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4.1 平方根
【基础训练】
一、单选题
1．下列式子错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据算术平方根和平方根的定义求解即可．
【详解】
A. ，故该选项正确，不符合题意；
B. ，故该选项错误，符合题意；
C. ，故该选项正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义是解答本题的关键．
2．81的算术平方根为（ ）．
A．9 B．－9 C．－3 D．27
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的定义即可得．
【详解】
解：，
的算术平方根为9，
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟记定义是解题关键．
3．若，则的值是（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】
根据算术平方根的定义即可得．
【详解】
解：，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．0没有平方根 B．1的算术平方根是 C．4的平方根 D．的平方根是
【答案】C
【分析】
依据平方根、算术平方根的定义求解即可．
【详解】
A、0的平方根是0，故A错误；
B、1的算术平方根是1，故B错误；
C、4的平方根是±2，故C正确；
D、的平方根是±，故D错误；
故选C
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义和性质，熟练掌握算术平方根、平方根的定义和性质是解题的关键．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．＝±5 B．＝5 C．＝﹣5 D．＝﹣5
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的定义进行判断．
【详解】
解：A、＝5，此选项错误；
B、＝5，此选项正确；
C、＝5，此选项错误；
D、没有意义，此选项错误,
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
6．有理数14的算术平方根是（ ）
A．7 B．14 C． D．
【答案】C
【分析】
根据算术平方根的概念求解．
【详解】
解：有理数14的算术平方根是
故选：C．
【点睛】
本题考查算术平方根，理解概念是关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．－2是4的平方根 D．的算术平方根是4
【答案】C
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义依次判断即可．
【详解】
解：A. 9的平方根是±3，故原选项计算错误，不符合题意；
B. 算术平方根等于它本身的数一定是1和0，原说法错误，不符合题意；
C. －2是4的平方根，正确，符合题意；
D. 的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查平方根和算术平方根．熟练掌握相关定义是解题关键．
8．（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】
解：，
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟记相关性质是解题的关键．
9．的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【分析】
求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．
【详解】
解：∵=9，
∴的平方根是±3．
故选：A．
【点睛】
此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
10．的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
【答案】C
【分析】
先求出=4，再求出4的平方根即可．
【详解】
解：＝4，±＝±2
故选：C
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的计算，最易错的地方是不仔细审题，平方根和算术平方根分不清．
11．9的算术平方根是（ ）
A．81 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的概念求解．
【详解】
解：∵
∴9的算术平方根是3
故选：B
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质和应用，正确理解算术平方根的概念是解题关键．
12．若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（ ）
A．2 B．－4 C．6 D．36
【答案】D
【分析】
根据平方根的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程求出的值，再计算有理数的乘方即可得．
【详解】
解：由题意得：，
解得，
则这个正数为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
13．下列说法正确的是（ ）
A．－4是（－4）2的算术平方根
B．±4是（－4）2的算术平方根
C．的平方根是－2
D．－2是的一个平方根
【答案】D
【分析】
根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；
B、，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；
C、，4的平方根是，则此项错误，不符题意；
D、，4的平方根是，则是的一个平方根，此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．
14．已知，则x－y的值为（ ）
A．3 B．－3 C．1 D．－1
【答案】D
【分析】
先根据算术平方根的非负性可得，从而可得，再代入计算即可得．
【详解】
解：由题意得：，
解得，
则，
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．
