中小学教育资源及组卷应用平台
4.3 实数
【提升训练】
一、单选题
1．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴，，
∴，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和有理数的计算，解题关键是理解非负数的性质，求出字母的值．
2．已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先估算出的取值范围，利用“夹逼法”求得a、b的值，然后代入求值即可．
【详解】
解：∵16＜18＜25，
∴4＜＜5．
∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，
∴a=4，b=5，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小要用逼近法是解答此题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A．是有理数 B．5的平方根是
C．2＜＜3 D．数轴上不存在表示的点
【答案】C
【分析】
根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．
【详解】
解：A、是无理数，故A错误；
B、5的平方根是，故B错误；
C、＜＜，∴2＜＜3，故C正确；
D、数轴上存在表示的点，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的意义、实数与数轴的关系利用被开方数越大算术平方根越大是解题关键．
4．在下列数中，是无理数的是（ ）
A．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3） B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A. 2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）是无理数，符合题意；
B. 是有限小数，不是无理数，不符合题意；
C. 是分数，不是无理数，不符合题意；
D. ，是整数，不是无理数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题关键是熟记无理数是无限不循环小数．
5．如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A对应的数字为a，则下列说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a>-2.3 B．a<-2.3 C．a=-2.3 D．无法判断
【答案】A
【分析】
先利用勾股定理求出长方形对角线OB的长，即为OA的长，然后根据在原点的左边求出数轴上的点所对应的实数为，再根据判断出即可得答案．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图，连接OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
长方形对角线的长OB，
，
点在原点的左边，
点所对应的实数为，
又∵，
∴，
∴，即．
故选A．
【点睛】
本题考查实数与数轴上的点的对应关系，勾股定理、比较无理数大小，求出是解题的关键．
6．与 最接近的整数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【分析】
直接得出，进而得出最接近的整数．
【详解】
解：∵ ，
∴
∵
∴与无理数最接近的整数是8．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键．
7．实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据实数分类、无理数的性质，对各个实数逐个分析，即可得到答案．
【详解】
实数，，，，，中，无理数为：、、，共3个；
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了实数分类的知识；解题的关键是熟练掌握实数分类、无理数的性质，从而完成求解．
8．在-1.4141，，，，，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：-1.4141是有限小数，不是无理数；
是无理数；
是无理数；
是无理数；
=2，不是无理数；
3.14是有限小数，不是无理数；
所以，无理数有3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，解题关键是知道无理数是无限不循环小数，常见的有和开不尽方的算术平方根．
9．一个边长为bcm的正方形的面积与一个长为8cm、宽为5cm的长方形的面积相等，则b的值在（ ）
A．3与4之间 B．4与5之间
C．5与6之间 D．6与7之间
【答案】D
【分析】
由于边长为bcm的正方形的面 ( http: / / www.21cnjy.com )积与长、宽分别为8cm、5cm的长方形的面积相等，根据面积公式列出等量关系式，由此求出b的值，再估计b在哪两个整数之间即可解决问题．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：∵边长为bcm的正方形的面积与长、宽分别为8cm、5cm的长方形的面积相等，
∴b2=5×8=40，
b=，
∵36＜40＜49，
∴6＜＜7．
故选：D．【来源：21cnj*y.co*m】
【点睛】
本题考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
10．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据无理数的概念即可判断．
【详解】
解：=-3，
无理数有：， ，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)，共有3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键是熟练掌握无理数的概念．
11．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
【详解】
符合无理数定义的有： ，
故选：A．
【点睛】
此题考查无理数定义，熟记定义是解题的关键．
12．估算的值，它的整数部分是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先求出的范围，再两边都乘以-1，最后两边都加上6，即可求出它的整数部分．
【详解】
解：，
，
，
位于3和4之间，它的整数部分是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，主要考查学生的计算能力，属于基础题，能够确定带根号无理数的范围是解题的关键．www.21-cn-jy.com
13．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．的平方根是3 B．是无理数
C．1的立方根是1 D．全等三角形的周长相等
【答案】C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A、的平方根是3的逆命题是：3是的平方根，是假命题；
B、是无理数的逆命题是：无理数是，是假命题；
