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4.1 平方根
【提升训练】
一、单选题
1．若的两边长，满足，则第三边的长是（ ）
A．5 B． C．5或7 D．5或
【答案】D
【分析】
先求出a和b的值，再设第三边为x，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
解：∵
又∵,
∴
∴
设第三边长为x，由则共有以下两种情况：
①当时，
②当时，由所以，
∴第三边长是5或；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方和算术平方根 ( http: / / www.21cnjy.com )的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，该题属于中等难度题目，易错点是学生容易误选A，该题蕴含了分类讨论的思想方法等．21世纪教育网版权所有
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根和幂的相关运算分别判断即可．
【详解】
解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，原选项计算错误，不符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查算术平方根和幂的相关运算．熟练掌握相关定义是解题关键．
3．已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形．
【详解】
解：
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵
∴该三角形为直角三角形
故选C．
【点睛】
本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理．2·1·c·n·j·y
4．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）
A．1或9 B．3 C．1 D．81
【答案】A
【分析】
首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可．
【详解】
解：由题意得：当两数互为相反数时，，
解得：，
，，
则这个正数为9．
当两数相等时，
这个正数是1．
故这个正数为1或9
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
5．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4
C．-36的算术平方根是6 D．25的平方根是±5
【答案】D
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义判断即可．
【详解】
解：A. 4的平方根是±2，故错误，不符合题意；
B. 的平方根是±2，故错误，不符合题意；
C. -36没有算术平方根，故错误，不符合题意；
D. 25的平方根是±5，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根和算术平方根的概念，解题关键是熟悉相关概念，准确进行判断．
6．下列各数没有平方根的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．5
【答案】A
【分析】
非负数才有平方根，只需确定数是非负数即可．
【详解】
∵-3是负数，不是非负数，
∴-3没有平方根，
∵0是非负数，
∴0有平方根，
∵2是正数，是非负数，
∴2有平方根，
∵5是正数，是非负数，
∴5有平方根，
故选A．
【点睛】
本题考查了平方根的条件，熟记非负数具有平方根是解题的关键．
7．下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（ ）
第1行 1
第2行 2
第3行
第4行
… …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据观察，可得规律（n-1）最后一个数是（n-1），可得第n行的第二个数的算术平方根是，可得答案．21*cnjy*com
【详解】
解：第二行的第二个数是，
第三行的第二个数是，
第四行的第二个数是，
……
第n行的第二个数的算术平方根是，
第7行的第2个数是
故答案为：B．
【点睛】
本题是通过算术平方根的变化探究数字变化规律，观察得出规律是解题关键．
8．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【答案】C
【分析】
一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题．
【详解】
解：∵正方形的面积为29，
∴它的边长为，
而＜＜，
5＜＜6．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
9．若方程的解分别为，且，下列说法正确的是（ ）
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根
【答案】C
【分析】
根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可.
【详解】
∵方程的解分别为，
∴，
，
∴a-1，b-1是5的平方根，
∵，
∴，
∴a-1是5的算术平方根，
故选C.
【点睛】
本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键.
10．估算的结果在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】
先确定，再根据不等式的性质得到即可得到答案．
【详解】
∵16<19<25，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题考查算术平方根的取值范围，不等式的性质，正确掌握算术平方根的取值范围的计算方法是解题的关键．
11．的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．-2
【答案】C
【分析】
先计算16的算术平方根a，再计算a的平方根即可.
【详解】
∵，
∴4的平方根为±2．
故选C.
【点睛】
本题考查了实数的算术平方根，平方根，准确掌握这两个基本概念是解题的关键.
12．若制作的一个长方体底面积为，长、宽、高的比为，则此长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出长宽高，利用底面积，求出高，最后再求出体积
【详解】
设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得:
4x×2x＝24
解得x＝，x＝-（舍去）
这个长方体的高 cm
长方体的体积为:24×=24
故答案选：C
【点睛】
主要考查的是平方根的定义及算术平方根意义，,熟练掌握定义是解题的关键.