15．若a＋1和－5是实数m的平方根，则a的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4或－6
【答案】D
【分析】
根据平方根的定义可得两个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意得：或，
解得或，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
16．已知实数、 满足，是的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】
根据算术平方根和绝对值的非负性可判断得出x、y的值，然后计算x+y即可．
【详解】
根据题意可知，
解得：，
将，代入x+y中得：x+y=-1+2=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查非负数的性质以及代数式求值．掌握算术平方根、绝对值的非负性是解答本题的关键．
17．（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的意义计算即可．
【详解】
解：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，解题关键是理解算术平方根的意义．
18．若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：，
，
解得，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
19．下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．、、 D．5、12、13
【答案】D
【分析】
三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
【详解】
解：A、因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形；
B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；
C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形；
D、因为52+122=132，所以三条线段能组成直角三角形．
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．
20．81的平方根是（ ）．
A．9 B．±9 C．6 D．±6
【答案】B
【分析】
根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵（±9）2=81，
∴81的平方根是±9．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根的定义．解题的关键是掌握平方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．【来源：21cnj*y.co*m】
21．化简的结果是（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．±9
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的性质，可得答案．
【详解】
解：，
故A正确，
故选A．
【点睛】
本题考查了算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
22．一个数的平方是144，这个数是（ ）
A．12 B． C．14 D．
【答案】D
【分析】
直接利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵一个数的平方等于144，
∴这个数等于：．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
23．（﹣）2的平方根是（ ）
A．﹣ B． C．± D．±
【答案】C
【分析】
先算出（﹣）2的值，在计算平方根；
【详解】
解：，
∴（﹣）2的平方根是±；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了平方根的计算，准确计算是解题的关键．
24．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3
【答案】C
【分析】
根据一个数的两个平方根的特点，列方程求出a的值，进而确定这个数．
【详解】
解：由题意得，
2a﹣1﹣a+2＝0，
解得a＝﹣1，
所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，
所以这个数是9，
故选：C．
【点睛】
本题考查平方根，掌握一个非负数的两个平方根互为相反数是解决问题的关键．
25．已知，，那么＝（ ）
A．0.04147 B．0.4147 C．0.01311 D．0.1311
【答案】A
【分析】
当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．21*cnjy*com
【详解】
解：∵，，
∴＝＝＝0.04147，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的性质，如果被 ( http: / / www.21cnjy.com )开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根也在扩大（或缩小），但只扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推．
26．一个正数的平方根为2﹣m与2m+1，则m的值为（ ）
A． B．或﹣3 C．﹣3 D．3
【答案】C
【分析】
由平方根的定义知一个正数有两个平方根，它们互为相反数，可依此列式计算求解．
【详解】
解：依题意可知：，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
27．若一个正数的平方根是和，求这个正数．（ ）
A． B． C．9 D．9或
【答案】C
【分析】
直接利用平方根的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵一个正数的平方根为2a-1和-a+2，
∴2a-1-a+2=0，
