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6.4 用一次函数解决问题
【提升训练】
一、单选题
1．某公司为了激发员工工作的积极性，规定员工每天的薪金如下：生产的产品不超过件，则每件元，超过件，超过的部分每件元．下图是一名员工一天获得的薪金（元）与其生产的产品件数之间的函数关系图像，则下列结论错误的是（ ）
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A．
B．
C．若该员工一天获得的薪金是元，则其当天生产了件产品
D．若该员工一天生产了件产品，则其当天获得的薪金是元
2．甲乙两人开车同时从地出发，以各自的速度匀速向地行驶，甲先到地并停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，与乙相遇后两人停止．设甲乙两人相距的距离为（单位：），乙行驶的时间为（单位：），与之间的对应关系如图所示．已知乙的速度为，则下列结论中，不正确的是（ ）
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A．、两地相距
B．点的坐标为
C．甲去时的速度为
D．甲返回的速度是
3．2021年6月，第二十三届重庆国际汽车展览会在悦来国博中心举行，自行车骑行爱好者小明和小花两人相约沿着同一条线路从新牌坊出发前往悦来国博中心观看车展．小明和小花分别以不同的速度匀速骑行，小花比小明早出发10分钟，小花出发15分钟之后，小明以原速度的三倍继续骑行，经过一段时间后，小明先到达悦来国博中心，小花一直保持原速前往国博中心．在此过程中，小明和小花两人相距的路程（单位：米）与小花骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则以下结论正确的有几个（ ）
①小明原来的速度为100米每分钟；②两人相遇的时候小花一共骑行了40分钟；③整个过程中两人相距最远3000米；④小花比小明晚到18分钟．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C、D分别为线段、的中点，点M为上一动点，当值最小时点M的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
5．如图，一天早上8点， ( http: / / www.21cnjy.com )小明和爸爸一起开车去看望距他家60千米的爷爷、奶奶．他们离开家的距离S（千米）与汽车行驶的时间t（分）之间的关系如图所示．已知汽车在途中停车加了一次油．根据图象中提供的信息，下列描述不正确的是（ ）
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A．加油用了10分钟
B．他们在8点55分到达爷爷家
C．若OA//BC，则加油后汽车的速度是80千米/时
D．若加油后的速度是90千米/时，则a的值是25
6．2021年4月18日，重庆市第一中学校举行建校90周年庆祝大会，新老校友齐聚一堂，共话母校数十载发展变化，表达对母校的感激之情．小乔与小王是重庆一中的同班校友，相约前往一中参加活动．他们同时从家里出发前往一中正门（一中正门恰好在小乔家与小王家之间，且三个地点在同一直线上），小王先到达一中正门后原地等待小乔，两人会和时小乔发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家，取完手机（寻找手机的时间忽略不计）小乔立即调头以相同速度前往一中正门，直至与小王会和小乔和小王之间的距离（米）与小乔从家出发的时间（分钟）之间的函数关系图可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、、、分别是、的中点，点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
8．在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程 ( http: / / www.21cnjy.com )y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①前半小时甲选手的速度为8千米/时；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④甲选手的速度一直比乙慢．其中正确的说法有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在A、两地之间有汽车站（在直线上），甲车由地驶往站，乙车由地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶；甲、乙两车离站的距离，（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论：①A、两地相距360千米；②甲车速度比乙车速度快15千米/时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇；其中正确的结论有（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知直线与直线平行，且直线l经过第二，三、四象限，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．一列动车从甲地开往乙地， ( http: / / www.21cnjy.com )一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．甲、乙两地相距1000千米
B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇
C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时
D．动车的速度是250千米/小时
12．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的是（ ）21cnjy.com
①若通话时间少于120分，则A方案便宜
②若通话时间超过200分，则B方案便宜
③若通讯费用为50元，则A方案的通话时间多
④若超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
13．甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④其中说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
14．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
15．如图，若弹簧的总长度y（cm）是关于所挂重物x（kg）的一次函数y＝kx+b，则不挂重物时，弹簧的长度是（ ）
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A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm
16．如图，在平面直角坐标系中，已知、、过、两点作直线，连接，下列结论正确的有（ ）
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A．直线解析式： B．点在直线上
C．线段长为 D．
17．一蓄水池中有水，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系：
放水时间/分 1 2 3 4 …
水池中水量/ 48 46 44 42 …
下列说法不正确的是（ ）
A．蓄水池每分钟放水
B．放水18分钟后，水池中水量为
C．蓄水池一共可以放水25分钟
D．放水12分钟后，水池中水量为
18．已知整数a使得不等式组的解集为x＞﹣4，且使得一次函数y＝（a+7）x+3的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（ ）【版权所有：21教育】
A．﹣22 B．﹣18 C．﹣15 D．﹣11
19．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx+b的图象可能是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
20．甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系，下列结论：
①甲、乙两地相距千米；②点的实际意义是两车出发后小时相遇；
③动车的速度是千米/小时；④，．
则结论一定正确的个数是（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
21．2020年12月22日8时38 ( http: / / www.21cnjy.com )分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城、“黄梅戏”故乡安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（ ）
①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；
②普通列车到达终点站共需2h；
③普通列车的平均速度为88km/h；
④动车的平均速度为250km/h．
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22．小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学 ( http: / / www.21cnjy.com )校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明己经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（ ）
