选：．
【变式1-1】（2019秋 唐县期末）如图，是直线上一点，，是的角平分线，则等于 21教育网
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A． B． C． D．
【解答】解：，
，
是的角平分线，
，
故选：．
【变式1-2】（2019秋 颍州区期末）如图，点、、在一条直线上，且，平分，则图中 度．www.21-cn-jy.com
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【解答】解：平分，，
，
与是邻补角，
，
．
故答案为：110．
【变式1-3】（2019秋 江夏区期末）如图，是直线上一点，是的平分线，，则 ．
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【解答】解：是直线上一点，是的平分线，
，
，
．
故答案为：．
【变式1-4】（2019秋 济南期末）如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点．【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）若，求的长．
（2）若（不超过，求的长．
（3）知识迁移：如图②，已知，过角的内部任意一点画射线，若，分别平分和，求的度数．
【解答】解：（1），，
，
又，分别是和的中点，
，，
；
（2），，
，
又，分别是和的中点，
，，
；
（3）、分别平分和，
，
，
．
【变式1-5】（2019秋 连山区期末）如图，已知内部有三条射线，其中平分角，平分．
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（1）如图1，若，，求的度数？
（2）如图2，若，求的度数，（用含的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“，，且，求的度数，（用含的式子表示）
【解答】解：（1）平分，
，
，平分，
，
；
（2）平分，
，
同理，，
；
（3），
，
．
知识点2：角的计算
【例2】（2019秋 凌源市期末）如图，是的平分线，，，则的度数为
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A． B． C． D．
【解答】解：设，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：．
【变式2-1】（2019秋 斗门区期末）如图，，，平分，则的度数是
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A． B． C． D．
【解答】解：平分，，
，
又，
．
故选：．
【变式2-2】（2020 汉阳区校级模拟）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若， ．2·1·c·n·j·y
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【解答】解：四边形是正方形，
，
将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，
，，，
，
，
，
，
故答案为：119．
【变式2-3】（2019秋 石城县期末）以的顶点为端点引射线，使，若，则的度数是 ．
【解答】解：如图1，当射线在的内部时，设，，
，
解得：；
如图2，当射线在的外部时，设，，
，，
，
解得，
．
故的度数是或．
故答案为：或．
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【变式2-4】（2019秋 两江新区期末）如图所示，为直线上的一点，且为直角，平分，平分，，求的度数．21cnjy.com
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【解答】解：设，
平分，
，．
，
．
平分，，
，
，
，
，
，
．
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【变式2-5】（2019秋 郴州期末）如图，点是直线上的一点，是一个直角，平分．
（1）如图1，当，求的度数；
（2）如图2，若，求的度数．（用含有的代数式表示）
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【解答】解：（1），
，
又平分，
，
又，
；
（2），
，
又平分
，
又
知识点3：余角和补角
【例3】（2020春 高新区校级月考）已知和互为余角，且与互补，，则为
A． B． C． D．
【解答】解：和互为余角，，
，
与互补，
．
故选：．
【变式3-1】（2019秋 翠屏区期末）若锐角的补角是，则锐角的余角是
A． B． C． D．
【解答】解：由锐角的补角是，
可得锐角的余角为：．
故选：．
【变式3-2】（2019秋 厦门期末）如图，射线，在内，和互为补角，．若比大，则 ．（用含的式子表示）
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【解答】解：和互为补角，
，
，
，
即，
，
，
，
比大，
，
，
，
，
．
故答案为．
【变式3-3】（2020春 市南区校级期中）若一个角的补角是，则这个角的余角是 度．
【解答】解：，
，
答：这个角的余角是．
故答案为15．
【变式3-4】（2019秋 滨江区期末）如图，已知与互余，，平分．求的度数．
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【解答】解：与互余，
，
即：，
，
，
平分．
．
【变式3-5】（2019秋 金台区期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放21·世纪*教育网
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探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若，是否平分？请说明理由；www-2-1-cnjy-com
探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③，
（1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？
【解答】解：探究一、平分．
理由如下：平分，且，
，
，
，
，
，
平分；
探究二、（1），
，
，
，
，
，
即：，
（2）当与重合时，如图④，由条件可得，，，
因此有．
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【变式3-6】（2019秋 鄂城区期末）如图，已知为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线．2-1-c-n-j-y
（1）与相等吗？请说明理由；
（2）若，试求与的度数；
（3）若，试求的度数．
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【解答】解：（1）相等．
理由；与互补，
，
，
；
（2）与互补，，
，
为的平分线，
，
为的平分线，
，
；
（3）设，则．
由题意，得
，
，
解得，
所以．
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知识点4：角的大小比较
【例4】（2020春 哈尔滨月考）若，，则
A． B． C． D．无法确定
【解答】解：，，
．
故选：．
【变式4-1】（2019秋 曲阳县期末）已知，，，下面结论正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，，
．
故选：．
【变式4-2】（2019秋 宁德期末）比较两个角的大小关系：小明用度量法测得，；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”
【解答】解：如图，由于，因此在的内部，
故答案为：①；
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【变式4-3】（2019秋 丰台区期末）如图所示的网格是正方形网格， ．（填“”，“ ”或“” 21·cn·jy·com
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【解答】解：如图所示，连接，，则是等腰直角三角形，
，
又，
，
故答案为：．
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【变式4-4】（2015秋 张掖校级月考）把一副三角尺如图所示拼在一起．
（1）写出图中、、、、的度数；
（2）用小于号“”将上述各角连接起来．
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【解答】解：（1），，，，；
（2）．
必刷基础题
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第四章《几何图形初步》
4.3.2-4.3.3 角的比较和运算；余角和补角
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（2）若（不超过，求的长．
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（2）如图2，若，求的度数，（用含的式子表示）
（3）若将题中的“平分”的条件改为“，，且，求的度数，（用含的式子表示）
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（1）如图1，当，求的度数；
（2）如图2，若，求的度数．（用含有的代数式表示）
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【例3】（2020春 高新区校级月考）已知和互为余角，且与互补，，则为
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【变式3-1】（2019秋 翠屏区期末）若锐角的补角是，则锐角的余角是
A． B． C． D．
【变式3-2】（2019秋 厦门期末）如图，射线，在内，和互为补角，．若比大，则 ．（用含的式子表示）
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【变式3-3】（2020春 市南区校级期中）若一个角的补角是，则这个角的余角是 度．
【变式3-4】（2019秋 滨江区期末）如图，已知与互余，，平分．求的度数．
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探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若，是否平分？请说明理由；www-2-1-cnjy-com
探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③，
（1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？
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（2）若，试求与的度数；
（3）若，试求的度数．
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【例4】（2020春 哈尔滨月考）若，，则
A． B． C． D．无法确定
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A． B． C． D．
【变式4-2】（2019秋 宁德期末）比较两个角的大小关系：小明用度量法测得，；小丽用叠合法比较，将两个角的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”
【变式4-3】（2019秋 丰台区期末）如图所示的网格是正方形网格， ．（填“”，“ ”或“” 2-1-c-n-j-y
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（1）写出图中、、、、的度数；
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