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4.3 实数
【基础训练】
一、单选题
1．在下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．1.01001 D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义求解即可．
【详解】
解：A．是分数，属于有理数；
B．是无理数；
C．1.01001是有限小数，属于有理数；
D．＝3，是整数，属于有理数；
故选：B．
【点睛】
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数和有理数的意义是解题关键．
2．在﹣，0，﹣1，1这些数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
【答案】D
【分析】
先根据实数的大小比较法则比较大小，再求出答案即可．
【详解】
解：∵﹣﹣1＜0＜1，
∴最小的数是﹣，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
3．下列实数：，0，，﹣1.5，，2.161161116 ，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据无理数的意义，逐个数进行判断即可．
【详解】
解：无理数是无限不循环小数，整数和分数都是有理数，因此无理数有，，2.161161116
共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的定义；掌握好无理数的定义是本题的关键．
4．下列各数中无理数有（ ）
－1.732，，π，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据无理数的概念判断，一定 ( http: / / www.21cnjy.com )要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：，
无理数有：，，，3.212212221……，共有4个．
故答案为：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数，无理数就是无限不循环小数．
5．下列各数中最大的数是（ ）
A．5 B． C．π D．－8
【答案】A
【分析】
根据实数的大小比较即得结论．
【详解】
解：因为－8＜＜＜5，所以最大的数是5，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，可以利用正数大于0，0大于负数，正数大于负数等比较方法．
6．在下列各数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
根据无理数的概念判断即可．
【详解】
解：各选项中，0、、2是有理数，是无理数，
故选：C．
【点睛】
本题考查无理数的概念，理解无理数的概念，能区分有理数和无理数是解答的关键．
7．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
A、目前所学分数（不含无理数），是有理数，即可判断；
B、循环小数是有理数，即可判断；
C、整数是有理数，即可判断；
D、最简的二次根式是无理数，即可判断；
【详解】
A、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是循环小数，所以是有理数，故此选项不符合题意；
C、，3是整数，是有理数，故此选项不符合题意．
D、是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查数的实数的分类，重点理解有理数和无理数的本质区分；
8．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念 ( http: / / www.21cnjy.com )，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】
解：A、0.15是小数，属于有理数；
B、=3，属于有理数；
C、是无理数；
D、是分数，属于有理数；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21*cnjy*com
9．下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．0 D．3.1
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义解答即可．
【详解】
解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
10．在实数，，，中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数 ( http: / / www.21cnjy.com )．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．
【详解】
解：A．＝3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．= 3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
11．下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
根据无理数的估算方法即可求解．
【详解】
∵，，
∴4＜＜4.5
∴与最接近的整数是4
故选B．
【点睛】
此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质．
12．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C．2π D．1.343343334……
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数，依据定义即可判断.
【详解】
解：A、是无理数，故此选项不符合题意；
B、＝﹣3，﹣3是整数，是有理数，故此选项符合题意；
C、2π是无理数，故此选项不符合题意；
D、1.343343334……是无理数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如π，， 0.8080080008... (每两个8 之间依次多1个0)等形式.
13．下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【答案】D
【分析】
根据负数大小比较法则进行解答便可．
【详解】
解：∵ ， ，|﹣1|＝1，，
又∵，
∴，
∴最小的数是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则，是解题的关键．
14．下列各数，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据立方根、算术平方根计算，根据无理数的概念判断．
【详解】
解：A、0是有理数，故不符合；
B、是有理数，故不符合；
C、=-3，是有理数，故不符合；
D、是无理数，故符合；
故选D．
【点睛】
本题考查的是无理数的概念、掌握算术平方根、立方根的计算方法是解题的关键．
15．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．－2 D．
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选项．
【详解】
解：A．=2，是整数，属于有理数；
B．是无理数；
C．－2是整数，属于有理数；
D．是分数，属于有理数．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．【出处：21教育名师】
16．下列实数中是无理数的是（ ）
A．0.385 B． C． D．π
【答案】D
【分析】
无限不循环的小数是无理数，根据无理数的概念逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：， 都是有理数，是无理数，
故不符合题意，符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的概念是解题的关键．
17．下列实数是无理数的是（ ）
A．0.5 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
根据无理数的概念，即可得到答案．
【详解】
A. 0.5是有理数，不符合题意，
B. 是有理数，不符合题意，
C. 1是有理数，不符合题意，
D. 是无理数，符合题意，
故选D．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，关键是熟练掌握无理数的三种类型：①含π的数，②开方开不尽的数，③有规律的无限不循环小数．