C、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断及 ( http: / / www.21cnjy.com )互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．21*cnjy*com
14．一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
【答案】A
【分析】
估算的值即可．
【详解】
解：∵正方体的水晶砖，体积为，
∴它的棱长是，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了立方根的估算，找到两个连续整数的立方，一个大于80，一个小于80是解题关键．
15．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：
f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…
g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…
利用上述规律计算：+结果为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【分析】
根据题意知“f”表示的运算是比原数小1， “g”表示的运算是原数的相反数，由此化简原式进行实数计算即可．
【详解】
解：∵f（0）＝-1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，
∴f（2012）＝2012﹣1＝2011，f（13）＝13﹣1＝12，
∵g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3，
∴g（2012）＝﹣2012，
∴+
＝1++|﹣2|
＝1+2+2﹣
＝3+，
故选：C．
【点睛】
此题考查新定义运算，实数的混合运算，掌握计算公式的规律，正确化简原式，熟记零指数幂定义，绝对值的性质是解题的关键．
16．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据夹逼法逐项判断即得答案．
【详解】
解：A、，，故本选项不符合题意；
B、∵，，故本选项符合题意；
C、，，故本选项不符合题意；
D、，，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，属于常考题型，掌握夹逼法解答的方法是关键．
17．的值在( )
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．5与6之间
【答案】C
【分析】
估算出的范围，即可得出结果．
【详解】
解：，
，
故选：．
【点睛】
本题考查无理数的估算，掌握几个非负整数的算术平方根的大小比较方法是解决问题的关键．
18．在实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无线不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．
【详解】
解：，，
无理数有：π，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是无理数的知识，掌握无理数的形式是解题的关键．
19．如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则可以是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．-2 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：由题意可得：a+|-2|=
则a+2=3，
解得：a=1，
故a可以是．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．，，，，，，（相邻两个之间依次多一个）中，无理数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】
解：，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数，所以共有3个无理数，
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．21*cnjy*com
21．若将实数，，，这四个数分别表示在数轴上，则其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据算术平方根的概念分别估算各个实数的大小，根据题意判断．
【详解】
＜0，
2＜＜3，
3＜＜4，
3＜＜4，
∴可能被如图所示的墨迹覆盖的数是，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是实数和数轴，算术平方根，正确估算算术平方根的大小是解题的关键．
22．估算在（ ）
A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间
【答案】D
【分析】
直接得出接近的有理数，进而得出答案．
【详解】
∵＜ ＜，
∴8＜＜9，
∴在8与9之间．
故选D．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题的关键．
23．估计 的立方根的大小在 ( )
A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间
【答案】B
【分析】
应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解．
【详解】
∵33=27,43=64，
∴3<<4.
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是估计无理数的大小，解题的关键是熟练的掌握估计无理数的大小.
24．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【详解】
解：由36＜38＜49，即可得6＜＜7，
故选C．
25．在实数：3.141 59，，1.010 010 001, , ，π，，中，无理数有( )
A．4个 B．1个 C．3个 D．2个
【答案】D
【解析】
π，是无理数，故选D.
26．估算的值（ ）
A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在4和5之间 D．在7和8之间
【答案】B
【分析】
利用36＜38＜49得到6＜＜7，从而可对进行估算．
【详解】
解：∵36＜38＜49，
∴6＜＜7，
∴5＜＜6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．估计的值在两个整数（ ）
A．2与3之间 B．5与6之间 C．3与4之间 D．3与10之间
【答案】C
【分析】
直接利用估算无理数的大小的方法得出答案．估算13介于哪两个整数的平方之间，的值就在哪两个整数之间．21教育网
【详解】
13在和之间，所以在3和4之间．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题关键．
28．如图，在数轴上，点O对 ( http: / / www.21cnjy.com )应数字O，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【解析】
分析：计算出的长度，进行估算即可.
详解：
即
故选B.
点睛：考查了无理数的估算以及数轴上的点和实数之间的对应关系，夹逼法是估算的一般方法，也是常见的方法.
