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4.2 立方根
【提升训练】
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．中的可以是正数、负数、零
B．中的不可能是负数
C．数的平方根一定有两个，它们互为相反数
D．数的立方根只有一个
2．下列运算中正确的有（ ）个．
① ② ③ ④ =0.001
A．2 B．3 C．4 D．5
3．给出下列四个说法：①一 ( http: / / www.21cnjy.com )个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）21cnjy.com
A．①② B．①②③ C．②③ D．③
4．若的平方根是a，的立方根是b，则的值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
5．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知x，y为实数，且，则yx的立方根是( )
A． B．－2 C．－8 D．±2
7．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
8．下列各式中,正确的是( )
A．=±4 B．±=4 C． D．
9．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.3 D．0.1333
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．-27的立方根与的算术平方根的和是( )
A．0 B．6 C．6或一1 D．0或6
12．若a2=16，， 则a+b的值是( )
A．12 B．12或-4 C．12或4 D．-12或-4
13．若x是64的立方根，y是16的平方根，则x+y的值是（ ）
A．8 B．0 C．-4 D．8或0
14．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根一定比这个数小
B．一个数的算术平方根一定是正数
C．一个正数的立方根有两个
D．一个负数的立方根只有一个，且为负数
15．要使，k的取值范围是( )
A．k≤3 B．k≥3 C．0≤k≤3 D．一切实数
16．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
17．下列说法：①－是17的平方根；②的立方根是±；③－81没有立方根④实数和数轴上的点一一对应。其中错误的有（ ）21教育网
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
18．若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是( )
A．±3 B．±4 C．±2 D．±5
19．下列各式中，正确的个数是（）
①； ②；③的平方根是－3；④的算术平方根是5；⑤是的平方根
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．下列说法正确的是( )
A．一个正数的平方根和立方根都只有一个；
B．0 的平方根和立方根都是0；
C．1 的平方根与立方根都等于它本身；
D．一个数的立方根与其自身相等的数只有-1
21．下列说法中，不正确的是（ ）
A．10的立方根是
B．是4的一个平方根
C．的平方根是
D．0.01的算术平方根是0.1
22．下列说法不正确的是（ ）
A．负数没有平方根 B．负数没有立方根
C．一个数的算术平方根不会是负数 D．不存在最小的无理数
23．设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（ ）
A．388947 B．388944 C．388953 D．388949
24．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．的相反数是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
26．下列说法:(1)8的立方根是.(2) 的平方根是.(3)负数没有立方根. (4)正数有两个平方根,它们互为相反数.其中错误的有（ ）21·cn·jy·com
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
27．如果，，，那么的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
28．下列说法：（1） 的立方根是2，（2）的立方根是±5，（3）负数没有平方根，（4）一个数的平方根有两个，它们互为相反数．其中错误的有（ ）www.21-cn-jy.com
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
29．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
30．的相反数是（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
二、填空题
31．一个正方体的木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．2·1·c·n·j·y
32．计算：=____．
33．﹣8的立方根与的平方根之和是_____．
34．已知，则的值是______________________．
35．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________．
三、解答题
36．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
37．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
38．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．
39．计算：
40．若2m+2的平方根为±4，4n的立方根是-2，求m-n的值．
41．计算
（1）
（2）；
（3）先化简﹐再求值： ，其中
42．已知某正数的两个平方根是和，的立方根为－2，求的算术平方根．
43．求下列各式中x的值．
（1）
（2）
44．已知的平方根是，，求的算术平方根．
45．计算：．
46．求下列各式中的：
（1）；
（2）
47．计算：
48．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值．
（2）求4a﹣b的平方根．
49．已知4a+1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根为2．
（1）求a与b的值；（2）求2a+4b的平方根．
50．求下列各式中的的值
（1）；（2）