13．已知实数a，b为的两边，且满足，第三边，则第三边c上的高的值是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了算术平方根的非负性及 ( http: / / www.21cnjy.com )偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．21教育网
【详解】
解：整理得，，
所以，
解得；
因为，
，
所以，
所以是直角三角形，，
设第三边c上的高的值是h，
则的面积，
所以．
故选：D．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【版权所有：21教育】
14．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将两边平方得出，再求得即可得答案．
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键
15．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（ ）
A．5 B．5或 C．12 D．12或7+
【答案】D
【分析】
根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
∵|m﹣3|+＝0，
∴|m﹣3|＝0，＝0，
∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，
解得，m＝3，n＝4，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
则△ABC的周长＝3+4+5＝12，
当4是斜边时，另一条直角边＝＝，
则△ABC的周长＝3+4+＝7+，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
16．若的三边a、b、c满足，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值，乘方和算术平方 ( http: / / www.21cnjy.com )根的非负性求得a、b、c的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．
【详解】
解：∵，
∴，
解得，
又∵，
∴△ABC为直角三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键．
17．已知的三边，，满足：，则边上的高为（ ）
A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.8
【答案】C
【分析】
先将已知条件配方后，利用非负数和为零，求出、b、c的值，利用勾股定理确定三角形的形状，设出c边上的高，利用面积求解即可．
【详解】
解：变形得，
，
，，，
解得：，，，
，
是直角三角形，
设C边上的高为h，
由直角三角形ABC的面积为：，
整理得，
边上的高为：，
故选择：．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形面积问题，掌握判断非负数的标准，会利用非负数和求、b、c的值，会用勾股定理判断三角形的形状，会用多种方法求面积是解题的关键．
18．下列说法中正确的有（ ）个
①同位角相等；②三角形的内角和是180 ；③＜；④如果a =b ，那么a=b．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据平行的性质和三角形内角和定理分别可判断①和②，根据平方法可判断③，根据乘方的定义可判断④．
【详解】
解：①两直线平行，同位角相等，原命题错误；
②三角形的内角和是180 ，正确；
③∵,
∴，
∴＜，正确；
④如果a =b ，那么a=±b，原命题错误，
所以，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平方法估算算术平方根和乘方的定义．理解相关定理是解题关键．
19．已知，则的平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．9 D．3
【答案】B
【分析】
利用非负数的性质列出方程，求得方程组的解，再将其解代入，进而根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴
∴的平方根是．
故选：B
【点睛】
本题考查了非负数的性质、解二元一次方程组、求代数式的值、求一个数的平方根等，能利用非负数的性质列出方程组是解题的关键．21cnjy.com
20．在下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据平方根的性质以及算术平方根的性质进行化简，逐项判断即可．
【详解】
解：∵＝3，
∴选项A不符合题意；
∵±＝±2，
∴选项B不符合题意；
∵＝4，
∴选项C不符合题意；
∵＝3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根的性质以及算术平方根的性质，掌握性质是关键．
21．下列说法正确的是（ ）
A．2的平方根是
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C．近似数35万精确到个位
D．无理数的整数部分是5
【答案】B
【分析】
根据平方根的定义，算术平方根的定义，近似数的定义及无理数的估算方法分别计算可判定求解．
【详解】
解：A.2的平方根是±，故错误；
B．（﹣4）2的算术平方根是4，故正确；
C．近似数35万精确到万位，故错误；
D．∵4＜＜5，∴无理数的整数部分是4，故错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根，算术平方根，近似数，无理数，掌握相关概念及性质是解题的关键．
22．下列说法中，正确的是 （ ）
A．64的平方根是8 B．的平方根是4和－4
C．没有平方根 D．4的平方根是2和－2
【答案】D
【分析】
根据平方根的定义与性质，结合各选项进行判断即可．
【详解】
A、64的平方根是±8，故本选项错误；
B、，4的平方根是±2，故本选项错误；
C、，9的平方根是±3，故本选项错误；
D、4的平方根是±2，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根的知识，如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．注意，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
23．的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．6
【答案】A
【分析】
先化简得到＝9，再利用算术平方根的定义求出答案.