18．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据无理数的定义“无限不循环小数，且不能写作两整数之比”逐项判断即可．
【详解】
A．0是整数，为有理数，故A不符合题意．
B．是无限循环小数，为有理数，故B不符合题意．
C．是整数，为有理数，故C不符合题意．
D．是无限不循环小数，为无理数，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查无理数的定义，掌握无理数与有理数的含义是解题的关键．
19．估算的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间
C．在6和7之间 D．在7和8之间
【答案】B
【分析】
根据无理数的估算即可得．
【详解】
解：，
，即，
，即，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
20．下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数
B．无限小数都是无理数
C．只有0的立方根是它本身
D．1的任何次方根都是1
【答案】A
【分析】
根据实数的概念，立方根的概念，无理数的概念逐个求解即可．
【详解】
解：选项A：实数分为有理数和无理数，故选项A正确；
选项B：无限不循环的小数是无理数，无限循环小数可以写成分数的形式，是有理数，故选项B错误；
选项C：立方根等于它本身的数有-1，0，1，故选项C错误；
选项D：1的平方根为±1，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基本概念．
21．如图，，，是正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于，，大小关系的正确判断是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理分别求解，，的值，再比较大小即可求解．
【详解】
解：由题意得，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，利用网格求解，，的值是解题的关键．
22．下列说法正确的是（ ）
A．9的算术平方根是﹣3 B．带根号的数是无理数
C．无理数是无限小数 D．的算术平方根是 2
【答案】C
【分析】
根据算术平方根的概念、无理数的概念进行判断即可．
【详解】
解：A、9的算术平方根是3，故此选项错误；
B、带根号的数不一定是无理数，如，故此选项错误；
C、无理数是无限小数，故此选项正确；
D、的算术平方根是，故此选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查算术平方根、无理数，理解无理数的概念，会求一个数的算术平方根是解答的关键，注意D选项是易错点．
23．若，且为整数，则的值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
估计的大小范围，进而确定m的值．
【详解】
解：，
∵，
∴，
又∵，
∴m=5，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，理解介在哪两个整数之间是正确求解的关键．
24．如图，若实数，则数轴上表示的点应落在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
【答案】A
【分析】
先估算的大小，再计算的取值范围，据此解题．
【详解】
解：
在线段上
故选：A．
【点睛】
本题考查估算无理数的大小、数轴等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数． ( http: / / www.21cnjy.com )理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A、3.14159是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、＝3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2·1·c·n·j·y
26．估算的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【分析】
先估算出的大小，进而即可估算出的大小．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数大小的估算，能估算出的大小是解题关键．
27．已知是整数，则能使取最小值的是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据题意估计的值即可判断．
【详解】
∵＞，=2.5
∴2.5＞
∴最接近的整数为2
∴要使取最小
∴取整数2
故选C．
【点睛】
此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知绝对值与无理数的估算方法．
28．实数介于（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
【答案】A
【分析】
根据可估算出的范围．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键．
29．如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【分析】
先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题．
【详解】
解：∵12.25＜14＜16，
∴3.5＜＜4，
∴在数轴上表示实数的点可能是点P．
故选：C．
【点睛】
本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
30．给出下列命题：（1）有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等；（2）的整数部分是3，小数部分是；（3）平方根等于本身的数是0、1；（4）等腰三角形两条边的长度分别为1和3，则它的周长为5或7．其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】
（1）有两条边对应相等的两个直角三角形可用SAS与HL判定正确性；（2）由，可得，利用无理数估值即可判断；（3）利用平方根定义即可判断；（4）利用三角形三边关系即可判断．
【详解】
解: （1）有两条边对应相等的两个直角三角形如图①AC=DF,BC=EF,∠C=∠F=90°∴△ACB≌△DFE(SAS)
②AB=DE,AC=DF, ∠C=∠F=90°, ∴△ACB≌△DFE(HL)
③AB=DE,BC=EF, ∠C=∠F=90°, ∴△ACB≌△DFE(HL)
有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等命题正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）∵，∴，的整数部分是3，小数部分是命题正确；
（3）02=0,0的平方根是0； ，1的平方根是，∴平方根等于本身的数是0、1不正确；
（4）等腰三角形两条边的长度分别为1和3，当1为腰时，1+1，不能够成三角形，
当3为腰时，3+3+1=7，则它的周长为5或7不正确．
其中真命题的个数由2个．
故选择：C．
【点睛】
本题考查直角三角形判定，无理数 ( http: / / www.21cnjy.com )小数部分与整数部分，平方根，三角形三边关系，掌握直角三角形判定，无理数小数部分与整数部分，平方根，三角形三边关系是解题关键．
二、填空题
31．若、是两个连续的整数，且，则______．
【答案】9
【分析】
根据无理数的估算方法求出的值，由此即可得．
【详解】
解：，
，即，
是两个连续的整数，且，
，
，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
32．①点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为____，
②数轴上到 的点距离为的点所表示的数是___．
【答案】 0或
【分析】
①根据实数与数轴的关系建立等式，再化简绝对值即可得；
②根据实数与数轴、数轴两点间的距离公式即可得．
【详解】
解：①设点表示的实数为，
则，
解得，
即点表示的实数为，
故答案为：；
②设这个点所表示的数是，
则，
解得或，
即这个点所表示的数是0或，
故答案为：0或．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，正确建立含绝对值的等式是解题关键．
33．写出一个比大且比小的整数________.