51．已知的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试判断的形状；
（2）若和互为相反数 ，的值
52．（1）计算：
（1）2（x-1）2＝8中的x值；
（2）求（3x﹣1）3＝8中的x值．
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
53．如图，数轴上点A，B，C 所对应的实数分别为a，b，c，试化简．
54．求下列各式中x的值
（1）；
（2）．
55．已知的算术平方根是3，的立方根也是3，求的值．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
57．已知：的算术平方根是3，的立方根是2．
（1）求出a与b的值；
（2）已知一个长方形的长为x厘米，宽比长少3厘米．现将该长方形的长增加a厘米，宽减少b厘米，发现面积保持不变．求出x的值．21世纪教育网版权所有
58．计算：；
59．化简求值：已知的算术平方根为，的立方根为3，求的平方根．
60．已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根．
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4.2 立方根
【提升训练】
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．中的可以是正数、负数、零
B．中的不可能是负数
C．数的平方根一定有两个，它们互为相反数
D．数的立方根只有一个
【答案】C
【分析】
按照平方根和立方根的性质判断即可．
【详解】
A. 中的可以是正数、负数、零，正确，不符合题意；
B. 中的不可能是负数，正确，不符合题意；
C. 0的平方根只有0，故原说法错误，符合题意；
D. 数的立方根只有一个，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的性质，解题关键是掌握平方根和立方根的性质．
2．下列运算中正确的有（ ）个．
① ② ③ ④ =0.001
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据二次根式的性质和立方根的定义计算判断即可．
【详解】
∵，
∴①是错误的；
∵，
∴②是正确的；
∵与不是同类二次根式，无法计算，
∴③是错误的；
∵＝0.001，
∴④是正确的；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，二次根式的加减，熟练掌握性质是解题的关键．
3．给出下列四个说法：①一个数 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．③
【答案】D
【分析】
分别根据算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵（±1）2＝1，∴一个数的平方等于1，那么这个数就是1，故①错误；
②∵42＝16，∴4是16的算术平方根，故②错误，
③平方根等于它本身的数只有0，故③正确，
④8的立方根是2，故④错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根和算术平方根的定义，熟知算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义是解答此题的关键．
4．若的平方根是a，的立方根是b，则的值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】
根据平方根、立方根的定义求出a、b，再代入计算．
【详解】
解：∵的平方根是a，即a为9的平方根，
∴．
∵的立方根是b，即b为8的立方根，
∴，
∴当，时，；
当，时，．
故选：A．
【点睛】
此题考查平方根的定义，立方根的定义，乘方运算，正确求出a与b的值是解题的关键．
5．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据乘方运算，可得平方根、立方根，根据绝对值，可得绝对值表示的数，根据正数大于负数，可得答案．
【详解】
解：∵，，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数比较大小，先化简，再比较，解题的关键是掌握乘方运算，绝对值的化简．
6．已知x，y为实数，且，则yx的立方根是( )
A． B．－2 C．－8 D．±2
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的非负性及平方的非负性求得x=3，y=-2，代入求出，根据立方根的性质即可得到答案．21·世纪*教育网
【详解】
∵，且，
∴x-3=0，y+2=0，
∴x=3，y=-2，
∴，
∵-8的立方根是-2，
∴yx的立方根是-2，
故选：B．
【点睛】
此题考查算术平方根的非负性、平方的非负性，求一个数的立方根，正确掌握算术平方根的非负性及平方的非负性求出x、y的值是解题的关键．
7．下列各式计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平方根的性质、立方根的性质依次化简即可判断．
【详解】
A、，故该项不符合题意；
B、，故该项不符合题意；
C、，故该项符合题意；
D、，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查平方根的性质、立方根的性质化简，熟记各性质是解题的关键．
8．下列各式中,正确的是( )
A．=±4 B．±=4 C． D．
【答案】C
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
9．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.3 D．0.1333
【答案】C
【分析】
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】
解：∵≈1.333，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根就扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】
解：A、=-2，故本选项正确；
B、-=-0.6，故本选项错误；
C、=13，故本选项错误；
D、=5，故本选项错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力．
11．-27的立方根与的算术平方根的和是( )
A．0 B．6 C．6或一1 D．0或6
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出-27的立方根与的算术平方根，再求出其和即可．
【详解】
∵= 27，
∴ 27的立方根是 3；
∵=9，
∴的的算术平方根是3，
∴ 3+3=0.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键.