【详解】
∵＝9，
∴的算术平方根是＝3，
故选：A.
【点睛】
此题考查算术平方根的定义，利用算术平方根求值，正确化简是解题的关键.
24．81的平方根是（ ）
A．9 B．-9 C．9和 D．81
【答案】C
【分析】
根据平方根的定义即可求出答案．
【详解】
解：，
的平方根是．
故选：C
【点睛】
本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
25．若≈2.3903，≈7.5587，则571.34的平方根约为（ ）
A．239.03 B．±75.587 C．23.903 D．±23.903
【答案】D
【分析】
根据被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位及平方根的定义求解即可．
【详解】
解：∵≈2.3903，
∴±≈±23.903，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查算术平方根与平方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位和平方根的定义．
26．已知实数a的一个平方根是，则此实数的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】
根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可．
【详解】
∵-2是实数的一个平方根，
∴，
∴的算术平方根是，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根．21·cn·jy·com
27．若、是等腰三角形ABC的两条边，且，则的周长为（ ）
A．12 B．12和15 C．9和12 D．15
【答案】D
【分析】
设等腰三角形的第三边长为，先根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性求出a、b的值，再根据三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义可得出c的值，然后利用三角形的周长公式即可得．
【详解】
设等腰三角形的第三边长为，
由算术平方根的非负性、绝对值的非负性得：，，
解得，
由三角形的三边关系定理得：，即，
是等腰三角形，
或（不符，舍去），
则的周长为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理、等腰三角形的定义、算术平方根的非负性、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
28．的平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先化简，再根据平方根的定义，即可解答．
【详解】
解：，8的平方根是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根，解决本题的关键是先化简．
29．如图是一个按某种规律排列 ( http: / / www.21cnjy.com )的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（ ）（用含n的代数式表示）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察不难发现，被开方数是从1开始的 ( http: / / www.21cnjy.com )连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
【详解】
解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1），
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2，
所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键．
30．若，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
【答案】D
【分析】
根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
【详解】
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
二、填空题
31．若与互为相反数，则=____．
【答案】9
【分析】
由它们互为相反数可以得到它们的和为0，再利用算术平方根和平方都具有的非负性，得到这两个式子都为0，从而求出x和y得值，进而得解．
【详解】
解：由题可得：，
，，
，
，，
．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负 ( http: / / www.21cnjy.com )性和平方的非负性以及互为相反数的两个数相加得0的性质，要求学生应理解相关概念并能做到灵活运用，解题过程中用到了解简单一元一次方程的方法，学生需要记住相关步骤才能达到正确解答．
32．已知，则___．
【答案】4
【分析】
直接利用非负数的性质得出关于，的方程，求解，进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查算术平方根的非负性，熟知非负数的常见形式是解题关键，初中阶段非负数的常见形式为一个数的绝对值，一个数的偶次方，二次根式．
33．若实数x，y满足|x﹣4|+＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为_____．
【答案】22
【分析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分类讨论4分别是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣9＝0，
解得x＝4，y＝9，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵4+4＝8＜9，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，周长＝4+9+9＝22．