29．对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，．则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得的值即可．
【详解】
解：P1（1，-1）=（0，2），P2（1，-1）=（2，-2）
P3（1，-1）=（0，4），P4（1，-1）=（4，-4）
P5（1，-1）=（0，8），P6（1，-1）=（8，-8）
…
当n为奇数时，Pn（1，-1）=（0，），
∴应该等于．
故选C．
【点睛】
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．
30．对于任意的正数m、n定义运算※为：m n=，计算(3 2)＋(8 12)的结果为( )
A．+ B．2 C． D．-
【答案】C
【分析】
先利用新定义得到原式=，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【详解】
解：（3 2）+（8 12）=
=
=．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【版权所有：21教育】
二、填空题
31．与最接近的整数是___．
【答案】1
【分析】
先根据无理数的估算可得，再比较与的大小，由此即可得出答案．
【详解】
解：，
，即，
，
，
，
，
，
最接近的整数是4，
最接近的整数是，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
32．一个四位整数（千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为），若满足，那么，我们称这个四位整数为“类等和数”．
例如：3122是一个“4类等和数”，因为：；
5417不是一个“类等和数”，因为：，，．
（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．
（2）若一个四位整数是“类等和数”，且满足，求满足条件的所有“类等和数”的个数，并把它们写出来．
【答案】1203； 8080；
（2） 满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．
【分析】
(1)根据题意即可得到结论；(2) 根据 ，可得b+d=6或16，再分情况写出即可．
【详解】
（1）三类等和数为a+b=c+d=3，当a= 1、b=2、c=0、d= 3时符合三类等和数，且最小．故最小的三类等和数为1203．
当a=8、b=0、c= 8、d= 0时符合8类等和数，且最大，故最大的8类等和数为8080．
故答案为：①1203； ②8080．
(2) ∵ab+cd=46 (a， c≠0)，只有当ab=cd=23时，
∴b+d=6或16，
∴b=0， d=6 (不合题意)
b=1， d=5 (不合题意)；
b=2，d=4，a=3，c=1即3214；
b=3， d=3，a=2，c=2即2323；
b=4， d=2 ，a=1，c=3即1432；
b=5，d=1 (不合题意)；
b=6，d=0 (不合题意)；
b=7，d=9 (不合题意)；
b=8，d=8 (不合题意)；
b=9，d=7 (不合题意)；
综上所述，满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323， 1432．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“k类等和数”是解题的关键．
33．用“>”或“<”填空：______
【答案】>
【分析】
根据实数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】
解：∵，
∴3<<4，
∴4<+1<5，
∵，
∴>，
故答案为：>．
【点睛】
本题考查了实数大小的比较．解题的关键是掌握实数大小的比较方法．
34．比较大小：______3．（填“”、“”或“”号）
【答案】
【分析】
估算的大小，与3比较即可．
【详解】
解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
则<3，
故答案为：<．
【点睛】
本题考查了实数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
35．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____．2·1·c·n·j·y
【答案】②③
【分析】
根据有理数、无理数、实数的意义逐项进行判断即可．
【详解】
解：①开方开不尽的数是无理数，但是有的数不开方也是无理数，如：π，等，因此①不正确，不符合题意；
②满足﹣＜x＜的x的整数有﹣1，0，1，2共4个，因此②正确，符合题意；
③﹣3是9的一个平方根，而＝9，因此③正确，符合题意；
④π就是无理数，不带根号的数也不一定是有理数，因此④不正确，不符合题意；
⑤无限循环小数，是有理数，因此⑤不正确，不符合题意；
⑥若a＜0，则＝|a|＝﹣a，因此⑥不正确，不符合题意；
因此正确的结论只有②③，
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查无理数、有理数、实数的意义，理解和掌握实数的意义是正确判断的前提．
三、解答题
36．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】．
【分析】
根据两个正方形的面积可求出两个正方形的边长，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算即可得答案．
【详解】
大正方形的边长==2，小正方形的边长=，
阴影部分的面积=（2+）×2-4-2
=2﹣2．
【点睛】
本题考查实数的运算，正确求出两个正方形的边长并熟练掌握实数运算法则是解题关键．
37．计算下列各题：
（1），
（2），
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；
（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；
（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．
【详解】
解：（1）原式，
，
；
（2）原式，
，
；
（3）原式，
，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．
38．观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
【答案】（1）；（答案不唯一），证明见解析；（2），证明见解析
【分析】