12．若a2=16，， 则a+b的值是( )
A．12 B．12或-4 C．12或4 D．-12或-4
【答案】C
【分析】
根据a2=16，，可得：a=±4，b=8,据此，求出a+b的值是多少即可．
【详解】
解：∵a2=16，
∴
∴a=±4，b=8，
∴a+b=4+8=12或a+b=-4+8=4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平方根、立方根的性质和应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．21教育网
13．若x是64的立方根，y是16的平方根，则x+y的值是（ ）
A．8 B．0 C．-4 D．8或0
【答案】D
【分析】
根据立方根的定义求出x，平方根的定义求出y，然后相加计算即可得解．
【详解】
∵x是64的立方根，∴x=4．
∵y是16的平方根，∴y=±4．
所以，x+y=4+4=8，或x+y=4+（﹣4）=0．
故选D．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的定义，熟记概念是解答本题的关键．
14．下列说法正确的是（ ）
A．一个数的立方根一定比这个数小
B．一个数的算术平方根一定是正数
C．一个正数的立方根有两个
D．一个负数的立方根只有一个，且为负数
【答案】D
【解析】
【分析】
运用立方根和算术平方根的定义及性质，对各选项进行分析，即可得到答案.
【详解】
解：A、由-27的立方根是-3，-3>-27，故本项错误；
B、0的算术平方根是0，0既不是正数也不是负数，故本项错误；
C、一个正数只有一个立方根，故本项错误；
D、一个负数只有一个立方根，且为负数，故本项正确.
故选D.
【点睛】
本题主要看考查了立方根和算术平方根的定义及性质，掌握正数、零、负数都有唯一个立方根是解答本题的关键.21·cn·jy·com
15．要使，k的取值范围是( )
A．k≤3 B．k≥3 C．0≤k≤3 D．一切实数
【答案】D
【分析】
根据立方根的定义由
，得k的取值范围是一切实数．
【详解】
∵ ，
∴k的取值范围是一切实数．
故选：D．
【点睛】
本题考查了立方根的定义
16．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】
先化简，然后根据相反数的意义进行判断即可得出答案.
【详解】
解：A. 与不是一组相反数，故本选项错误；
B. =，所以与 不是一组相反数，故本选项错误；
C. =2，=-2，所以与是一组相反数，故本选项正确；
D. =-2，=-2，所以与不是一组相反数，故本选项错误，
故选C
【点睛】
本题考查了相反数，能将各数化简并正确掌握相反数的概念是解题关键.
17．下列说法：①－是17的平方根；②的立方根是±；③－81没有立方根④实数和数轴上的点一一对应。其中错误的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】
分别判断每个选项，注意立方根只有一个.
【详解】
解：①－是17的平方根，正确；
②的立方根是,故②错误；
③－81的立方根为 ，故③错误；
④实数和数轴上的点-—对应，正确.
可得②③错误.
故选：C
【点睛】
本题考查平方根和立方根的知识，难度不大，注意立方根只有一个，负数也有立方根.
18．若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是( )
A．±3 B．±4 C．±2 D．±5
【答案】D
【分析】
首先利用立方根的定义先求出x的值，代入求得2x+7的值，再利用平方根的定义求解．
【详解】
∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得：x=9，则2x+7=2×9+7=25．
∵25的平方根是±5，∴2x+7的平方根是±5．
故选D．
【点睛】
本题考查了利用立方根的概念解题．如果 ( http: / / www.21cnjy.com )一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
19．下列各式中，正确的个数是（）
①； ②；③的平方根是－3；④的算术平方根是5；⑤是的平方根
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
①由于0.33=0.027，故；
②左边是算术平方根，右边是平方根，不正确；
③正数有两个平方根；
④5的算术平方根是；
⑤根据逆运算可知正确．
【详解】
①由于0.33=0.027，故，此选项正确；
②，故此选项错误；
③的平方根是±3，故此选项错误；
④5，故5的算术平方根是，故此选项错误；
⑤（-）2，故此选项正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了算术平方根、平方根、立方根，解题的关键是注意算术平方根、平方根的区别和联系．
20．下列说法正确的是( )
A．一个正数的平方根和立方根都只有一个；
B．0 的平方根和立方根都是0；
C．1 的平方根与立方根都等于它本身；
D．一个数的立方根与其自身相等的数只有-1
【答案】B
【分析】
根据平方根、立方根的定义和性质对每一项分别进行分析即可．
【详解】
A．一个正数的平方根有两个，一个正数的立方根只有一个，故A错误；
B．0的平方根和立方根都是0，故B正确；
C．1的平方根是±1，1的立方根等于它本身，故C错误；
D．一个数的立方根与其自身相等的数有±1和0，故D错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了实数，用到的知识点是平方根、立方根，熟练掌握有关定义和性质是解答本题的关键．