所以，三角形的周长为22．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查非负数的性质，等腰三角形性质以及三角形的三边关系，本题关键在于利用非负性求出两条边，特别注意对等腰三角形进行分类讨论．
34．方程的根是__________．
【答案】或．
【分析】
根据平方根的定义求解即可．
【详解】
解：，
两边开方得，或，
解得，或．
【点睛】
本题考查了平方根的意义，解题关键是熟练运用平方根的意义，准确进行计算．
35．已知+|2x﹣y|＝0，那么x﹣y＝_____．
【答案】﹣3
【分析】
先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y的值，进而可求出x﹣y的值．
【详解】
解：∵+|2x﹣y|＝0，
∴，
解得．
所以x﹣y＝3﹣6＝﹣3．
故答案为：-3
【点睛】
本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值是解题关键．
三、解答题
36．（1）如图1是由8个全等的正方形拼成的图形，能否只剪两刀，将它分成三块，拼成一个大正方形？我们可以这样思考：如果设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为，由此可见，剪痕应是方格的对角线．如图2，沿AB，CD各剪一刀，就可以拼成面积为8的大正方形，请在图3中补全拼成的大正方形，并表明序号．
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（2）试一试：如图4是由5 ( http: / / www.21cnjy.com )个全等的正方形拼成的图形，把它剪拼成一个大正方形，并使剪痕条数最少，则最少剪痕条数是_______条，并在图4中画出剪痕轨迹．
【答案】（1）见解析；（2）2，画图见解析
【分析】
（1）将剪痕作为拼成后的正方形的边长，可得图形；
（2）类似可知：拼成的大正方形边长为，有一条剪痕为1×2的对角线，据此画图即可．
【详解】
解：（1）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）由（1）可得：设正方形的面积均为1，
则拼成的大正方形边长为，有一条剪痕为1×2的对角线，
∴最少剪痕条数是2条，
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，算术平方根的应用，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．
37．如图，在坐标系中有点，点，若x轴上有一点C，且为等腰三角形，求出所有符合条件的点C坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】符合条件的点C坐标为或或或
【分析】
设点C的坐标为：（m，0），分、、三种情况讨论，根据线段相等，其平方也相等，列出方程求解即可．
【详解】
解：设点C的坐标为：（m，0），
∵点，点，
∴，， ，
当时，，解得，，
此时点C的坐标为或；
当时，，解得，
此时点C的坐标为；
当时，，
或
解得，（与A点重合舍去），
此时点C的坐标为；
综上所述，符合条件的点C坐标为或或或．
【点睛】
本题考查利用平方根解一元二次方程，等腰三角形的性质，坐标与图形．能分类讨论是解题关键．
38．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）移项、系数化为1后，两边直接开平方即可；
（2）两边同时开平方，解关于x的一元一次方程即可．
【详解】
解：（1），
移项得：，
系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
（2），
两边同时开平方得：，
即，
，．
【点睛】
本题考查利用平方根解方程．其原理就是两边同时开平方，降次，将二次方程化为一次方程求解．
39．已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中两直角边a，b满足（3a﹣2b+5）2=0，求第三边长c的值．
【答案】
【分析】
根据绝对值和乘方的非负性可得a和b的二元一次方程组求解后利用勾股定理即可求得c．
【详解】
解：∵（3a﹣2b+5）2=0，
∴0，（3a﹣2b+5）2=0，
∴，
解得：．
∵a，b，c为直角三角形的三边长，
∴c．
【点睛】
本题考查非负数的性质，解二元一次方程，勾股定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么它们各自为0是解题关键．
40．如图，在中，厘米，厘米，厘米，且、、满足等式．
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（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）点从点出发在线段上以1厘米/秒的速度向终点运动，设点的运动时间为（秒）．
①当秒时，求的面积；
②当为等腰三角形时，求的值．
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析；（2）①，②当或或时，为等腰三角形．
【分析】
（1）由，可得 再利用勾股定理的逆定理可得结论；
（2）①当时， 可得 结合 可得 从而可得答案；②当为等腰三角形时，分三种情况讨论，当时，直接可得时间 当时，如图，过作于 可得再利用 求解 可得时间 当时，证明 可得 从而可得答案．
【详解】
解：（1） ，
，
解得： ，
是直角三角形．
（2）①当时，
②当为等腰三角形时，分三种情况讨论，
当时，
当时，如图，过作于
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由
当时，
综上：当或或时，为等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是算术平方根的非负性，勾股定理及勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