【答案】2或3．
【分析】
先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，即可得出答案．
【详解】
∵，，
∴比大且比小的整数是2或3，
故答案为：2或3．
【点睛】
本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．www.21-cn-jy.com
34．比较大小：_________1（填“”“”或“”）
【答案】＜
【分析】
比较分子分母的大小，即可得到它与1的关系．
【详解】
解：∵5＜9，
∴＜3，
∴＜1，
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．【来源：21cnj*y.co*m】
35．定义：用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，．按此定义，计算________．
【答案】3
【分析】
先估算出的大小，然后求得的范围，最后依据定义求解即可．
【详解】
解：∵16＜19＜25，
∴4＜＜5．
∴3＜＜4．
∴．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查的是定义新运算、估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键．
三、解答题
36．计算：（1）
（2）
（3）
【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】
（1）先分别化简各项，再作加减法；
（2）先将分母和分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分计算；
（3）先计算括号内的，同时将分母和分子因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，再合并即可．
【详解】
解：（1）
=
=1；
（2）
=
=；
（3）
=
=
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
37．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】
（1）根据负整指数幂、零指数幂以及有理数的乘方的法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式展开，再合并同类项即可
【详解】
解：（1）原式．
（2）原式．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
38．计算：．
【答案】1
【分析】
先算立方根，乘方以及绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】
原式=
=1
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握立方根，乘方以及绝对值，是解题的关键．
39．计算：．
【答案】-2
【分析】
根据零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂和算术平方根的定义计算即可．
【详解】
原式=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、正整数指数幂和算术平方根等运算法则是关键．
40．计算：．
【答案】0
【分析】
根据实数的运算法则先逐项化简，再合并求解即可．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则并对平方根或立方根进行化简是解题关键．
41．计算：．
【答案】
【分析】
先算算术平方根，立方根以及绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】
原式=
=．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握求绝对值的法则，算术平方根和立方根的意义，是解题的关键．
42．计算
（1）；
（2）．
（3）
（4）
【答案】（1）-3 （2） （3） （4）24ab
【分析】
（1）原式先计算乘方、立方、立方根，再计算乘法，最后从左向右依次计算即可；
（2）根据题意，幂的运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再按顺序计算乘除，即可完成计算；21cnjy.com
（3）原式利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（4）解答本题，只需要把与看作一个整体，然后再运用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
【详解】
（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
；
（3）原式，
；
（4）原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、幂的 ( http: / / www.21cnjy.com )运算、多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、平方差公式等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识并注意运算顺序．21·cn·jy·com
43．计算：．
【答案】4．
【分析】
先根据二次根式、绝对值的性质以及零指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并求解即可．
【详解】
原式
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相应的运算法则并准确变形计算是解题关键．
44．计算：﹣22+﹣﹣|﹣2|．
【答案】7﹣
【分析】
先根据乘方法则、平方根、立方根、绝对值分别化简再计算即可．
【详解】
解：原式＝﹣4+6+3﹣（﹣2）,
＝﹣4+6+3﹣+2，
＝7﹣．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据乘方、平方根、立方根、绝对值进行化简．
45．计算：．
【答案】
【分析】
根据去绝对值法则，平方根，立方根，以及整数指数幂计算即可．
【详解】
解:原式=-(-3)+1-4，
=+3+1-4，
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算,熟记运算法则是解本题的关键．
46．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）96；（2）
【分析】
（1）原式利用负整指数幂、零指数幂法则、积的乘方逆运算计算即可求值；
（2）原式利用多项式乘多项式的法则进行计算，去括号合并得到最简结果．
【详解】
（1）原式，
，
；
（2）原式，
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算、整式的乘法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
47．计算与求值：
（1） ．
（2）求x的值：4 x2﹣25=0．
【答案】（1）5；（2）
【分析】
（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义和零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）移项整理后，直接利用平方根的定义计算得出答案．
【详解】
（1）
；
（2），
整理得：，
则．
【点睛】
本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根以及零指数次幂，正确化简各数是解题的关键．
48．计算：
【答案】
【分析】
分别化简各项，再作加减法．
【详解】
解：
=
=