21．下列说法中，不正确的是（ ）
A．10的立方根是
B．是4的一个平方根
C．的平方根是
D．0.01的算术平方根是0.1
【答案】C
【分析】
根据立方根，平方根和算术平方根的定义，即可解答．
【详解】
解：A. 10的立方根是，正确；
B. -2是4的一个平方根，正确；
C. 的平方根是±，故错误；
D. 0.01的算术平方根是0.1，正确.
故选C．
【点睛】
本题考查了平方根和算术平方根，立方根，解决本题的关键是熟记立方根，平方根和算术平方根的定义．
22．下列说法不正确的是（ ）
A．负数没有平方根 B．负数没有立方根
C．一个数的算术平方根不会是负数 D．不存在最小的无理数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平方根和立方根的定义进行判断即可．
【详解】
解：A. 负数没有平方根，正确；
B. 负数没有立方根，错误；
C. 一个数的算术平方根不会是负数，正确；
D. 不存在最小的无理数，正确；
故选：B.
【点睛】
本题考查平方根的概念，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
23．设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（ ）
A．388947 B．388944 C．388953 D．388949
【答案】B
【解析】
【分析】
由n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3，由答案四项的大小相差不大，且立方根约为自然数73，所以可得n的值为73，即可求出代数式的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
∵n3-n=n（n-1）（n+1）≈n3
又
∴n=73
∴n3-n=72×73×74=388944
故选B．
【点睛】
本题考查了代数式求值在实际问题中运用．
24．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根的定义，立方根的定义，任何数的零次幂等于1，平方根，对各选项分析判断后利用排除法求解．【版权所有：21教育】
【详解】
A. 3，故本选项错误；
B. 2，故本选项错误；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项正确．
故选D.
【点睛】
此题考查立方根，零指数幂，算术平方根，平方根，解题关键在于掌握运算法则.
25．的相反数是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【分析】
先计算，再求出其相反数为-3.
【详解】
∵，3的相反数为-3，
∴的相反数是-3.
故选B.
【点睛】
本题考查了求一个数的立方根及其相反数.
26．下列说法:(1)8的立方根是.(2) 的平方根是.(3)负数没有立方根. (4)正数有两个平方根,它们互为相反数.其中错误的有（ ）2·1·c·n·j·y
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
（1）（3）根据立方根的定义即可判定；
（2）根据算术平方根和平方根的定义即可判定；
（4）根据平方根的定义即可判定．
【详解】
（1）8的立方根是2，原来的说法错误；
（2）=16，16的平方根是±4，原来的说法错误；
（3）负数有立方根，原来的说法错误；
（4）正数有两个平方根，它们互为相反数是正确的．
错误的有3个．
故选B．
【点睛】
此题考查了相反数，立方根和算术平方根、平方根的性质，要掌握一些特殊数字的特殊性质，如1，-1和0．
相反数的定义：只有符号相反的两个数叫互为相反数；
立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．
算术平方根是非负数．
27．如果，，，那么的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据平方根、立方根和算术平方根的定义得出m，n，x的值，再代入计算可得答案.
【详解】
∵，，，
∴或，，或．
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，；
当，，时，．
故选C.
【点睛】
此题主要考查了平方根的定义，算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单.
28．下列说法：（1） 的立方根是2，（2）的立方根是±5，（3）负数没有平方根，（4）一个数的平方根有两个，它们互为相反数．其中错误的有（ ）【出处：21教育名师】
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】
①根据立方根的性质即可判定；
②根据立方根的性质即可判定；
③根据平方根的定义即可判定；
④根据平方根的定义即可判定
【详解】
（1）的立方根是2，2的立方根是 ，故①错误；
（2）＝-5，-5的立方根是- ，故②错误；
（3）负数没有平方根，原来的说法正确；
（4）一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故④错误．
错误的有3个．
故选B．
【点睛】
此题考查立方根的性质，平方根的定义，解题关键在于掌握其性质
29．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据立方根与平方根的性质即可求出答案．
【详解】
A 5，故A错误；
B ，故B错误；
C ，故C错误；
D=3，正确
故选D
【点睛】
此题考查平方根，算术平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则
30．的相反数是（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
【答案】A
【分析】
根据立方根和相反数定义求解.