解得：a=-1，
则2a-1=-3，
故这个正数是：（-3）2=9．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确得出a的值是解题关键．
28．下列命题错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根
C．平方根等于它本身的数是0 D．的算术平方根是
【答案】D
【分析】
根据平方根，算术平方根的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】
A. 4是16的算术平方根，原命题正确，不符合题意，
B. 2是4的一个平方根，原命题正确，不符合题意，
C. 平方根等于它本身的数是0，原命题正确，不符合题意，
D. 的算术平方根是，原命题错误，符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查平方根，算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义和性质，是解题的关键．
29．若，则的值是（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数、绝对值的计算法则求得的值，将其代入求值即可．
【详解】
解：∵，
∴a-2015≥0，
∴a≥2015，则2014-a＜0，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【出处：21教育名师】
30．已知，则（ ）
A． B．25 C．32 D．
【答案】A
【分析】
根据绝对值、算术平方根的非负性即可求解．
【详解】
解：有绝对值、算术平方根的非负性可知：
，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查绝对值、算术平方根的非负性，两个大于等于0的数或式子相加为0，则这两个数或式子均必须为0．
二、填空题
31．若y＝＋＋1，则xy＝_____．
【答案】．
【分析】
根据二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，求出x，代入求出y，即可求解．
【详解】
解：由题意得： ，
解得x＝ ，
∴＝1，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出x、y的值是解题关键．
32．若|a|＝，则的相反数是____．
【答案】2
【分析】
先化简绝对值可得，从而可得，再根据算术平方根的定义、相反数的定义即可得．
【详解】
解：，
，
，
，
则的相反数是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了化简绝对值、算术平方根、相反数，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．
33．若9x2－16＝0，则x＝_______．
【答案】
【分析】
先将方程变形为，然后方程两边同时开平方即可得到x的值．
【详解】
解：由题意可知：，
等式两边同时开平方，得到：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用平方根的定义解方程，计算过程中细心，注意正数开平方后有两个平方根．
34．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算“※”如下：a※b＝，那么10※6＝___．
【答案】
【详解】
略
35．若x，y为实数，且，则_______．
【答案】0
【分析】
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵
∴x+3=0且y-3=0，
解得：x=-3、y=3，
则x+y=-3+3=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
三、解答题
36．已知ABC的三边分别是a、b、c，且a、b、c满足+|b-12|+c2-10c+25=0，试判断ABC的形状．21教育名师原创作品
【答案】直角三角形
【分析】
先变形，再根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
解：∵，
即，
∴a-13=0，b-12=0，c-5=0，
a=13，b=12，c=5，
∵a2=169，b2=144，c2=25，
即b2+c2=a2，
所以∠A=90°，
所以△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键．
37．求下列各式中的：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）等式两边同时除以5，然后根据平方根的定义即可得到答案；
（2）先移项，然后通过平方根的定义解答．
【详解】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴或
【点睛】
本题考查了利用平方根的定义解方程，正确掌握平方根的概念是解题的关键．
38．解方程或方程组
（1）（x+1）2﹣9＝0；
（2）．
【答案】（1）或﹣4；（2）
【分析】
（1）根据平方根的含义和求法，求出的值是多少即可；
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
解得：或﹣4．
（2），
①+②×2，可得，
解得，
把代入①，解得，
∴原方程组的解是．
【点睛】
本题主要考查平方根和二元一次方程组的计算，根据题意进行化简计算即可．
39．若是二元一次方程组的解，求的算术平方根．
【答案】．
【分析】
将代入二元一次方程组，利用加减消元法解得，再计算的值，即可根据算术平方根的定义解题．
【详解】
解：将代入二元一次方程组得，
①+②得，
把代入②得，
的算术平方根为，
的算术平方根是．
【点睛】
本题考查方程的解、利用加减消元法解一元一次方程组、算术平方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21·世纪*教育网
40．已知b+3与2b+15是正数m的两个平方根，试求b和m的值．
【答案】b=-6，m=9
【分析】
根据平方根的性质可得b+3+2b+15=0，解方程可得b的值，进而得到m的平方根，然后再算出m即可．
【详解】
解：由题意，得b+3+2b+15=0，
解得b=-6，
则m=（-6+3）2=9．
故b和m的值分别为-6、9．
【点睛】