41．先化简，再求值：[（a﹣b）2—（2a+b）（b﹣1）—b]÷（﹣），其中a、b满足
【答案】，-10
【分析】
将原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】
解：
=
=
=
∵，
可变形为：，
∴a-1=0，b+=0，
∴a=1，b=-，代入中，
原式==．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
42．已知的两边长a和b满足．
（1）若第三边长为c，求c的取值范围．
（2）若是等腰三角形，求的周长．
【答案】（1），（2）22．
【分析】
（1）根据非负数的性质求出a、b，再根据三角形三边关系确定c的取值范围；
（2）对腰进行分类讨论求周长，注意能否构成三角形．
【详解】
解：（1）∵，
∴，，
∴，，
第三边长为c，求c的取值范围是：，
即．
（2）由（1）得，，，
是等腰三角形，当a为腰时，的周长为：9+9+4=22，
当b为腰时，4+4＜9，不能构成三角形，舍去．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系和不等式，以及非负数的性质，解题关键是熟知三角形的三边关系和非负数的性质，灵活运用它们解题．
43．当时，求代数式的值．
【答案】，．
【分析】
先由分式的加减乘除混合运算，把分式进行化简，然后由非负数的性质求出x、y的值，再代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式
；
当时，
可得，
∴原式．
【点睛】
本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，非负数的应用，解题的关键是正确掌握分式的混合运算的运算法则，正确得到x、y的值．21·世纪*教育网
44．已知．
（1）求，的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出xy的值，再根据算术平方根的定义求解．
【详解】
解：（1），，，
，，
解得：，；
（2），
的算术平方根为．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，以及算术平方根的定义，根据非负数的性质求出，的值是解答本题的关键．
45．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）特例感知
①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上试探究线段与的数量关系，并给予证明；
【答案】（1）①是；②；（2）证明见解析．
【分析】
（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，再求解斜边的长为，由结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到根据勾股高三角形的定义得到，再列方程，解方程可得答案；
（2）由△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，可得： 再由勾股定理可得：，从而可得结论．
【详解】
解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，
则斜边长，
∵等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形，
故答案为：是；
② ，，
由勾股定理可得：
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，
∴，
∴，
解得，（负根舍去）；
（2）AD=CB，
证明如下：∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，
∴，
∴
∴，
都为线段，
∴．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，勾股高三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
46．已知的三边长分别为、、，且，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）如果一个正方形的面积与的面积相等时，求这个正方形的边长．
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析；（2）．
【分析】
（1）先比较根式的大小，再计算较小的两个边的平方和，与最大的平方比较，得出结论即可；
（2）设这个正方形的边长为，由一个正方形的面积与的面积相等，构造方程，解之即可．
【详解】
解：（1）在中，，，
，，
，
是直角三角形；
（2）设这个正方形的边长为，
∵一个正方形的面积与的面积相等，
∴，
解得：，
，
．
答：这个正方形的边长为．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，以及利用面积列方程解应用题，掌握勾股定理逆定理的应用条件与方法，会利用正方形的面积与的面积相等构造方程解决问题是关键．
47．已知，，求下列各式的值．
（1）；（2）
【答案】(1) ；(2)．
【分析】
(1) 根据x2+y2=（x-y）2+2xy，把已知的式子代入即可求解．
(2)根据 ，求出，再开方求x+y即可．
【详解】
解：，，
(1)
(2) ，
∴．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题关键．
48．解方程（组）
（1）
（2）（x－1）2-25=0
【答案】（1）；（2）x=6或x=-4.
【分析】
（1）用加减消元法求二元一次方程组即可；
（2）利用平方根的意义求解即可.
【详解】
（1），
(2) (1)×2，得y＝1，
将y＝1代入(1)，得x＝3，
∴原方程组的解为；
（2）（x-1）2-25=0，
（x-1）2=25，
x-1=5或x-1=-5，
x=6或x=-4.