【详解】
因为=-2，
所以的相反数是2
故选A
【点睛】
考核知识点：相反数，立方根.
二、填空题
31．一个正方体的木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是________．21教育名师原创作品
【答案】73.5cm3．
【分析】
先根据正方体的体积求出正 ( http: / / www.21cnjy.com )方体的边长，要使它锯成8块同样大小的小正方体木块，只需要将正方体的每条棱长平均分为两份即可，得到小正方体的棱长，即可求出表面积．
【详解】
解：∵一个正方体的木块的体积是，
∴正方体的棱长为=7（cm3），
要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm3），
∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm3）．
故答案为73.5cm3．
【点睛】
本题考查了立方根．解题的关键是能够通过空间想象得出如何将正方体分成8块同样大小的小正方体木块．
32．计算：=____．
【答案】5
【分析】
先化简绝对值、求立方根和算术平方根，再加减即可．
【详解】
解：，
=，
=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了绝对值、立方根、算术平方根的运算，准确运用法则是解题关键．
33．﹣8的立方根与的平方根之和是_____．
【答案】0或﹣4
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义求解，得到答案即可.
【详解】
解：∵﹣8的立方根为﹣2、的平方根为2或﹣2，
∴﹣8的立方根与的平方根之和是﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4，
故答案为：0或﹣4．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
34．已知，则的值是______________________．
【答案】
【分析】
根据立方根的性质即可求解．
【详解】
已知，
故答案为: ．
【点睛】
此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知实数的性质变形求解．
35．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为___________．
【答案】8
【分析】
先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
则，
所以，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．
三、解答题
36．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式的值．
【答案】2．
【分析】
先根据数轴的定义可得，从而可得，再根据立方根的定义可得，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．
【详解】
解：由数轴的定义得：，
，
为8的立方根，
，
则，
，
，
．
【点睛】
本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
37．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2），8．
【分析】
（1）先计算算术平方根和立方根，在加减即可；
（2）先按整式运算法则化简，再代入求值．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
把代入，原式．
【点睛】
本题考查了立方根和算术平方根，整式的化简求值，解题关键是熟练运用二次根式和整式运算法则进行计算．
38．已知2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，求x﹣2y＋10的平方根．
【答案】±9
【分析】
根据立方根与算术平方根的定义得到5x＋y＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2＝27，2x＋3＝25，则可计算出x＝11，y＝﹣30，然后计算x﹣2y＋10后利用平方根的定义求解．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：因为2x＋3的算术平方根是5，5x＋y＋2的立方根是3，
∴
解得：，
∴x﹣2y＋10＝81，
∴x﹣2y＋10的平方根为：．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
39．计算：
【答案】
【分析】
先计算平方、立方根、绝对值，再加减即可．
【详解】
解：
＝
＝
＝
【点睛】
本题考查了实数的计算，解题关键是准确的计算立方根、算术平方根和乘方，明确绝对值的意义．
40．若2m+2的平方根为±4，4n的立方根是-2，求m-n的值．
【答案】9
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义得出m、n的值，再求出m-n，即可得出答案．
【详解】
解：∵2m+2的平方根为±4，4n的立方根是-2，
∴2m+2=16，4n=-8，
解得：m=7，n=-2，
∴m-n=7-(-2)=9．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的定义，能根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值是解此题的关键．
41．计算
（1）
（2）；
（3）先化简﹐再求值： ，其中
【答案】（1）；（2）；（3）；1
【分析】
（1）根据立方根、平方根的性质计算，即可得到答案；
（2）根据幂的乘方、合并同类项的性质计算，即可得到答案；
（3）根据完全平方公式、平方差公式、整式加减运算的性质计算，即可完成化简；再结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
；
当时，原式．
【点睛】
本题考查了立方根、平方根 ( http: / / www.21cnjy.com )、幂的乘方、合并同类项、乘法公式、整式加减运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握立方根、平方根、幂的乘方、乘法公式、整式加减运算的性质，从而完成求解．
42．已知某正数的两个平方根是和，的立方根为－2，求的算术平方根．
【答案】3
【分析】
利用正数的平方根有两个，且互为相反 ( http: / / www.21cnjy.com )数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据算术平方根的定义求出a+b的算术平方根．21cnjy.com
【详解】
解：由题意得，，，
解得：，，
∴，
∴的算术平方根是3.