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A．a＝15
B．小明的速度是150米/分钟
C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟
D．爸爸出发7分钟追上小明
23．甲、乙两车分别从地出发匀速行驶到地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（ ）
①两地相距；
②乙车比甲车晚出发1小时，却比甲车早到1小时；
③乙车出发后4小时时追上甲车；
④甲，乙两车相距时，或4.5．
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A．1 B．2 C．3 D．4
24．已知两地相距240千米．早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
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A．甲车的速度是60千米/小时 B．乙车的速度是90千米/小时
C．甲车与乙车在早上10点相遇 D．乙车在到达A地
25．如图，A、M、N三点坐标分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为A（0，1），M（3，4），N（5，6），动点P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若点M、N分别位于l的异侧，则t的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
26．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线与直线，若两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，已知在平面直角坐标系中．以(为圆心，适当长为半径作圆弧，与轴交于点，与轴交于点再分别以为圆心．大于长为半径作圆弧，两条圆弧在第四象限交于点．以下四组与的对应值中，能够使得点在射线上的是（ ）
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A．和 B．和 C．和 D．和
28．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
29．甲，乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行．乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶．设甲车行驶的时间为x(h)， 甲，乙两车到B地的距离分别为y1(km)， y2(km)， y1， y2关于x的函数图象如图．下列结论：①甲车的速度是km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距a km时，甲车行驶了h．正确的是( )
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
30．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点，点，过点作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
31．如图，正方形，，，…按其所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，则点的横坐标是______．
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32．点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________．
33．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，点的坐标为点为的中点，的垂直平分线交轴于点，交于点，点为线段上的一动点，当的周长最小时，点的坐标为______．
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34．小李和小王分别从相距2570米的A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B两驿站出发向对方所在的驿站配送包裹，相向而行，已知小李先出发5分钟后，小王才出发，他们两人在A、B驿站之间的某地相遇，相遇后，小李发现自己有需配送的包裹遗留在A驿站，于是立即返回拿取（反应时间忽略不计）小王继续向A驿站前行．小李和小王到达A驿站均停止行走，在整个行走过程中，小李小王两人均保持各自的速度匀速行走，两人相距的路程y（米）与小李出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则小王到达A驿站时，小李与A驿站相距的路程是___米．
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35．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的腰长为2，直角顶点A在直线，且斜边轴，当在直线l上移动时，的中点，写出n关于m的关系式为_________．
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三、解答题
36．一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A（，0），B（0，1），以AB为边在第一象限内做等边△ABC．
（1）线段AB的长是 ，∠BAO＝ °，点C的坐标是 ；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在y轴上存在点M，使△MAB为等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
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37．某文具商店计划用不超过元的资金购买书包和计算器共个，已知书包和计算器的进价与售价如表．设购买书包个（其中），购买书包的费用为元，购买计算器的费用为元．
每件商品 进价（元） 售价（元）
书包
计算器
（1）当时，________，________；
（2）求最多能购买多少个书包；
（3）设售出这批书包和计算器共盈利元，求与之间的函数关系式；文具店购进多少个书包时，才能获得最大利润？最大利润是多少？21*cnjy*com
38．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，已知点，，，直线：（）．
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（1）求直线的解析式；
（2）若直线经过点．
①当时，求的值；
②若直线与线段有交点，直接写出的取值范围．
39．在平面直角坐标系中，直线经过和两点．
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（1）求直线的表达式；
（2）如果横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线和直线关于轴对称，过点作垂直于轴的直线与和的区域为“”（不包含边界）．
①当时，求区域“”内整点的个数；
②如果区域“”内恰好有个整点，直接写出的取值范围．
40．已知一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
（）分别求，的值；
（）点为轴上一动点，如果的面积是，请求出点的坐标．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N．21教育名师原创作品
①当n＝3时，求△PMN的面积；
②若2＜S△PMN＜6，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
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42．为让学生们进一步了解历史，传承和弘扬 ( http: / / www.21cnjy.com )红岩精神，某校决定开展“渣滓洞、白公馆、红岩村、歌乐山烈士林园”游学活动．该校八年级共有师生550人，经研究决定，租用当地租车公司共12辆A、B两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校的有关两种型号客车的载客量和租车信息：
型号 载客量 租金单价
A 50 900元/辆
B 40 800元/辆
注：载客量是指每辆客车最多可载师生的人数．
若学校租A型车x辆，且租车公司最多能提供10辆A型车，根据上述信息，回答下列问题：
（1）求出x的取值范围；
（2）如果总的租车费用为y元，请写出y与x之间的函数表达式，并求出最省钱的租车方案．
43．学校计划在总费用28 ( http: / / www.21cnjy.com )00元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表：21·世纪*教育网
标准型 舒适性
载客量（单位：人/辆） 40 28
租金（单位：元/辆） 500 350
（1）求一共需租多少辆客车？说明理由；
（2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金．
44．某商店销售、两种型号的打印机，销售台型和台型打印机的利润和为元，销售台型和台型打印机的利润和为元．
（1）求每台型和型打印机的销售利润；
（2）商店计划购进、两种型号的打印机共台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将型打印机的出厂价下调元（），但限定商店最多购进型打印机台，且、两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这台打印机总利润最大的进货方案．