（1）直接仿照题干写出两个等式即可；
（2）利用规律写出不等式并验证即可．
【详解】
（1）答案不唯一，如：；
证明：；
（2）
证明：
【点睛】
本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．
39．计算或化简：
（1）
（2）1﹣÷
【答案】（1）5；（2）．
【分析】
（1）根据，代入计算即可；
（2）先变除法为乘法，后因式分解，约分，通分计算即可．
【详解】
（1）
=-2-1+8
=5；
（2）1﹣÷
=1﹣×
=1-
=
=．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，分式的混合化简，熟练掌握运算的基本顺序，化简的基本技巧是解题的关键．
40．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）-2x2+2xy；（2）
【分析】
（1）先利用完全平方公式、多项式乘多项式运算法则展开化简，再合并同类项计算即可；
（2）分别进行负整数指数幂运算、有理数的乘方运算、零指数幂运算、绝对值运算即可求解．
【详解】
解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算、实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式、负整数指数幂、零指数幂、绝对值性质等知识点，熟记公式，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．
41．计算并观察下列各式：
（1）；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．
（ ）；
（3）利用该规律计算
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）直接根据前2个式子即可得出答案；
（2）根据规律直接可得出答案；
（3）首先通过对所求的变形，先乘以，再乘以，从而利用规律解题即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）解：根据此规律，得
．
【点睛】
本题主要考查平方差公式的扩展迁移，找出规律是解题的关键．
42．计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2020；
（2）|﹣2|﹣﹣．
【答案】（1）0；（2）2﹣
【分析】
（1）直接利用算术平方根以及立方根、有理数的乘方运算法则分别计算得出答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根、绝对值的性质分别计算得出答案．
【详解】
解：（1）原式＝5﹣4﹣1＝0；
（2）原式＝2﹣﹣3﹣（﹣3）
＝2﹣．
【点睛】
本题考查了乘方、平方根、算术平方根、绝对值的性质，解题的关键是正确的进行化简．
43．计算
（1）÷(+)；
（2）
【答案】（1）；（2）1-
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（2）分别根据零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简、负整数指数幂求出各项，再进行加减运算即可．
【详解】
解：(1)原式
=
(2)原式
=1-．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数混合运算法则，且牢记零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简、负整数指数幂的运算．21世纪教育网版权所有
44．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根和立方根的运算法则进行计算即可；
（2）按照整式混合运算顺序和法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根和整式的运算，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算．
45．计算：．
【答案】
【分析】
先利用零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值的性质分别化简，再依次相加减即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算．主要考查 ( http: / / www.21cnjy.com )零指数幂、负整数指数幂、立方根和绝对值的性质，掌握相关概念是解题关键．注意化简绝对值后最后先带上括号，以免出错．21cnjy.com
46．计算：．
【答案】-2
【分析】
根据零指数幂、负指数幂和绝对值的性质计算即可；
【详解】
解：原式；
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．
47．计算：
（1）|3﹣|﹣；
（2）（2﹣）0+（﹣）﹣2﹣．
【答案】（1）；（2） 1．
【分析】
（1）直接根据绝对值和算术平方根的性质分别化简即可得出答案；
（2）直接根据0指数幂，负整数指数幂，立方根的性质分别化简即可得出答案．
【详解】
解：（1）|3﹣|﹣=；
（2）（2﹣）0+（﹣）﹣2﹣=1+4-4=1．
【点睛】
本题考查了实数的运算，0指数幂，负整数指数幂等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
48．（1）计算：＋（）﹣2＋|2﹣|﹣；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据立方根、负整数指数幂、绝对值化简可以解答本题；
（2）根据解二元一次方程组的加减法可以解答本题．
【详解】
解：（1）＋（）﹣2＋|2﹣|﹣
＝﹣3＋4＋2﹣﹣3
＝﹣；
（2），
①×2＋②×3，得
7x＝42，
解得x＝6，
将x＝6代入①，得
y＝2，
故原方程组的解是．
【点睛】
（1）此题主要考查了实数的四则混合运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握两种常用的方法：代入法和消元法．
49．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据立方根，绝对值，零指数幂分别计算，然后在相加减即可
（2）先变形得，再利用立方根的定义得到，解方程即可
【详解】
（1）原式
（2）
则
故
解得
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，以及立方根解方程，掌握立方根的定义，零指数幂的性质是解题关键．
50．计算：