【点睛】
本题考查的是平方根、立方根和算术平 ( http: / / www.21cnjy.com )方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．
43．求下列各式中x的值．
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用平方根的概念解方程；
（2）利用立方根的概念解方程
【详解】
解：（1）
∴
（2）
∴
∴
【点睛】
本题考查平方根和立方根概念的应用，理解相关概念正确计算是解题关键．
44．已知的平方根是，，求的算术平方根．
【答案】的算术平方根为．
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义列式求出m、n的值，然后代入代数式求出m＋n的值，再根据算术平方根的定义解答．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的算术平方根为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根、立方根的定义，是基础题，熟记概念并列式求出m、n的值是解题的关键．
45．计算：．
【答案】4
【分析】
原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．
46．求下列各式中的：
（1）；
（2）
【答案】1）；（2）3
【分析】
（1）先将原方程移项、系数化为1后，再利用平方根的定义求解即可；
（2）先利用立方根的定义求得，解此方程即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
此题考查了利用平方根、立方根解方程，解答此题的关键是掌握平方根与立方根的定义并能准确理解题意．
47．计算：
【答案】
【分析】
分别进行零指数幂运算、算术平方根运算、立方根运算、绝对值运算即可解答．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题考查了零指数幂、算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解答的关键．
48．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值．
（2）求4a﹣b的平方根．
【答案】（1）a=5，b=2；（2）．
【分析】
（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．
（2）根据平方根的定义即可解答．
【详解】
解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2；
（2）由（1）知a=5，b=2，
∴4a-b=4×5-2=18，
∵18的平方根为±3，
∴4a-b的平方根为±3．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
49．已知4a+1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根为2．
（1）求a与b的值；（2）求2a+4b的平方根．
【答案】（1）a=2，b=3；（2）±4．
【分析】
（1）首先根据4a+1的平方根是±3 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得：4a+1=9，据此求出a的值是多少；然后根据3a+b﹣1的立方根为2，可得：3a+b﹣1=8，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+4b，求出它的值，然后根据平方根的定义即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵4a+1的平方根是±3，
∴4a+1=9，
解得a=2，
∵3a+b﹣1的立方根为2，
∴3a+b﹣1=8，
解得：b=3；
（2）由（1）得a=2，b=3，
∴．
它的平方根为：±4．
【点睛】
本题考查了平方根，立方根，列式求出a、b的值是解题的关键．
50．求下列各式中的的值
（1）；（2）
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）适当变形后，利用平方根的定义即可解方程；
（2）适当变形后，利用立方根的定义即可解方程．
【详解】
解：（1）
两边乘以2得，，
开平方得，，
即或，
∴或；
（2）
移项得，，
开立方得，，
解得，．
【点睛】
本题考查的是利用平方根，立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的定义和等式的性质是解题的关键．
51．已知的三边长分别为a，b，c．
（1）若a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试判断的形状；
（2）若和互为相反数 ，的值
【答案】（1）等边三角形；（2）1
【分析】
（1）等式两边同乘2，移项，使等号右边为零，利用完全平方公式和平方的非负性，即可得到a，b，c的关系，进而得到结论；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据立方根的性质，可得，被开方数互为相反数，进而得到a，b的数量关系，即可求解．
【详解】
（1）∵a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，
∴2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca，
∴2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0，
∴a2-2ab＋b2+ b2-2bc＋c2 +a2-2ca+ c2=0，即：，
∴，
∴a=b且b=c且a=c，即a=b=c，
∴是等边三角形；
（2）∵和互为相反数 ，
∴3a-3和3-3b互为相反数，
∴3a-3+3-3b=0,即：a-b=0,
∴=1．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定，立方根的性质以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和立方根的性质，是解题的关键．
52．（1）计算：
（1）2（x-1）2＝8中的x值；
（2）求（3x﹣1）3＝8中的x值．
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
【答案】（1）x1=3，x2=-1；（2）x=1；（3）
【分析】
（1）根据平方根的定义，即可求解；
（2）根据立方根的定义，即可求解；
（3）利用平方差公式，即可求解．
【详解】
（1）2（x-1）2＝8，
（x-1）2＝4，
x-1＝±2，
∴x1=3，x2=-1；
（2）（3x﹣1）3＝8，
3x﹣1＝2，
3x＝3，
x=1；
（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=
=
=
【点睛】
本题主要考查解方程和有理数的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义以及平方差公式，是解题的关键．
53．如图，数轴上点A，B，C 所对应的实数分别为a，b，c，试化简．
【答案】2a-c
【分析】
根据数轴得到a【详解】
由数轴得a∴a-c<0，a+b<0，
∴
=-b-（c-a）+(a+b)
=-b-c+a+a+b
=2a-c.