45．某校足球队计划从商 ( http: / / www.21cnjy.com )家购进A、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用．现计划购进两种品牌的足球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍．
（1）求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？
（2）设购买A种足球m个（m≥1），购买两种品牌足球的总费用为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最低总费用．
46．甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地________千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时的值．
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47．随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示．
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（1）非节假日门票定价是 元/人；
（2）当时，与之间的函数关系式_
（3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？
48．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，设是上一点，若将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处．求：www.21-cn-jy.com
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（1）点的坐标；
（2）直线所对应的函数关系式．
49．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，并且与轴以及的图象分别交于点，．
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（1）若点的横坐标为，求，；
（2）在第（1）问的条件下，求四边形的面积；
（3）若点始终在第一象限，直接写出系数的取值范围．
50．甲、乙两车从城出发沿一条笔直公路匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．
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（1）分别写出甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式；
（2）什么时间两车相距？
（3）若两车相距不超过千米时可以通过无线电相互通话，直接写出两车都在行驶的过程中可以通过无线电通话时t的取值范围．
51．周末，天气晴朗，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．小明从家出发小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家小时分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，小明离家后小时到达乙地．如图是他们离家的路程（千米）与小明离家时间（小时）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑自行车速度的倍．
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（1）小明骑自行车的速度为________千米小时，小明在甲地游玩的时间为________小时；
（2）乙地距离小明家有________千米；
（3）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
52．下面图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上．张强从家出发匀速跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中表示张强离开家的时间，表示张强离家的距离．
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请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
张强离开家的时间
张强离家的距离
（2）填空：
①张强从家出发到体育场的速度为 ；
②张强在体育场运动的时间为 ；
③张强从体育场到早餐店的速度为 ；
④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为 ；
（3）当时，请直接写出关于的函数解析式．
53．如图一，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．21世纪教育网版权所有
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（1）求直线的解析式；
（2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交轴于点，当，求出，两点的坐标；21教育网
（3）将直线：向左平移12个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴．点在直线上，写出以点，，，为顶点且为腰的等腰三角形，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．2-1-c-n-j-y
54．直线与轴、轴交于两点，在轴的负半轴上，且；
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（1）求的解析式；
（2）在的延长线上任取一点，作，交直线于，试探究与的数量关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，作于，证明．
55．越野赛跑中，当小明跑了9千米时，小强跑了5千米，此后两人匀速跑的路程（千米）和时间（小时）的关系如图所示，则由图上的信息可知的值为多少？21*cnjy*com
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56．“六一”儿童节前夕，某超市用540元购进了甲种玩具30件，乙种玩具40件，且每件甲玩具要比乙玩具进货单价少3元．
（1）求每件甲、乙玩具的进货单价分别是多少元？
（2）由于节日玩具畅销，该超市决定再次购进 ( http: / / www.21cnjy.com )这两种玩具共100件，其中甲玩具的数量不多于乙玩具数量的2倍，且每种玩具的进货单价保持不变；若甲玩具售价为每件10元，乙玩具售价为每件12元，试问第二批购进甲玩具多少件时，第二批玩具全部卖完后获得的利润最大？最大利润是多少？
57．在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的，两个仓库．已知甲库有粮食吨，乙库有粮食吨，而库的容量为吨，库的容量为吨．
（1）填空：
若从甲库运往库粮食吨，
①从甲库运往库粮食________吨；
②从乙库运往库粮食________吨；
③从乙库运往库粮食________吨；
（2）填空：
若从甲库运往库粮食吨，
①从甲库运往库粮食________吨；
②从乙库运往库粮食________吨；
③从乙库运往库粮食________吨；
（3）从甲、乙两库到，两库的路程和运费如表：（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送千米所需人民币）
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库
库
写出将甲、乙两库粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式．并求出当从甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？21·cn·jy·com
58．在2021“五五购物节” ( http: / / www.21cnjy.com )中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中，甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
59．学校与图书馆在同一条笔直道路上，小 ( http: / / www.21cnjy.com )明从学校去图书馆，小红从图书馆回学校，两人都匀速步行且同时出发，小红先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据图象信息填空，当______分钟，两人相遇，小明的速度为______米/分钟；
（2）求出线段所表示的函数表达式．
（3）当t为何值时，两人相距1000米？
60．平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
（1）求，的值；
（2）直线与直线，分别交于M，N两点，当MN＝3时，若以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
61．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，.若，求的值．