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．也考查了利用平方根解方程.21*cnjy*com
49．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）2；（2）±4
【分析】
（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m 1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c 3d的值，再求出2c 3d的平方根．
【详解】
（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m 1＜0，
∴|m＋1|＋|m 1|＝m＋1＋1 m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝ 4，
∴2c 3d＝16，
∴2c 3d的平方根为±4．
【点睛】
本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
50．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c来表示，且a、b、c满足关系式：+|a﹣b +1|+（c﹣9）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】△ABC是直角三角形；理由见解析．
【分析】
先求出a、b、c的值，再通过计算得到a2+c2＝b2，根据勾股定理逆定理即可判断△ABC是直角三角形．
【详解】
解：△ABC是直角三角形．
理由是：据题意得：a﹣40＝0，a﹣b +1＝0，c﹣9＝0，
解得：a＝40，c＝9，b＝41，
∵a2+c2＝402+92＝1681， b2＝412＝1681，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，根据题意求出a、b、c的值是解题关键．21教育名师原创作品
51．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
【答案】
【分析】
根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出的值，再根据平方根的定义解答即可．
【详解】
解：根据题意，得，，
解得，，
所以，，
∵，
∴的平方根是．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出a、b的值是解题的关键．
52．若，求的值．
【答案】1
【分析】
根据平方的非负性、开平方的非负性求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
【点睛】
此题考查平方的非负性、开平方的非负性，有理数的混合运算，正确理解平方的非负性、开平方的非负性是解题的关键．www.21-cn-jy.com
53．求满足条件的x值：
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），．
【分析】
（1）方程两边同除以3，再运用直接开平方法求解即可；
（2）方程移项后，再运用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：（1）
解得，，；
（2）
∴
∴，．
【点睛】
本题考查了平方根的应用，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
54．如图①，等腰直角三角形ABC的直角顶点A在y轴上，B点在x轴上，C点在第一象限，已知A（0，a），B（b，0），且a，b满足．
（1）求A，B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）如图②，点D是BC上的 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，以点A为直角顶点，AD为腰作等腰直角三角形ADE，使E点落在第一象限，试问：当D点在BC上运动时，∠ECD的大小是否改变？若不变，请求出∠ACE的度数；若改变，请说明理由．
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【答案】（1）A（0，6），B（－3，0）；（2）C（6，3）；（3）∠ECA的大小不改变，∠ECD＝45°．
【分析】
（1）利用非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）过C点作CG⊥y轴于点G，由“AAS”可证△ABO≌△CAG，可得CG＝AO＝6，AG＝BO＝3，即可求解；
（3）由“SAS”可证△EAC≌△DAB，可得∠ECA＝∠DBA，再根据∠BAC＝90°，AB＝AC，即可求解．
【详解】
解：（1）∵
≥0，≥0，
∴b＋3＝0，a＋2b＝0，
∴b＝－3，a＝6，
∴A（0，6），B（－3，0）；
（2）如图，过C点作CG⊥y轴于点G，
则∠CGA＝∠CAB＝∠AOB＝90°，
∴∠CAG＋∠BAO＝90°＝∠CAG＋∠ACG，
∴∠BAO＝∠ACG，
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在△ABO和△CAG中，
，
∴△ABO≌△CAG（AAS），
∴CG＝AO＝6，AG＝BO＝3，
∴OG＝OA－AG＝6－3＝3；
∴C（6，3）；
（3）不改变，∠ECD＝45°．
理由如下：
∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠DAB＝∠EAC．
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴∠ECA＝∠DBA，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ECA＝∠DBA＝45°，
∴∠ECA的大小不改变，∠ECD＝45°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
55．我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，
下面我们观察：，
反之，，
∵
∴
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简即可得解；
（2）根据前面几个式子可猜想出其中的变化规律，直接利用规律进行化简，然后再求和即可得解；
（3）对依次进行分母有理化可得，再通过移项、平方等变形可得、，然后将其代入所求代数式，进行化简即可得解．
【详解】
（1）
（2）
（3），
∴，，
∴，
∴，，
∴
，
则的值为0．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式的应用、求代数式的值等，熟练掌握相关知识点并能够灵活运用是解题的关键．
56．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___________；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