（1） ．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先去绝对值号，去根号，再进行合并同类项，加减运算；
（2）先进行单项式和多项式的乘除运算，再进行加减运算 ．
【详解】
解：（1）原式=
．
（2）原式=
．
【点睛】
这道题考查的是实数的运算法则和整式的乘除法．熟练掌握整式和实数的运算法则是解题的关键．
51．（1）计算：﹣+|﹣4|+；
（2）求x的值：2﹣10＝6．
【答案】（1）6-；（2）x=2．
【分析】
（1）根据实数的混合运算的基本顺序依次计算即可；
（2）根据立方根的定义求解即可．
【详解】
（1）原式= -1+4-+3=6-；
（2）∵2﹣10＝6，
∴2=16，
∴=8，
∴x=2．
【点睛】
本台考查了实数的混合运算和立方根的定义，熟练掌握混合运算的基本顺序和立方根的定义是解题的关键．
52．（1）计算:
①；
②(2＋3)(2 -3)．
（2）解方程:
①4(x-1)2-9 =0；
②8x3＋125=0．
【答案】（1）①；②；（2）或； ②．
【分析】
（1）①先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；
②根据平方差公式计算即可；
（2）①将方程移项，再整理为的的形式，再根据平方根定义求解即可；
②将方程移项，再整理为根据立方根定义求解即可；
【详解】
解：（1）解：①原式
．
②原式
．
（2）解：①原方程可化为
则或，
解得，或．
②原方程可化为，
解得，．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根及实数的运算，主要考查学生的运算能力，题目比较好，解题关键是理解平方根、立方根的意义．【来源：21·世纪·教育·网】
53．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．21教育名师原创作品
复数的加 减 乘的运算与我们学过的整式加 减 乘的运算类似．
例如计算：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：______，_________；
（2）计算：；
（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）根据，则i3=i2 i，i4=i2 i2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算；
（3）分子分母同乘以后，把分母化为不含i的数后计算．
【详解】
解：（1）∵，∴，．
故答案为：；
（2）；
（3）．
【点睛】
本题考查了实数的运算，以及完全平方公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
54．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】
由平方差公式和完全平方公式进行化简，然后把，代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式；
当，时，
原式．
【点睛】
本题考查了实数的运算法则，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
55．计算：
【答案】1
【分析】
根据绝对值的性质，零次幂、算术平方根、负整数指数幂的运算法则进行计算，即可得出结果．
【详解】
解：
．
【点睛】
此题考查了实数的混合运算，掌握实数运算中相关的运算法则并能准确应用法则进行计算是解题的关键．
56．（1）计算：
（2）如图，四边形ABCD中，AB//DC，DB平分，．求证：是等边三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）-2；（2）见解析
【分析】
（1）实数的混合运算，先根据立方根和算术平方根以及有理数的乘方分别化简，然后再计算；
（2）根据平行线的性质得出∠ADC=120°，利用角平分线的定义得出∠ADB=60°，进而利用等边三角形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=-2
（2）证明：∵AB∥DC，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠ADC=60°=∠A，
∴△ADB是等边三角形．
【点睛】
本题考查实数的混合运算以及等边三角形的判定，掌握求一个数的立方根和算术平方根的概念以及等边三角形的判定方法，正确推理计算是解题关键．2-1-c-n-j-y
57．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）同时计算乘方、绝对值、算术平方根及开立方，再计算加减法；
（2）用多项式除以单项式法则计算；
（3）先根据多项式乘以多项式及完全平方公式计算，再合并同类项即可．
【详解】
（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：原式
．
【点睛】
此题考查实数的混合运算及整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，掌握实数的乘方、绝对值、算术平方根及开立方、加减法运算，整式的多项式乘以多项式及完全平方公式、多项式除以单项式法则是解题的关键．
58．（1）求的值：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）5．
【分析】
（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）先计算算术平方根、立方根和平方，再计算加减即可．
【详解】
解：（1）
x=
；
（2）
=4-2+3
=5．
【点睛】
此题主要考查了求一个数的平方根及实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根的定义以及算术平方根、立方根和平方性质．
59．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为，所以2347叫做进步数．
（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．【出处：21教育名师】
【答案】（1）8888；（2）1134 ．
【分析】
（1）根据进步数的定义分别求出四位正整数中的最大“进步数”与最小“进步数”即可得解；
（2）根据进步数的定义可以 ( http: / / www.21cnjy.com )推得所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个，再根据这个四位正整数能被7整除逐一对4个数进行验证可以得解 ．
【详解】