62．某种机器工作前先将空油箱加满（加油过程），然后停止加油立即开始工作（加工过程）．当停止工作时，油箱中油量为10升．在整个过程中，油箱里的油量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）机器加油过程中每分钟加油量为______升，机器加工过程中每分钟耗油量为______升；
（2）求机器加工过程中关于的函数解析式；
（3）当油箱中油量为油箱容积的一半时，直接写出此时的值．
63．、两城相距600千米，甲、乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回，如图是它们离城的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求甲车行驶过程中与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）点为线段与交点，若乙车8小时到达城，求的坐标，并解释的实际意义．
64．某水果店以每千克元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价元销售，全部售完．销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
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（1）降价前苹果的销售单价是________元千克；
（2）求降价后销售金额（元）与销售量（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？
65．今年初，很多商场由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，产品销售情况不如人意．有甲、乙两家商场利用网络平台进行销售．其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的金额打折(为到之间的整数)．设顾客所购商品原来金额为元，在甲、乙两家商场实际支付金额分别为元和元．
（1）顾客在乙商场购物时， 与之间函数图像如图所示(图中线段和射线)，求当时，与之间函数解析式；
（2）当时，甲、乙两个商场中，去哪家商场购物更省钱？
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6.4 用一次函数解决问题
【提升训练】
一、单选题
1．某公司为了激发员工工作的积极性，规定员工每天的薪金如下：生产的产品不超过件，则每件元，超过件，超过的部分每件元．下图是一名员工一天获得的薪金（元）与其生产的产品件数之间的函数关系图像，则下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．
C．若该员工一天获得的薪金是元，则其当天生产了件产品
D．若该员工一天生产了件产品，则其当天获得的薪金是元
【答案】D
【分析】
根据题意和函数图象可以求得m ( http: / / www.21cnjy.com )、n的值，从而可以判断选项A和B是否正确，根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意和图象可得，
m＝60÷3＝20，故选项A正确，
n＝（140 60）÷（40 20）＝80÷20＝4，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：20＋(180 60)÷4＝20＋30＝50，故选项C正确，
若工人乙一天生产46（件），他获得的薪金为：60＋（46 20）×4＝164（元），故选项D错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．甲乙两人开车同时从地出发，以各自的速度匀速向地行驶，甲先到地并停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，与乙相遇后两人停止．设甲乙两人相距的距离为（单位：），乙行驶的时间为（单位：），与之间的对应关系如图所示．已知乙的速度为，则下列结论中，不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．、两地相距
B．点的坐标为
C．甲去时的速度为
D．甲返回的速度是
【答案】C
【分析】
首先根据题意解方程得出甲车 ( http: / / www.21cnjy.com )去时的速度，然后根据题意求得A、B两地的距离即可判断A、C的正误；根据两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数关系及乙车的速度为每小时60千米可得出D的坐标即可判断B的正误；根据题意列出方程，通过解方程得出甲车返回的速度即可判断D的正误．
【详解】
解：设甲去时的速度为xkm/h，根据题意得：2（x-60）=185，
解得：x=152.5，
由于152.5×2=305，
故A、B两地相距305千米；所以选项A正确，选项C不正确；
∵甲车先到达B地，停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，
∴D的横轴应为2.5；
∵乙车的速度为每小时60千米，
∴半小时后行驶距离为30km，故纵轴应为185-30=155；
∴点D的坐标（2.5，155）；所以选项B正确；
∵甲车去时的速度为152千米/时；设甲车返回时行驶速度v千米/时，
∴（v+60）×1=155，
解得v=95．
故甲返回的速度是95千米/时．所以选项D正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用．
3．2021年6月，第二十三届重庆国际汽车展览会在悦来国博中心举行，自行车骑行爱好者小明和小花两人相约沿着同一条线路从新牌坊出发前往悦来国博中心观看车展．小明和小花分别以不同的速度匀速骑行，小花比小明早出发10分钟，小花出发15分钟之后，小明以原速度的三倍继续骑行，经过一段时间后，小明先到达悦来国博中心，小花一直保持原速前往国博中心．在此过程中，小明和小花两人相距的路程（单位：米）与小花骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示，则以下结论正确的有几个（ ）
①小明原来的速度为100米每分钟；②两人相遇的时候小花一共骑行了40分钟；③整个过程中两人相距最远3000米；④小花比小明晚到18分钟．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据函数图象先求出小花的速度及小明原 ( http: / / www.21cnjy.com )来的速度，再求出D点横坐标，再求出E点的纵坐标，此时小明已到达悦来国博中心，再求出小花到达的时间，故可判断．
【详解】
∵10分钟小花骑行了2000米
故小花的速度为2000÷10=200米每分钟，
设小明原来的速度为x米每分钟，根据15分钟时，小明和小花两人相距2500可得方程：200×5-5x=500
解得x=100
∴小明原来的速度为100米每分钟，①正确；
∵小花出发15分钟之后，小明以原速度的三倍继续骑行，
∴小明的速度为300米每分钟，
D点表示两人相遇，设横坐标为a
则（300-200）a=2500
解得a=25
故此时小花一共骑行了15+25=40（分钟），②正确；
由图可知E点表示两人相距最远，两人相距（76-40）×（300-200）=3600（米），③错误；
此时小明已到达悦来国博中心，
∴小花还需用时3600÷200=18分钟才到悦来国博中心
故小花比小明晚到18分钟，④正确；
故选C．
【点睛】
此题主要考查一次函数与路程，解题的关键是根据函数图象得到信息，从而列式求解．
4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C、D分别为线段、的中点，点M为上一动点，当值最小时点M的坐标为（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得点的坐标，作点关于x轴的对称点，当三点共线时，最小，求得所在直线的解析式，从而求得点M的坐标【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：由题意可知、
则，
作点D关于x轴的对称点E，则，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由此可知：
∴当三点共线时，最小
设所在的直线为，将、代入得
，解得
令，解得，即
故选C．
【点睛】
此题主要考查了函数图像中动点最值问题，为“将军饮马”模型，熟练掌握函数的有关性质以及“将军饮马”模型是解题的关键．
5．如图，一天早上8点，小明和爸爸 ( http: / / www.21cnjy.com )一起开车去看望距他家60千米的爷爷、奶奶．他们离开家的距离S（千米）与汽车行驶的时间t（分）之间的关系如图所示．已知汽车在途中停车加了一次油．根据图象中提供的信息，下列描述不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．加油用了10分钟
B．他们在8点55分到达爷爷家
C．若OA//BC，则加油后汽车的速度是80千米/时
D．若加油后的速度是90千米/时，则a的值是25
【答案】D
【分析】
根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．
【详解】
解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项不合题意；
B、他们在8点55分到达爷爷家，说法正确，故本选项不合题意；
C、因为OA//BC，所以，解得a＝，所以加满油以后的速度＝千米/小时，说法正确，故本选项不合题意；
D、由题意：，解得a＝30，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．