此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
41．（1）已知a2+b2=5，ab=-2，求a+b的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）±1；（2）6
【分析】
（1）由再把代入可得再利用平方根的含义解方程即可；
（2）把代入=，从而可得答案．
【详解】
解：（1）
∴
（2）
=
=4+2=6．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式及完全平方公式的变形，利用平方根的含义解方程，掌握利用完全平方公式或完全平方公式变形求代数式的值是解题的关键．2-1-c-n-j-y
42．已知不等式组．
（1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）在（1）的条件下化简．
【答案】（1），见解析；（2）．
【分析】
（1）分别解出每个一元一次不等式的解集，再将两个不等式的解集表示在数轴上，找到公共解集即可；
（2）根据，先判断，再根据绝对值的性质解题即可化简解题．
【详解】
解：（1）解不等式①，得：
，
解不等式②，得：
，
解集表示在数轴上如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
不等式组的解集为；
（2）由（1）知，
．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不 ( http: / / www.21cnjy.com )等式（组）的解集、算术平方根的非负性、化简绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．www-2-1-cnjy-com
43．同学们知道，完全平方公式是：①（a+b）2＝a2+b2+2ab，②（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab ．
由公式①我们可以得到结论：a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab
由公式②我们可以得到结论：a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab
（1）根据公式①和②可以得到（a﹣b）2与（a+b）2之间的关系是：
（2）利用以上结论有时可以方便解决一些求值问题．如：
已知，a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：
①（a﹣2）（b﹣2）； ②a2+b2； ③a﹣b．
【答案】（1） ；（2）①；②13；③
【分析】
（1）由（a+b）2＝a2+b2+2ab①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab ②，利用②-①，移项后可得答案；
（2）①先计算整式的乘法，再变形为，再整体代入求值即可得到答案，②利用公式： 整体代入即可得到答案，③利用公式： 再利用平方根的含义求解即可得到答案．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab①，
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab ②．
②-①得：
故答案为：．
（2）①（a﹣2）（b﹣2）
＝ab﹣2a﹣2b+4
＝ab﹣2（a+b）+4
当a+b＝3，ab＝﹣2，
原式＝﹣2﹣2×3+4
＝﹣4；
②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
当a+b＝3，ab＝﹣2，
原式＝32﹣2×（﹣2）＝13，
③（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab
当a+b＝3，ab＝﹣2，
原式＝13﹣2×（﹣2）＝17，
即
∴
【点睛】
本题考查的是完全平方公式及完全平方公式的变形，以及公式的运用，同时考查利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．
44．已知实数、满足，求的平方根．
【答案】
【分析】
根据偶次幂及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴的平方根为．
【点睛】
本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性及一元一次方程的解法，熟练掌握偶次幂与算术平方根的非负性及一元一次方程的解法是解题的关键．
45．已知|a+7|+=0，求-20b的算术平方根．
【答案】13
【分析】
利用非负数的性质得出a，b的值，代入计算即可得出答案．
【详解】
∵|a+7|+=0
∴a+7=0且=0
∴a=-7，b=-6
将a=-7，b=-6代入-20b得：
-20b=49-20×（-6）
=49+120
=169
-20b的算术平方根是13．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和算术平方根的计算，正确解出a，b的值是解题的关键．
46．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车 ( http: / / www.21cnjy.com )在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】这辆小汽车超速，每小时超速千米．
【分析】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶，从而可得小汽车行驶速度为千米/时，进而得出答案．
【详解】
解：根据题意，得，
在Rt△ACB中，根据勾股定理可得：
小汽车2秒行驶米，
则1小时行驶，
即小汽车行驶速度为千米/时，因为＞，
所以小汽车超速行驶，超速（千米/时）．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出BC的长是解题关键．
47．先化简再求值：，其中满足代数式：
【答案】，
【分析】
先对原式按照整式乘法法则化简计算，再根据绝对值及平方根的非负性求解a，b的具体值，再代入化简结果即可．
【详解】
原式==，
对于，根据非负性可得：
，解得：，
代入上式得：
原式===．
【点睛】
本题考查整式的化简求值问题，熟记整式乘法法则，并结合绝对值等的非负性求解未知数的值是解题关键．