解：（1）由进步数的定义可知四位正整数中最大的“进步数”应该是9999，
又最高位不能为0，所以四位正整数中的千位最小为0，所以四位正整数中最小的“进步数”应该是1111，
∴9999-1111=8888，
∴四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差为8888；
（2）由已知可得所求数的千位为1，十位为1-4中的某个数字，
∴所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个，
∵这个四位正整数能被7整除，
∴由1114=159×7+1，1124=160×7+4，1134=162×7，1144=163×7+3可知所求数为1134 ．
【点睛】
本题考查新定义下的实数规律探索，由材料归纳出新定义并应用于具体问题求解是解题关键．
60．对数运算是高中常用的一种重要运算， ( http: / / www.21cnjy.com )它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M N）＝logaM＋logaN．
（1）解方程：logx4＝2；
（2）求值：log48；
（3）计算：（lg2）2＋lg2 1g5＋1g5﹣2018
【答案】（1）x=2；（2）；（3）-2017
【分析】
(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解 ( http: / / www.21cnjy.com )即可；
(Ⅱ)根据对数的定义求解即可；
(Ⅲ)根据loga(M N)=logaM+logaN求解即可．
【详解】
解：(I)解：∵logx4=2，
∴x2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
（II）解法一：log48＝log4（4×2）＝log44＋log42＝1＋＝；
解法二：设log48＝x，则＝8，
∴＝，
∴2x＝3，
x＝，
即log48＝；
(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2 1g5+1g5﹣2018
= lg2 ( lg2+1g5) +1g5﹣2018
= lg2 +1g5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则．
61．阅读下列材料，并回答问题：
我们把单位“”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：
；，
，．
（1）由此可推测 ；
（2）请用简便方法计算：；
（3）请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）；
（4）仔细观察下面的式子，并用（3）中的规律计算：
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0
【分析】
（1）因为56=7×8，所以根据题中规律；
（2）根据题意把每个单位分数变成两个单位分数的差，再对其进行加减运算；
（3）根据上面规律可以写出拆分一个单位分数的规律：；
（4）根据（3）中的规律把每个分数单位拆分成两个分数单位的差再计算即可得到解答 ．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）
（4）
=
=0
【点睛】
本题考查与实数运算相关的规律题，通过观察与归纳总结出运算规律是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
4.3 实数
【提升训练】
一、单选题
1．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为两个连续的整数，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．是有理数 B．5的平方根是
C．2＜＜3 D．数轴上不存在表示的点
4．在下列数中，是无理数的是（ ）
A．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3） B．
C． D．
5．如图，在数轴上作长、 ( http: / / www.21cnjy.com )宽分别为2和1的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A对应的数字为a，则下列说法正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a>-2.3 B．a<-2.3 C．a=-2.3 D．无法判断
6．与 最接近的整数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．实数，，，，，中，无理数的个数是（ ）个．
A． B． C． D．
8．在-1.4141，，，，，3.14这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．一个边长为bcm的正方形的面积与一个长为8cm、宽为5cm的长方形的面积相等，则b的值在（ ）
A．3与4之间 B．4与5之间
C．5与6之间 D．6与7之间
10．下列实数，，3.14159，，，-0.1010010001……．(每两个1之间依次多1个0)中无理数有( )21教育网
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．估算的值，它的整数部分是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．的平方根是3 B．是无理数
C．1的立方根是1 D．全等三角形的周长相等
14．一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（ ）
A．之间 B．之间 C．之间 D．之间
15．若规定符号“f”、“g”表示不同的两种运算．它对实数运算结果如下：
f（0）＝﹣1，f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，…
g（0）＝0，g（1）＝﹣1，g（2）＝﹣2，g（3）＝﹣3…
利用上述规律计算：+结果为（ ）
A．1 B． C． D．0
16．下列各数中，介于6和7之间的数是（ ）
A． B． C． D．
17．的值在( )
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．5与6之间
18．在实数，，，，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则可以是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．-2 B． C．0 D．