6．2021年4月18日，重庆市第一中学校举行建校90周年庆祝大会，新老校友齐聚一堂，共话母校数十载发展变化，表达对母校的感激之情．小乔与小王是重庆一中的同班校友，相约前往一中参加活动．他们同时从家里出发前往一中正门（一中正门恰好在小乔家与小王家之间，且三个地点在同一直线上），小王先到达一中正门后原地等待小乔，两人会和时小乔发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家，取完手机（寻找手机的时间忽略不计）小乔立即调头以相同速度前往一中正门，直至与小王会和小乔和小王之间的距离（米）与小乔从家出发的时间（分钟）之间的函数关系图可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
根据A图像只有一去行程、等待时间、 ( http: / / www.21cnjy.com )一返行程，没再去过程可判断A，根据B图像两者距离先快增反向行程折点一人停，再慢增最大，再快减到0，相遇反映路程方向与题意相反可判断B，根据C图像两者距离先快减至0相遇，慢增一人返回到家，慢减至0相遇，缺等的时间可判断C，根据图像先快减折点表示等待，慢减0折点表示相遇，慢增返回折点到家，再慢减到0再次相遇可判断D．
【详解】
解：A图像反映小王离家的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )与时间的图像从家出发匀速行驶到一中正门，等待小乔，再返回家的过程，不是反应两者之间的距离的图像故选项A不符合题意；
B图像是两者之间距离从0出发的距离与时间图像 ( http: / / www.21cnjy.com )，反映小王与小乔在一中正门会合后各自返回家中离一中近的小乔先到家，离一中远的小王后到家达到两者之间最大距离，然后小王与小乔去一中，故选择B不符合题意；
C图像反映小王与小乔之间距离与时间函数图像， ( http: / / www.21cnjy.com )小王与小乔同时在一中正门会合小王发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家，取完手机（寻找手机的时间忽略不计）小王立即调头以相同速度前往一中正门，没有等待时间，故选择C不符合题意；
D图像反映小王与小乔之间距离与时间函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )像，距离快减反映小王与小乔都往一中正门走，折点表示小王到一中正门，慢减到0等到小乔，在一中正门会合时小乔发现手机遗忘在家里，于是立即以原来的速度返回家两者距离慢增，取完手机（寻找手机的时间忽略不计）小王立即调头以相同速度前往一中正门，距离慢减到0相遇，故选择D符合题意．
故选择D．
【点睛】
本题考查行程问题中两者之间的距离与时间函数关系图像，分析路程与时间关系，弄清折点的含义是解题关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、、、分别是、的中点，点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作点N关于y轴对称点N′，求直线分别与轴、轴交于点A（-2，0），B（0，4），根据MN∥OB，点M（-1，2），点N关于y轴对称点N′，点N′（1，0），当点M，点P，点N′共线时的值最小，N′M直线解析式为，可求点P（0，1）．
【详解】
解：作点N关于y轴对称点N′，连结ON，OM，
直线分别与轴、轴交于点A、，
当x=0，y=4，B（0，4），当y=0，，解得，A（-2，0），
∵∠AOB=90°，点M为AB中点，
∴OM=AM=BM，
点N为OA中点，OA=2，ON=AN=1，点N（-1，0），
∴MN⊥AO，
∴MN∥OB，
∴点M的横坐标为-1，
∵点M在直线上，
∴y=-2+4=2，
∴点M（-1，2），
∵点N关于y轴对称点N′，
∴ON′=ON=1，PN=PN′，
∴点N′（1，0），
当点M，点P，点N′共线时的值最小，
设N′M直线解析式为，代入坐标得，
，
解得，
∴N′M直线解析式为，
当x=0时，y=1，
∴点P（0，1）．
故选择C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查直线与两轴交点坐标， ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，两点之间线段最短，待定系数法求直线解析式，掌握直线与两轴交点坐标，直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，两点之间线段最短，待定系数法求直线解析式，利用直线与y轴相交，求点P坐标是解题关键．
8．在全民健身越野赛中， ( http: / / www.21cnjy.com )甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①前半小时甲选手的速度为8千米/时；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④甲选手的速度一直比乙慢．其中正确的说法有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
前半小时甲选手的速度为：8÷0.5＝16（千米/小时），故①错误；
第1小时两人都跑了10千米，故②正确；
甲比乙晚到达终点，故③错误；
甲选手前0.5小时的速度比乙选手快，0.5小时以后的速度小于乙选手的速度，故④错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．在A、两地之间有汽车站（在直线上），甲车由地驶往站，乙车由地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶；甲、乙两车离站的距离，（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论：①A、两地相距360千米；②甲车速度比乙车速度快15千米/时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇；其中正确的结论有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可；
【详解】
解：A、B两地相距＝360+80＝440（千米），故①错误，
甲车的平均速度＝＝60（千米/小时），乙车的平均速度＝＝40千米/小时，60-40=20（千米/小时）故②错误，
乙车的平均速度＝＝40千米/小时，440÷40＝11（小时），乙车行驶11小时后到达A地，故③正确，
设t小时相遇，则有：（60+40）t＝440，
t＝4.4（小时），
∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数图象的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
10．已知直线与直线平行，且直线l经过第二，三、四象限，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用一次函数图象与系数的关系进行判断．
【详解】
解：∵直线y=kx+k-b与y=-2 ( http: / / www.21cnjy.com )x+1平行，
∴k=-2，
∴直线为y=-2x-b-2
∵直线y=kx+k-b经过第二、三、四象限，
∴-b-2＜0．
∴b＞-2
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与 ( http: / / www.21cnjy.com )系数的关系：对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限．
11．一列动车从甲地开往乙地，一列 ( http: / / www.21cnjy.com )普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），若如图中的折线表示y与x之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．甲、乙两地相距1000千米
B．点B的实际意义是两车出发后3小时相遇
C．普通列车从乙地到达甲地时间是9小时
D．动车的速度是250千米/小时
【答案】C
【分析】
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
甲、乙两地相距1000千米，故选项A正确；
点B的实际意义是两车出发后3小时相遇，故选项B正确；
普通列车从乙地到达甲地时间是12小时，故选项C错误；
普通列出的速度为1000÷12＝（千米/小时），动车的速度为：1000÷3﹣＝250（千米/小时），故选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的是（ ）
①若通话时间少于120分，则A方案便宜
②若通话时间超过200分，则B方案便宜
③若通讯费用为50元，则A方案的通话时间多
④若超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】
根据图象知道：在通话170分钟收费一 ( http: / / www.21cnjy.com )样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确．
【详解】
解：①当0≤x≤120，yA=30，yB=50，所以A方案便宜，故① 中的结论正确；
②当x＞200时，方案A的图象在方案B的图象上方，所以方案B便宜，故②中的结论正确；
③当通讯费用为50元时，方案A的通讯时长为170分钟，方案B的通讯时长最长为200分钟，所以B方案的通话时间多,故③中的结论不正确；
④当x＞120，方案A平均每分钟加收费用为：（元/分钟）；
当x＞200，方案B平均每分钟加收费用为：（元/分钟）
所以，超出免费时长，两种方案通讯每分钟加收费用相同，故④中的结论正确，
因此正确的结论为①②④．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
13．甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车沿相同路线行驶．乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④其中说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】