48．求下列各式中的x：
(1)；
(2)
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）利用平方根性质解题；
（2）利用立方根性质解题.
【详解】
解：（1）
或；
（2）
.
【点睛】
本题考查解方程，涉及平方根与立方根的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
49．已知x，y，z满足|x﹣y|+z2﹣z0，求2x﹣y+z的算术平方根．
【答案】
【分析】
利用非负数的性质列方程组，解方程组得出x，y，z的值，代入计算即可得出答案．
【详解】
解：∵|x﹣y|+z2﹣z0，
∴|x﹣y|+（z）2＝0，
∴
解得：，
则2x﹣y+z＝2×（）﹣（）．
所以2x﹣y+z的算术平方根．
【点评】
本题考查了绝对值与偶次方的非负性，算术平方 ( http: / / www.21cnjy.com )根的含义及非负性，三元一次方程组的解法，利用完全平方公式分解因式，正确得出x，y，z的值是解题关键．
50．已知3a－1的算术平方根是，2是3a+b－1的平方根，求a＋2b的平方根．
【答案】．
【分析】
根据算术平方根和平方根的定义可求出a、b的值，代入，即可求出的平方根．
【详解】
根据题意可知，解得．
将代入得：，
即2是的平方根，
∴，解得，
∴．
∴的平方根是．
【点睛】
本题考查算术平方根和平方根，特别注意算术平方根和平方根的区别．
51．求下列各式中的x．
(1)
(2)
【答案】(1)； (2)
【分析】
(1)把原方程化为：可得：再利用平方根的含义可得答案；
(2)把原方程化为：再利用平方根的含义可得答案．
【详解】
解：(1)
(2)
或
【点睛】
本题考查的是利用平方根的含义解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
52．一个正数的平方根为3x+3与x-11，求这个正数．
【答案】81
【分析】
根据一个正数有两个平方根，且互为相反数，求出x的值，即可确定出所求．
【详解】
解：依题意3x+3+x-11=0，解得x=2，
∴3x+3=9，x-11= -9，
∴这个正数是92=81．
【点睛】
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
53．已知，求的平方根．
【答案】
【分析】
根据算术平方根与偶次幂的非负性可求x、y的值，然后代入求解平方根即可．
【详解】
解：根据题意得，，3y﹣1＝0，解得，，
，
所以，的平方根是．
【点睛】
本题主要考查算术平方根与偶次幂的非负性及平方根，熟练掌握算术平方根与偶次幂的非负性及平方根是解题的关键．21cnjy.com
54．已知a、b、c为△ABC的三边，且+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状．
【答案】等腰直角三角形
【分析】
首先根据+（b﹣c）2＝0可得a2﹣b2﹣c2＝0，且b﹣c＝0，然后根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵+（b﹣c）2＝0，
∴a2﹣b2﹣c2＝0，且b﹣c＝0，
∴a2＝b2+c2，b＝c，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理以及 ( http: / / www.21cnjy.com )非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．www.21-cn-jy.com
55．先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣5y2]÷（﹣2x），其中．
【答案】﹣4x+3y，﹣8．
【分析】
先根据多项式除以单项式对原式进行化简，再根据平方式和算术平方根的非负性求出x和y的值，再代入原式求值．
【详解】
解：原式＝（9x2﹣6xy+y2﹣x2+4y2﹣5y2）÷（﹣2x）
＝（8x2﹣6xy）÷（﹣2x）
＝﹣4x+3y，
∵，
∴x﹣5＝0，4y﹣16＝0，
解得：x＝5，y＝4，
故原式＝﹣20+12＝﹣8．
【点睛】
本题考查多项式除以单项式，平方式和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握多项式除以单项式的运算法则，以及平方式和算术平方根的非负性．
56．若，求2y+x的算术平方根．
【答案】3
【分析】
先根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再求出的算术平方根．
【详解】
解：∵，，且，
∴，，即，，
∴，．
【点睛】
本题考查绝对值和平方式的非负性，求算术平方根，解题的关键掌握绝对值和平方式的非负性，以及求一个数的算术平方根．21教育网
57．计算：．
【答案】1
【分析】
根据绝对值，算术平方根，负次方以及0次方的运算法则，即可求出答案．
【详解】
解：原式=2+3﹣3﹣1
=1
【点睛】
本题主要考查了绝对值，算术平方根，负次方以及0次方的运算法则，熟练各运算法则是解决本题的关键．
58．已知的边长为、、，其中为斜边，且、满足，求的值．
【答案】5
【分析】
根据，可得与分别为0，即可求解a、b的值，最后根据勾股定理即可求得c．
【详解】
∵
∴且，
∴，．
由勾股定理得，．
所以的值为5．
【点睛】
本题考查算数平方根非负数的性质，正确理解算数平方根非负数的性质并运用是本题的解题关键．
59．现有两张破损的桌面，李玲的爸爸想把破损的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面，他把破损的桌面先锯成两个小正方形板子，其中一张是边长为的小正方形板子，如果拼成的新正方形的面积是，那么另一张较大的桌面的边长是多少？21世纪教育网版权所有
【答案】12dm
【分析】
设另一张较大的桌面的边长为xdm，根据面积和为169列出方程求解即可．
【详解】
解：设另一张较大的桌面的边长为xd ( http: / / www.21cnjy.com )m，50cm=5dm,
根据题意得：x2+52=169，
解得：x=-12（舍去），x=12，
答：另一张较大的桌面的边长为12dm．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查了勾股定理及算术平方根的知识，解题的关键是仔细读题，从实际问题中抽象出数学问题，难度中等．
60．已知：+=0，求的平方根.