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【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）由（1）可知、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案；
（3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根．
【详解】
解：（1）∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示
∴点表示
∴．
（2）∵
∴，
∴
．
（3）∵与互为相反数
∴
∴
∴
∴
∴，即的平方根是．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
57．先化简：，然后从0，2，中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，1
【分析】
把所给分式化简后，从0，2，中选择一个使分式有意义的数代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=，
∵a=0，2时，分式无意义，
∴a==3，
∴原式=．
【点睛】
本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．也考查了算术平方根的定义．
58．解答下列各题：
（1）计算：．
（2）求的值：．
【答案】（1）0；（2），．
【分析】
（1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用立方根定义，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】
（1）
．
（2）
，
，
∴，．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
59．解方程或不等式（组）
（1）．
（2）．
（3）
【答案】（1）或；（2）；（3）．
【分析】
（1）用直接开平方解方程即可；
（2）去括号，去分母，移项合并同类项，系数化为1，即可解；
（3）分别解出两个不等式，再找公共部分即可．
【详解】
解：（1）
∴
∴2x-1是169的平方根，
∴
∴或，
∴或
∴或．
故或．
（2）
∴
∴
∴
∴
（3），
①式化简，
∴，
∴．
②式化简，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了利用平方根方程及一元一次不等式（组）的解法，熟悉平方根定义及一元一次不等式的解法步骤是解题关键．
60．请回答下列各题:
计算：；
先化简，再求值：，其中；
解方程组；
若，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
先进行乘方运算，同时去绝对值符号和二次根式最简化，再根进行有理数计算即可；先括号内进行合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代入数值计算即可；由可计算出，把代入式即可求解；分别由平方根被开方数的非负性、绝对值的非负性、偶次方数的非负性可计算出未知数的值，再代入式子求平方根即可．
【详解】
（1）原式，
；
（2）原式，
，
，
当时，
原式
.
（3），
由得：
，
由得，
，
，
将代入式得，
，
，
解得；
（4）
且，
，
解得：，
原式，
，
的平方根为．
【点睛】
本题主要考查了数学运算，利用算术 ( http: / / www.21cnjy.com )平方根、绝对值、偶次方数的非负性解题，多项式的化简求值，加减消元法解二元一次方程组以及求平方根．此类题目要求同学们的基础计算能力要过硬，特别注意非负性的利用和符号变化．【出处：21教育名师】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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4.1 平方根
【提升训练】
一、单选题
1．若的两边长，满足，则第三边的长是（ ）
A．5 B． C．5或7 D．5或
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知三角形的三边长a、b、c满足＋ ＋|c－|＝0，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
4．已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）
A．1或9 B．3 C．1 D．81
5．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4
C．-36的算术平方根是6 D．25的平方根是±5
6．下列各数没有平方根的是（ ）
A．﹣3 B．0 C．2 D．5
7．下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（ ）
第1行 1
第2行 2
第3行
第4行
… …
A． B． C． D．
8．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（ ）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
9．若方程的解分别为，且，下列说法正确的是（ ）
A．是5的平方根 B．是5的平方根
C．是5的算术平方根 D．是5的算术平方根
10．估算的结果在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
11．的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．-2
12．若制作的一个长方体底面积为，长、宽、高的比为，则此长方体的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知实数a，b为的两边，且满足，第三边，则第三边c上的高的值是
A． B． C． D．
14．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（ ）
A．5 B．5或 C．12 D．12或7+
16．若的三边a、b、c满足，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
17．已知的三边，，满足：，则边上的高为（ ）
A．1.2 B．2 C．2.4 D．4.8
18．下列说法中正确的有（ ）个
①同位角相等；②三角形的内角和是180 ；③＜；④如果a =b ，那么a=b．
A．1 B．2 C．3 D．4
19．已知，则的平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．9 D．3
20．在下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．下列说法正确的是（ ）
A．2的平方根是
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C．近似数35万精确到个位
D．无理数的整数部分是5
22．下列说法中，正确的是 （ ）
A．64的平方根是8 B．的平方根是4和－4