根据乙追上甲的时间求出乙的速度可判断① ( http: / / www.21cnjy.com )，根据乙由相遇点到达B点所用时间可确定m的值，即可判断②，根据乙休息1h甲所行驶的路程可判断③，由乙返回时，甲乙相距80km，可求出两车相遇的时间即可判断④，
【详解】
解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B， ( http: / / www.21cnjy.com )用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160>150，②不正确；
当乙在B地停留1h时，甲前进80km，甲乙相距=160-80=80km，时间=6+1=7小时，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=7+0.4=7.4，④正确．
所以正确的有①③④，
故选D，
【点睛】
本题考查通过分段函数图像解决问题，根据题意明确图像中的信息是解题关键，
14．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【分析】
先求出一次函数y=kx+3与 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴交点关于直线x=1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y=2x+b与y轴交点关于直线x=1的对称点，代入一次函数y=kx+3，求出k的值即可．
【详解】
解：∵一次函数y=kx+3与y轴交点为（0，3），
∴点（0，3）关于直线x=1的对称点为（2，3），
代入直线y=2x+b，可得4+b=3，解得b=-1，
一次函数y=2x-1与y轴交点为（0，-1），
（0，-1）关于直线x=1的对称点为（2，-1），
代入直线y=kx+3，可得2k+3=-1，解得k=-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
15．如图，若弹簧的总长度y（cm）是关于所挂重物x（kg）的一次函数y＝kx+b，则不挂重物时，弹簧的长度是（ ）
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A．5cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】B
【分析】
利用待定系数法求解一次函数的关系式，再令x＝0计算即可求解不挂重物时弹簧的长度．
【详解】
解：将（4，10），（20，18）代入y＝kx+b，得
，
解得，
∴，
当x＝0时，y＝8，
∴不挂重物时，弹簧的长度是8cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，根据题意和图象求出函数解析式是解题关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知、、过、两点作直线，连接，下列结论正确的有（ ）21·cn·jy·com
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A．直线解析式： B．点在直线上
C．线段长为 D．
【答案】B
【分析】
根据待定系数法，求得直线解析式，即可判断A，把代入直线解析式，即可判断B，利用两点间的距离公式，即可求解BC的长，进而判断C，求出AC：BC=1:2，进而判断D．
【详解】
设直线解析式：y=kx+b，
把、代入得，解得：，
∴直线解析式：，故A错误；
∵当x=1，y=-2×1+6=4，
∴在直线上，故B正确；
∵=，故C错误；
∵AB=,
∴AC= AB-=，
∴AC：BC=1:2，
∴，故D错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查一次函数的待定系数法，两点间的距离公式，直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质，是解题的关键．21世纪教育网版权所有
17．一蓄水池中有水，打开排水阀门开始放水后水池的水量与放水时间有如下关系：
放水时间/分 1 2 3 4 …
水池中水量/ 48 46 44 42 …
下列说法不正确的是（ ）
A．蓄水池每分钟放水
B．放水18分钟后，水池中水量为
C．蓄水池一共可以放水25分钟
D．放水12分钟后，水池中水量为
【答案】D
【分析】
根据题意可得蓄水量为，从而进行判断即可；
【详解】
设蓄水量为y立方米，时间为t分，
则可得，
蓄水池每分钟放水，故A不符合题意；
放水18分钟后，水池中水量为，故B不符合题意；
蓄水池一共可以放水25分钟，故C不符合题意；
放水12分钟后，水池中水量为，故D符合题意；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了函数的表示方法，准确分析判断是解题的关键．
18．已知整数a使得不等式组的解集为x＞﹣4，且使得一次函数y＝（a+7）x+3的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（ ）21·世纪*教育网
A．﹣22 B．﹣18 C．﹣15 D．﹣11
【答案】C
【分析】
根据关于x不等式组的解集为得出a的取值范围，再由一次函数的图象不经过第四象限得出a取值范围，再找出其公共解集即可求解．
【详解】
解不等式组 ，得：，
∵不等式组的解集为，
∴．
∵一次函数图象不经过第四象限，
∴，即
综上，，
∵a为整数，
∴a可以为：-6，-5，-4．
∴满足条件的整数a的和为-6-5-4=-15．
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝2kx+b的图象可能是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
由图知，函数y＝kx＋b图象过点（0，1），即k＞0，b＝1，再根据一次函数的特点解答即可．
【详解】
解：∵由函数y＝kx＋b的图象可知，k＞0，b＝1，
∴y＝2kx＋b＝2kx＋1，2k＞0，
∴2k＞k，可见一次函数y＝2kx＋b图象与x轴的夹角，大于y＝kx＋b图象与x轴的夹角．
∴函数y＝2kx＋1的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角比y＝kx＋b与x轴的夹角大．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的图象与k与b的关系是解题的关键．
20．甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系，下列结论：
①甲、乙两地相距千米；②点的实际意义是两车出发后小时相遇；
③动车的速度是千米/小时；④，．
则结论一定正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可知，甲、乙两地相距1800千米，故①说法正确；
点B的实际意义是两车出发后4小时相遇，故②说法正确；
普通列车的速度为：1800÷12=150（km/h），
动车的速度为：1800÷4﹣150＝300（km/h），故③说法错误；
C点表示动车到达乙地，
1800÷300＝6（小时），
∴m＝6，n＝150×6＝900，
故④说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．2020年12月22日8时 ( http: / / www.21cnjy.com )38分，G8311次动车组列车从合肥南站始发，驶向沿江千年古城、“黄梅戏”故乡安庆．这标志着京港高铁合肥至安庆段正式开通运营．运行期间，一列动车匀速从合肥开往安庆，一列普通列车匀速从安庆开往合肥，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（ ）
①合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇；
②普通列车到达终点站共需2h；
③普通列车的平均速度为88km/h；
④动车的平均速度为250km/h．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，可以逐项判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：由图象可得，
合肥、安庆两地相距176km，两车出发后0.5h相遇，故①正确；
普通列车到达终点站共需2h，故②正确；
普通列车的平均速度为：176÷2＝88（km/h），故③正确；
动车的平均速度为：176÷0.5﹣88＝352﹣88＝264（km/h），故④错误．
故选：C
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，明确题意，读懂图像，利用数形结合思想是解题关键．
22．小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校 ( http: / / www.21cnjy.com )．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明己经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a＝15
B．小明的速度是150米/分钟
C．爸爸从家到商店的速度为200米/分钟
D．爸爸出发7分钟追上小明
【答案】D
【分析】
利用到商店时间+停留时间可确定A， ( http: / / www.21cnjy.com )利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B，利用设爸爸开始时车速为x米/分，列方程10x+5(x+60)=3300，解出可确定C，利用小明和爸爸行走路程一样，设 t分爸爸追上小明，列方程150（t+2）=200t，求解可知D．