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
49．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：当时，求的值
（3）因式分解
【答案】（1）；（2）；4；（3）
【分析】
(1)按照实数的混合运算性质计算即可，
(2)根据|x-2|+ (y+1) 2=0可以求出的x、 y的值，然后将题目中所求式子化简，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.21教育网
(3)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式进行二次因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：(1)原式=1+（-1)-2，
=-2，
(2)原式=[(9x2-4y2)+(4y2-6xy+2xy 3x2)]÷4x ，
=(6x2-4xy)÷4x ，
=x y ；
∵|x 2|+(y+1)2=0，
∴x 2=0，y+1=0，
解得：x=2，y=-1，
将x=2，y=-1代入上式得：
原式=×2-(-1)=4，
(3)原式=(x4+2×4x2+42) 16x2
=(x4+8x2+16) 16x2
=x4-8x2+16，
=(x2-4)2
=(x+2)2(x 2)2，
【点睛】
本题考查了实数的混合运算性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，整式的化简求值、非负数的性质，用提公因式法和公式法进行因式分解，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法，利用非负数的性质解答，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止. 21·世纪*教育网
50．计算：．
【答案】
【分析】
先算开方和绝对值，然后算加减．
【详解】
解：原式．
【点睛】
本题考查立方根、算术平方根、绝对值等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
51．计算．
（1）
（2）若，，求．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】
（1）带分数先化为假分数、小数化为分数，再根据算术平方根、立方根的定义解题；
（2）根据同底数幂相除法则解得，再由幂的乘方得到，最后利用整体代入法计算即可解题．
【详解】
解：（1）
；
（2），
．
【点睛】
本题考查实数的运算、幂的乘方，涉及算术平方根、立方根、同底数幂相除等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．www-2-1-cnjy-com
52．已知的算术平方根是，是的整数部分，求的值．
【答案】11
【分析】
直接利用算术平方根的定义得出的值，再利用估算无理数的方法得出的值，进而将值代入得到答案．
【详解】
∵的算术平方根是，
∴，
解得：，
∵是的整数部分，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出，的值是解题的关键．
53．已知不等式：，
（1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来；
（2）试判断x=是否为此不等式的解．
【答案】（1）x数轴表示见解析；（2）x=不是这个不等式的解．
【分析】
（1）解一元一次不等式的一般步骤有：去分 ( http: / / www.21cnjy.com )母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等，注意负号的作用；在数轴上表示解集时，注意找准点，找准方向，区别实心点与空心点；21*cnjy*com
（2）估算的值，再与比较大小，即可解题．
【详解】
（1）解：去分母：
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
原不等式的解集为：，
表示在数轴上为：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）不是此不等式的解，理由如下:
，
不等式的解集为，
不是此不等式的解．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集、不等式的解、估算无理数的大小等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【版权所有：21教育】
54．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）－1；（2），．
【分析】
（1）化简二次根式、绝对值，乘方：注意运算顺序和运算法则；
（2）先将小括号内的项通分化简，再根据分式除法法则解题，结合完全平方公式、平方差公式因式分解、化简，最后代入数值解题即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）
；
（2）
当时，
原式
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2-1-c-n-j-y
55．（1）计算：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）3；（2）x（x+4）（x-4）
【分析】
（1）首先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，然后再计算乘法，最后加减法求出算式的值即可．
（2）所求代数式中含有公因数x，可先提取公因数，然后再运用平方差公式分解因式．
【详解】
解：（1）原式=，
=3；
（2）原式= ，
=．
【点睛】
本题考查了实数的运算，提公因式法，公式法分解 ( http: / / www.21cnjy.com )因式，解题的关键是注意运算顺序，先算乘方、负整指数幂，零次幂，再算乘除，最后算加减．提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解彻底．
56．计算与求解
（1）计算：
（2）求式中的值：
【答案】（1）0；（2）或
【分析】
（1）根据开方的运算法则、零指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据平方根的定义求解即可．
【详解】
解：（1）原式；
（2）由题意得：，
∴或，
解得：或．
【点睛】
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根及立方根．
57．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）5；（2）；（3）．
【分析】
（1）先将除法转化为乘法运算，再利用乘法分配律及二次根式的乘法法则解题；
（2）利用乘法的分配律解题；
（3）任何非零数的零次幂结果为1，，据此解题．
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算、其中涉及零指数幂与负整指数幂等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21世纪教育网版权所有
58．（1）计算：
（2）计算：
【答案】（1）9；（2）
【分析】
（1）先算算术平方根，立方根以及平方运算，再算加减法，即可求解；
（2）先算单项式乘多项式，再合并同类项，即可求解．
【详解】
（1）解：原式
=
；
（2）解：原式
．
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算以及整式的混合运算，掌握算术平方根，立方根以及单项式乘多项式，再合并同类项法则，是解题的关键．
59．已知：的立方根是，的算术平方根3，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；（2）其平方根为．