【点睛】
此题考查数轴上的点表示数，利用数轴 ( http: / / www.21cnjy.com )比较数的大小，绝对值的性质，立方根的化简，整式的加减法计算法则，解题的关键是依据数轴确定各式子的符号由此化简各式.
54．求下列各式中x的值
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）方程整理后，利用平方根的性质开平方即可求解；
（2）方程直接利用立方根的性质开立方即可求解；
【详解】
（1）
解得：或；
（2）
解得：．
【点睛】
本题主要考查解方程，涉及到立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握开平方、开立方根的方法．
55．已知的算术平方根是3，的立方根也是3，求的值．
【答案】11
【分析】
根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x和y，代入求值即可．
【详解】
解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是3，
∴，即
∴，
∴．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键．
56．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，；（3）
【分析】
(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
解：（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，；
∵，是的整数部分，
∴；
（2）当，，时，
，16的平方根是
∴的平方根是．
【点睛】
本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．www.21-cn-jy.com
57．已知：的算术平方根是3，的立方根是2．
（1）求出a与b的值；
（2）已知一个长方形的长为x厘米，宽比长少3厘米．现将该长方形的长增加a厘米，宽减少b厘米，发现面积保持不变．求出x的值．21*cnjy*com
【答案】（1）；（2）所求的x不存在．
【分析】
（1）首先根据2a-1的算术平方根是3，可得：2a-1=9，据此求出a的值是多少；然后根据的立方根是2，可得：=8，解据此求出b的值是多少即可．
（2）根据题意得出两个长方形的长和宽的代数式，再根据面积公式和面积相等列方程，带入a、b的值即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意，得：
解得：
（2）由题意得：原来长为x厘米，宽为（x-3）厘米，新长方形的长为（x+a）厘米，宽为（x-3-b）厘米，根据面积相等得：21*cnjy*com
，把a=5，b=2代入，得：，
即x2-3x=x2-6x+5，
解得：
此时，，故所求的x不存在．
【点睛】
本题考查立方根、算术平方根的含义和解二元一次方程组，结题关键是熟练掌握立方根、算术平方根的性质．
58．计算：；
【答案】1
【分析】
先根据算术平方根、立方根、正整数指数幂进行计算，再进行有理数的加减运算．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，结题关键是熟练掌握算术平方根、立方根、正整数指数幂的运算性质．
59．化简求值：已知的算术平方根为，的立方根为3，求的平方根．
【答案】
【分析】
根据算术平方根的定义和立方根的定义求出a和b的值，再求的平方根即可．
【详解】
由题得：，
∴，
得：，
∴，
∴的平方根为．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义和立方根的定义，以及二元一次方程组的解法，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．
60．已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根．
【答案】-4
【分析】
分别根据的平方根是，的算术平方根是7，求出a、b的值，再求出的值，求出其立方根即可．
【详解】
解：∵的平方根是，
∴=3，
a=-1
∵的算术平方根是7，
∴=49，
b=64
ab=
．
【点睛】
本题考查的是立方根、平方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于a、b的方程，求出a、b的值是解答此题的关键．www-2-1-cnjy-com
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