【答案】±5
【分析】
先根据相反数的性质得出，利用非负数的性质列出关于，的方程组，解之求得和的值，代入计算可得．21·cn·jy·com
【详解】
解：，
，
解得：，
则．
【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相反数的性质、非负数的性质、解二元一次方程组的能力及平方根的定义．【来源：21·世纪·教育·网】
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4.1 平方根
【基础训练】
一、单选题
1．下列式子错误的是（ ）．
A． B． C． D．
2．81的算术平方根为（ ）．
A．9 B．－9 C．－3 D．27
3．若，则的值是（ ）
A．3 B． C．9 D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．0没有平方根 B．1的算术平方根是 C．4的平方根 D．的平方根是
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．＝±5 B．＝5 C．＝﹣5 D．＝﹣5
6．有理数14的算术平方根是（ ）
A．7 B．14 C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．算术平方根等于它本身的数一定是1
C．－2是4的平方根 D．的算术平方根是4
8．（ ）
A． B． C．4 D．
9．的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．9
10．的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
11．9的算术平方根是（ ）
A．81 B．3 C． D．
12．若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（ ）
A．2 B．－4 C．6 D．36
13．下列说法正确的是（ ）
A．－4是（－4）2的算术平方根
B．±4是（－4）2的算术平方根
C．的平方根是－2
D．－2是的一个平方根
14．已知，则x－y的值为（ ）
A．3 B．－3 C．1 D．－1
15．若a＋1和－5是实数m的平方根，则a的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4或－6
16．已知实数、 满足，是的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
17．（ ）
A． B． C．或 D．
18．若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
19．下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ）
A．1、2、3 B．2、3、4 C．、、 D．5、12、13
20．81的平方根是（ ）．
A．9 B．±9 C．6 D．±6
21．化简的结果是（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．±9
22．一个数的平方是144，这个数是（ ）
A．12 B． C．14 D．
23．（﹣）2的平方根是（ ）
A．﹣ B． C．± D．±
24．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1 B．3 C．9 D．﹣3
25．已知，，那么＝（ ）
A．0.04147 B．0.4147 C．0.01311 D．0.1311
26．一个正数的平方根为2﹣m与2m+1，则m的值为（ ）
A． B．或﹣3 C．﹣3 D．3
27．若一个正数的平方根是和，求这个正数．（ ）
A． B． C．9 D．9或
28．下列命题错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根 B．2是4的一个平方根
C．平方根等于它本身的数是0 D．的算术平方根是
29．若，则的值是（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．无法确定
30．已知，则（ ）
A． B．25 C．32 D．
二、填空题
31．若y＝＋＋1，则xy＝_____．
32．若|a|＝，则的相反数是____．
33．若9x2－16＝0，则x＝_______．
34．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算“※”如下：a※b＝，那么10※6＝___．
三、解答题
36．已知ABC的三边分别是a、b、c，且a、b、c满足+|b-12|+c2-10c+25=0，试判断ABC的形状．21cnjy.com
37．求下列各式中的：
（1）； （2）．
38．解方程或方程组
（1）（x+1）2﹣9＝0；
（2）．
39．若是二元一次方程组的解，求的算术平方根．
40．已知b+3与2b+15是正数m的两个平方根，试求b和m的值．
41．（1）已知a2+b2=5，ab=-2，求a+b的值；
（2）已知，求的值．
42．已知不等式组．
（1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）在（1）的条件下化简．
43．同学们知道，完全平方公式是：①（a+b）2＝a2+b2+2ab，②（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab ．
由公式①我们可以得到结论：a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab
由公式②我们可以得到结论：a2+b2 ＝（a﹣b）2+2ab
（1）根据公式①和②可以得到（a﹣b）2与（a+b）2之间的关系是：
（2）利用以上结论有时可以方便解决一些求值问题．如：
已知，a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：
①（a﹣2）（b﹣2）； ②a2+b2； ③a﹣b．
44．已知实数、满足，求的平方根．
45．已知|a+7|+=0，求-20b的算术平方根．
46．“某市道路交通管理条例”规 ( http: / / www.21cnjy.com )定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？21教育网
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47．先化简再求值：，其中满足代数式：
48．求下列各式中的x：
(1)；
(2)
49．已知x，y，z满足|x﹣y|+z2﹣z0，求2x﹣y+z的算术平方根．
50．已知3a－1的算术平方根是，2是3a+b－1的平方根，求a＋2b的平方根．
51．求下列各式中的x．
(1)
(2)
52．一个正数的平方根为3x+3与x-11，求这个正数．
53．已知，求的平方根．
54．已知a、b、c为△ABC的三边，且+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状．
55．先化简，再求值：[（3x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣5y2]÷（﹣2x），其中．
56．若，求2y+x的算术平方根．
57．计算：．
58．已知的边长为、、，其中为斜边，且、满足，求的值．
59．现有两张破损的桌面，李玲的爸爸想把破损的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面，他把破损的桌面先锯成两个小正方形板子，其中一张是边长为的小正方形板子，如果拼成的新正方形的面积是，那么另一张较大的桌面的边长是多少？21世纪教育网版权所有
60．已知：+=0，求的平方根.
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