【详解】
解：A．a＝10+5=15，故A正确，不合题意；
B．小明的速度为3300÷22=150米/分，故B正确，不合题意；
C．设爸爸开始时车速为x米 ( http: / / www.21cnjy.com )/分，10x+5(x+60)=3300，解得x=200米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意；
D．设t分爸爸追上小明，150（t+2）=200t，t=6，故爸爸出发7分钟追上小明不正确，
故选择：D．
【点睛】
本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键．
23．甲、乙两车分别从地出发匀速行驶到地，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（ ）
①两地相距；
②乙车比甲车晚出发1小时，却比甲车早到1小时；
③乙车出发后4小时时追上甲车；
④甲，乙两车相距时，或4.5．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
观察图象可判断A、B，由图 ( http: / / www.21cnjy.com )象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断C，分四种情况讨论，求得t，可判断④，继而解题．
【详解】
①由图象可知，A、B两城市之间的距离为480km，故①正确；
②甲行驶的时间为8小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时6小时，即比甲早到1小时，故②正确；
③设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，把代入可求得，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，把代入可得
解得
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为3小时，即乙车出发3小时后追上甲车，故③不正确；
④当时，此时，乙还没出发，
又当乙已经到达B城，甲距离B城50km时，，
当，可得，即，当时，可解得，当时，可解得，
综上可知当t的值为或或或，故④不正确，
综上所述，正确的有①②，共2个，故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，是中考常见考点，难度较易．
24．已知两地相距240千米．早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．甲车的速度是60千米/小时 B．乙车的速度是90千米/小时
C．甲车与乙车在早上10点相遇 D．乙车在到达A地
【答案】C
【分析】
利用图象求出甲的速度为60千米/小时，进而求出乙的速度为90千米/小时，再求出两车相遇的时间，利用两人所用时间相差小时得出相遇时间是几点及乙车到达A地是几点．
【详解】
解：∵甲车的速度为＝60（千米/小时），乙车的速度为＝90（千米/小时），
所以①②对；
根据题意，甲乙相遇的时间：(240-60×)÷(90+60)＝，
乙9点20分出发，经过小时（88分钟）甲乙相遇，也就是10点48分，所以③错；
乙车到达A地的时间：240÷90=，+=3,9+3=12，所以④对
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合应用，根据已知利用两车时间差得出代数式是解题的关键．
25．如图，A、M、N三点坐标分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为A（0，1），M（3，4），N（5，6），动点P从点A出发，沿y轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=－x+b也随之移动，设移动时间为t秒，若点M、N分别位于l的异侧，则t的取值范围是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别求出直线l经过点M、点N时的t值，即可得到t的取值范围．
【详解】
解：当直线y=-x+b过点M（3，4）时，得4=-3+b，解得：b=7，
则7=1+t，解得t=6．
当直线y=-x+b过点N（5，6）时，得6=-5+b，解得：b=11，
则11=1+t，解得t=10．
故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：6＜t＜10．
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标平面内一次函数的图象与性质，得出直线l经过点M、点N时的t值是解题关键．
26．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线与直线，若两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由过（1，0）时区域内由两个整点求出m=-2，由过（2，-1）时区域内有三个整点求出，综合求出区域内有三个整点可求出．
【详解】
当过（1，0）时区域内由两个整点，
此时m+2=0，m=-2，
当过（2，-1）时区域内有三个整点，
此时，，
两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，
．
故选择：D．
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【点睛】
本题考查数形结合思想求区域整点问题，掌握利用区域三角形边界整点来解决问题是关键．
27．如图，已知在平面直角坐标系中．以(为圆心，适当长为半径作圆弧，与轴交于点，与轴交于点再分别以为圆心．大于长为半径作圆弧，两条圆弧在第四象限交于点．以下四组与的对应值中，能够使得点在射线上的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】
根据题意可得OC的解析式为y=-x，再由各选项的数字得到点P的坐标，代入解析式即可得出结论．
【详解】
解：由作图可知，OC为第四象限角的平分线，
故可得直线OC的解析式为y=-x，
A、当x=2，y=-1时，P（2，-2），代入y=-x，可知点P在射线上，故A符合题意；
B、当x=2，y=-2时，P（2，-3），代入y=-x，可知点P不在射线上，故B不符合题意；
C、当x=2，y=2时，P（2，1），代入y=-x，可知点P不在射线上，故C不符合题意；
D/当x=2，y=3时，P（2，2），代入y=-x，可知点P不在射线上，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
28．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出B点的坐标，再求出直线BC的解析式，从而可得CO的长度，进一步得出CD的长度，即可求解．
【详解】
解：∵A（1，0）
∴OA=1
当y=1时，，即x=2，
∴B（2，1）
∵BC⊥l
∴设直线BC的解析式为y=-2x+b，
把B（2，1）代入得，b=5，
∴CO=5，
当y=5时，，解得，x=10，
∴点D的坐标为（10，5）
故选：A
【点睛】
本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，解题时要注意相关知识的综合应用．
29．甲，乙两车分别从A， B两地同时出发，相向而行．乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶．设甲车行驶的时间为x(h)， 甲，乙两车到B地的距离分别为y1(km)， y2(km)， y1， y2关于x的函数图象如图．下列结论：①甲车的速度是km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距a km时，甲车行驶了h．正确的是( )21*cnjy*com
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A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】
根据速度=路程÷时间即可算出甲的速度，由此可判断①，甲乙相遇时甲走路程为，计算出时间可判断②，分甲乙相遇前和相遇后两个时间段考虑甲乙相距时的时间，可判断③．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：由函数图象可知，甲5小时到达，速度为，故①正确；
甲与乙相遇时，时间为，所以乙休息了，②正确；
乙的速度为：，
在2小时时，甲乙相距，
∴在2小时前，若两车相距a km时，，解得，
当两车相遇后，即2.5小时后，若两车相距a km时，，
解得，
∴两车相距a km时，甲车行驶了h或，故③错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数的应用．解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
30．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于点，点，过点作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线l与y轴交于点C，由已知条件求出点C的坐标后利用待定系数法可以得到直线l的函数表达式．
【详解】
解：分别令x=0和y=0可得B、A的坐标为（0，-4）、（3，0），
∴AB=，则三角形OAB的周长为12
如图，设直线l与y轴交于点C（0，c），
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则OA+OC=6，即3-c=6，
∴c=-3，即C的坐标为（0，-3），
设l的函数表达式为y=kx+b，由l经过A、C可得：
，解之得： ，
∴l的函数表达式为：y=x-3，