C．没有平方根 D．4的平方根是2和－2
23．的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．6
24．81的平方根是（ ）
A．9 B．-9 C．9和 D．81
25．若≈2.3903，≈7.5587，则571.34的平方根约为（ ）
A．239.03 B．±75.587 C．23.903 D．±23.903
26．已知实数a的一个平方根是，则此实数的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．4
27．若、是等腰三角形ABC的两条边，且，则的周长为（ ）
A．12 B．12和15 C．9和12 D．15
28．的平方根为（ ）
A． B． C． D．
29．如图是一个按某种规律 ( http: / / www.21cnjy.com )排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第（n﹣2）个数是（ ）（用含n的代数式表示）21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
30．若，则的平方根为（ ）
A．±2 B．4 C．2 D．±4
二、填空题
31．若与互为相反数，则=____．
32．已知，则___．
33．若实数x，y满足|x﹣4|+＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为_____．
34．方程的根是__________．
35．已知+|2x﹣y|＝0，那么x﹣y＝_____．
三、解答题
36．（1）如图1是由8个全等的正方形拼成的图形，能否只剪两刀，将它分成三块，拼成一个大正方形？我们可以这样思考：如果设每个小正方形的面积为1，则拼成的大正方形的面积为8，其边长为，由此可见，剪痕应是方格的对角线．如图2，沿AB，CD各剪一刀，就可以拼成面积为8的大正方形，请在图3中补全拼成的大正方形，并表明序号．www.21-cn-jy.com
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（2）试一试：如图4是由5个全等的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形拼成的图形，把它剪拼成一个大正方形，并使剪痕条数最少，则最少剪痕条数是_______条，并在图4中画出剪痕轨迹．2·1·c·n·j·y
37．如图，在坐标系中有点，点，若x轴上有一点C，且为等腰三角形，求出所有符合条件的点C坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
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38．解方程：
（1）
（2）
39．已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中两直角边a，b满足（3a﹣2b+5）2=0，求第三边长c的值．21cnjy.com
40．如图，在中，厘米，厘米，厘米，且、、满足等式．
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（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）点从点出发在线段上以1厘米/秒的速度向终点运动，设点的运动时间为（秒）．
①当秒时，求的面积；
②当为等腰三角形时，求的值．
41．先化简，再求值：[（a﹣b）2—（2a+b）（b﹣1）—b]÷（﹣），其中a、b满足
42．已知的两边长a和b满足．
（1）若第三边长为c，求c的取值范围．
（2）若是等腰三角形，求的周长．
43．当时，求代数式的值．
44．已知．
（1）求，的值；
（2）求的算术平方根．
45．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．21·cn·jy·com
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（1）特例感知
①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度．
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上试探究线段与的数量关系，并给予证明；21·世纪*教育网
46．已知的三边长分别为、、，且，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）如果一个正方形的面积与的面积相等时，求这个正方形的边长．
47．已知，，求下列各式的值．
（1）；（2）
48．解方程（组）
（1）
（2）（x－1）2-25=0
49．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
50．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用a、b、c来表示，且a、b、c满足关系式：+|a﹣b +1|+（c﹣9）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
51．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
52．若，求的值．
53．求满足条件的x值：
（1）
（2）
54．如图①，等腰直角三角形ABC的直角顶点A在y轴上，B点在x轴上，C点在第一象限，已知A（0，a），B（b，0），且a，b满足．21教育网
（1）求A，B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）如图②，点D是BC上的动点，以点A为 ( http: / / www.21cnjy.com )直角顶点，AD为腰作等腰直角三角形ADE，使E点落在第一象限，试问：当D点在BC上运动时，∠ECD的大小是否改变？若不变，请求出∠ACE的度数；若改变，请说明理由．2-1-c-n-j-y
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55．我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，21*cnjy*com
下面我们观察：，
反之，，
∵
∴
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
56．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是___________；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
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57．先化简：，然后从0，2，中选择一个合适的数代入求值．
58．解答下列各题：
（1）计算：．
（2）求的值：．
59．解方程或不等式（组）
（1）．
（2）．
（3）
60．请回答下列各题:
计算：；
先化简，再求值：，其中；
解方程组；
若，求的平方根．
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