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出的值；
（2）将（1）题求出的值代入，求出值之后再求出平方根．
【详解】
解：（1）由题得．
．
又，
．
．
．
（2）当时，
．
∴其平方根为．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．
60．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
【答案】（1）4，5，验证见解析；（2）
【分析】
（1）观察不难发现，被减数放到根号 ( http: / / www.21cnjy.com )外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照题目提供的信息进行验证．
【详解】
（1）4，
验证：4，
5
验证：5；
（2）n．
【点睛】
本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．
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4.3 实数
【基础训练】
一、单选题
1．在下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．1.01001 D．
2．在﹣，0，﹣1，1这些数中最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣
3．下列实数：，0，，﹣1.5，，2.161161116 ，其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各数中无理数有（ ）
－1.732，，π，，3.212212221……（每两个1之间2的个数一次加1），3.14，，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．5个
5．下列各数中最大的数是（ ）
A．5 B． C．π D．－8
6．在下列各数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．2
7．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列四个实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．0 D．3.1
10．在实数，，，中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
11．下列整数中，与最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C．2π D．1.343343334……
13．下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
14．下列各数，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
15．下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A． B． C．－2 D．
16．下列实数中是无理数的是（ ）
A．0.385 B． C． D．π
17．下列实数是无理数的是（ ）
A．0.5 B． C．1 D．
18．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
19．估算的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间
C．在6和7之间 D．在7和8之间
20．下列说法正确的是（ ）
A．实数可分为有理数和无理数
B．无限小数都是无理数
C．只有0的立方根是它本身
D．1的任何次方根都是1
21．如图，，，是正方形网格中的3条线段，它们端点都在格点上，则关于，，大小关系的正确判断是（ ）．21世纪教育网版权所有
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A． B． C． D．
22．下列说法正确的是（ ）
A．9的算术平方根是﹣3 B．带根号的数是无理数
C．无理数是无限小数 D．的算术平方根是 2
23．若，且为整数，则的值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
24．如图，若实数，则数轴上表示的点应落在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
25．下列实数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
26．估算的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
27．已知是整数，则能使取最小值的是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
28．实数介于（ ）
A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间
29．如图所示，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
30．给出下列命题：（1）有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等；（2）的整数部分是3，小数部分是；（3）平方根等于本身的数是0、1；（4）等腰三角形两条边的长度分别为1和3，则它的周长为5或7．其中真命题的个数为（ ）21教育网
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
31．若、是两个连续的整数，且，则______．
32．①点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为____，
②数轴上到 的点距离为的点所表示的数是___．
33．写出一个比大且比小的整数________.
34．比较大小：_________1（填“”“”或“”）
35．定义：用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，．按此定义，计算________．
三、解答题
36．计算：（1）
（2）
（3）
37．计算：
（1）；
（2）．
38．计算：．
39．计算：．
40．计算：．
41．计算：．
42．计算
（1）；
（2）．
（3）
（4）
43．计算：．
44．计算：﹣22+﹣﹣|﹣2|．
45．计算：．
46．计算：
（1）；
（2）
47．计算与求值：
（1） ．
（2）求x的值：4 x2﹣25=0．
48．计算：
49．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：当时，求的值
（3）因式分解
50．计算：．
51．计算．
（1）
（2）若，，求．
52．已知的算术平方根是，是的整数部分，求的值．
53．已知不等式：，
（1）解此不等式并把解集在数轴上表示出来；
（2）试判断x=是否为此不等式的解．
54．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
55．（1）计算：；
（2）因式分解：．
56．计算与求解
（1）计算：
（2）求式中的值：
57．计算：
（1）
（2）
（3）
58．（1）计算：
（2）计算：
59．已知：的立方根是，的算术平方根3，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
60．观察与猜想：
2
3
（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算（n为正整数）等于什么？
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