20．，，，，，，（相邻两个之间依次多一个）中，无理数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
21．若将实数，，，这四个数分别表示在数轴上，则其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）．21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
22．估算在（ ）
A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间
23．估计 的立方根的大小在 ( )
A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间
24．估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
26．估算的值（ ）
A．在6和7之间 B．在5和6之间 C．在4和5之间 D．在7和8之间
27．估计的值在两个整数（ ）
A．2与3之间 B．5与6之间 C．3与4之间 D．3与10之间
28．如图，在数轴上，点O对应数字O ( http: / / www.21cnjy.com )，点A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=4，连接OB，绕点O顺时针旋转OB，使点B落在数轴上的点C处，则点C所表示的数介于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
29．对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，，．则=（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
30．对于任意的正数m、n定义运算※为：m n=，计算(3 2)＋(8 12)的结果为( )
A．+ B．2 C． D．-
二、填空题
31．与最接近的整数是___．
32．一个四位整数（千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为），若满足，那么，我们称这个四位整数为“类等和数”．【来源：21·世纪·教育·网】
例如：3122是一个“4类等和数”，因为：；
5417不是一个“类等和数”，因为：，，．
（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．
（2）若一个四位整数是“类等和数”，且满足，求满足条件的所有“类等和数”的个数，并把它们写出来．2-1-c-n-j-y
33．用“>”或“<”填空：______
34．比较大小：______3．（填“”、“”或“”号）
35．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜的x的整数有4个；③﹣3是的一个平方根；④不带根号的数都是有理数；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a，都有＝a．其中正确的序号是_____．21*cnjy*com
三、解答题
36．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
37．计算下列各题：
（1），
（2），
（3）．
38．观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
39．计算或化简：
（1）
（2）1﹣÷
40．（1）计算：；
（2）计算：．
41．计算并观察下列各式：
（1）；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．
（ ）；
（3）利用该规律计算
42．计算：
（1）﹣﹣（﹣1）2020；
（2）|﹣2|﹣﹣．
43．计算
（1）÷(+)；
（2）
44．计算：
（1）；
（2）．
45．计算：．
46．计算：．
47．计算：
（1）|3﹣|﹣；
（2）（2﹣）0+（﹣）﹣2﹣．
48．（1）计算：＋（）﹣2＋|2﹣|﹣；
（2）解方程组：．
49．（1）计算：；
（2）解方程：．
50．计算：
（1） ．
（2）．
51．（1）计算：﹣+|﹣4|+；
（2）求x的值：2﹣10＝6．
52．（1）计算:
①；
②(2＋3)(2 -3)．
（2）解方程:
①4(x-1)2-9 =0；
②8x3＋125=0．
53．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．21cnjy.com
复数的加 减 乘的运算与我们学过的整式加 减 乘的运算类似．
例如计算：．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：______，_________；
（2）计算：；
（3）将化为（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．
54．先化简，再求值：，其中，．
55．计算：
56．（1）计算：
（2）如图，四边形ABCD中，AB//DC，DB平分，．求证：是等边三角形．
( http: / / www.21cnjy.com / )
57．计算：
（1）
（2）
（3）
58．（1）求的值：
（2）计算：
59．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为，所以2347叫做进步数．
（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．21·cn·jy·com
60．对数运算是高中常用的一种重 ( http: / / www.21cnjy.com )要运算，它的定义为：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga（M N）＝logaM＋logaN．2·1·c·n·j·y
（1）解方程：logx4＝2；
（2）求值：log48；
（3）计算：（lg2）2＋lg2 1g5＋1g5﹣2018
61．阅读下列材料，并回答问题：
我们把单位“”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：21·世纪*教育网
；，
，．
（1）由此可推测 ；
（2）请用简便方法计算：；
（3）请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母的等式表示出来（表示正整数）；
（4）仔细观察下面的式子，并用（3）中的规律计算：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