故选D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象、勾股定理的应用及待定系数法求解析式的方法是解题关键．
二、填空题
31．如图，正方形，，，…按其所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，则点的横坐标是______．
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【答案】
【分析】
根据直线y=x+1可求与x轴、 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴的交点坐标，得出第一个正方形的边长，得出点B1的横坐标，根据第二个正方形与第一个正方形的关系，可求出第二个正方形的边长，进而确定B2的横坐标，依此类推，可得出B2021的横坐标
【详解】
解：当x=0时，y=x+1=1，
∴A（0，1），
∴直线与x轴的交点（-1，0），
∵四边形是正方形，
∴
∴B1（1，1），
易得均是等腰直角三角形，
可得：每一个正方形的边长都是它前一个正方形边长的2倍，
因此：B2的横坐标为1+1×2=1+2=20+21=3=22-1，
B3的横坐标为1+1×2+2×2=1+2+4=20+21+22=7=23-1，
B4的横坐标为24-1，
B5的横坐标为25-1，
……
B2021的横坐标为22021-1，
故答案为：22021-1．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图形上的点与 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标特征，规律型问题常用的方法是，分别求出前几个数据，然后依据变化规律，得出一般的结论．本题就是先求出B1的横坐标为21-1，B2的横坐标为22-1，B3的横坐标为23-1，B4的横坐标为24-1，……进而得到Bn的横坐标为2n-1．
32．点在一次函数的图象上，一次函数与轴相交于点，、两点关于轴对称．将沿轴左右平移到，在平移过程中，将该角绕点旋转，使它的一边始终经过点，另一边与直线交于点．若为等腰直角三角形，且，则点的坐标为________．
【答案】或
【分析】
分别过A、B和C作y轴、x轴的垂线并相交于M、N点，则由题意可得△B'MA≌△ANC'，再由全等的性质和已知条件可以得到B'坐标．
【详解】
解：由题意可得：AB'=AC'，∠B'AC'= 90°，
Ⅰ．当'在下方时，，
将代入
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Ⅱ．当在上方时，
此时，与关于点对称，
∴B''为[-2×2-(-8)，6×2-（-12）]即（4，24），
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故答案为：或 ．
【点睛】
本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、直角三角形全等的判定是解题关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，点的坐标为点为的中点，的垂直平分线交轴于点，交于点，点为线段上的一动点，当的周长最小时，点的坐标为______．
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【答案】(，)
【分析】
连接BP，BD，利用轴对称的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到当点B，P，D三点共线时，△APD的周长取得最小值，推出点C在线段AB的垂直平分线上，分别求得直线BD、EP的解析式，解方程组即可求解．
【详解】
解：如图所示，连接BP，BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
点P为线段AB的垂直平分线上一点，则 AP=BP，
OA=6，点A在轴正半轴上，点D为OA的中点，
则OD=AD=3，
∴A点坐标为(6，0)，D点坐标为(3，0)，
则△APD的周长=AP+PD+AD=BP+PD+3>BD+3，即当点B，P，D三点共线时，△APD的周长取得最小值，
设直线BD解析式为y=kx+b，将点B(2，4)，D(3，0)代入得：
，解得，
所以直线BD的解析式为；
∵B(2，4)，A(6，0)，
∴AB=，
过点B作BF⊥OA于点F，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴BF=4，AF=，
∴BF= AF，即点F在线段AB的垂直平分线上，
∵AB的垂直平分线交x轴于点C，
∴点C与点F重合，即点C在线段AB的垂直平分线上，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴点C的坐标为(2，0)，
∵点B为AB的中点，
则E点坐标为(4，2)，
同理求得所以直线EP的解析式为，
联立：，得，
故P点坐标为(，) ．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式线段垂直平分线的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题，题目的综合性较强，难度中等．
34．小李和小王分别从相距25 ( http: / / www.21cnjy.com )70米的A、B两驿站出发向对方所在的驿站配送包裹，相向而行，已知小李先出发5分钟后，小王才出发，他们两人在A、B驿站之间的某地相遇，相遇后，小李发现自己有需配送的包裹遗留在A驿站，于是立即返回拿取（反应时间忽略不计）小王继续向A驿站前行．小李和小王到达A驿站均停止行走，在整个行走过程中，小李小王两人均保持各自的速度匀速行走，两人相距的路程y（米）与小李出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则小王到达A驿站时，小李与A驿站相距的路程是___米．
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【答案】
【分析】
根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出小李的速度，然后即可计算出小王的速度，再根据函数图象中的数据，可以求得小王从地到地用的时间，然后即可计算出小王到达驿站时，小李与驿站相距的路程．
【详解】
解：由图可得，
小李的速度为：（米/分钟），
小王的速度为：（米/分钟），
小王和小李相遇时用的时间为：（分钟），
小王从到用的时间为：（分钟），
则小王到驿站时，小李与驿站相距路程：（米），
故答案为：．
【点睛】
一次函数的实际应用中行程问题，解题的关键是：读懂图像信息，看清横纵坐标所代表的量．
35．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的腰长为2，直角顶点A在直线，且斜边轴，当在直线l上移动时，的中点，写出n关于m的关系式为_________．
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【答案】
【分析】
设：，则，由题意得：为等腰直角三角形，则，解得：，，则，则，即可求解．
【详解】
解：设：，则，
由题意得：为等腰直角三角形，
则，解得：，
，则，
则，
即：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到等腰直角三角形的性质，题目的关键通过长度计算的长度，利用点和之间的关系，求解函数表达式．
三、解答题
36．一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A（，0），B（0，1），以AB为边在第一象限内做等边△ABC．
（1）线段AB的长是 ，∠BAO＝ °，点C的坐标是 ；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，1），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．
（3）在y轴上存在点M，使△MAB为等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
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【答案】（1）2，30，C（，2）；（2）；（3）（0，-1）或（0，3）
【分析】
（1）在中，，2OB=AB，可求，结合等边三角形的性质，可得，从而确定点坐标；
（2）四边形的面积的面积的面积；
（3）分三种情况：①当时，，则或；②当时，是等边三角形，；③当时，是等边三角形，．21教育网
【详解】
解：（1），，，
在中，，2OB=AB，可
，
以为边在第一象限内做等边，
，，
，
，，
故答案为2，30，，；
（2）四边形的面积的面积的面积；
（3），，
，
①当时，，
或；
②当时，是等边三角形，
与关于轴对称，
；
③当时，是等边三角形，
与关于轴对称，
；
综上所述：为等腰三角形时，点坐标为或．
【点睛】
本题考查一次函数与三角形综合，掌握一次函数图象上点的坐标特点，牢记直角三角形的性质是解题的关键．
37．某文具商店计划用不超过元的资金购买书包和计算器共个，已知书包和计算器的进价与售价如表．设购买书包个（其中），购买书包的费用为元，购买计算器的费用为元．
每件商品 进价（元） 售价（元）
书包
计算器
（1）当时，________，________；
（2）求最多能购买多少个书包；
（3）设售出这批书包和计算器共盈利元，求与之间的函数关系式；文具店购进多少个书包时，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）500，1600；（2）最多能购买30个书包；（3）=5x+500，当文具店购进30个书包时，才能获得最大利润？最大利润是650元．
【分析】
（1）先求出，的函数解析式，再代入求值，即可；
（2）列出关于x的不等式，即可求解；
（3）先列出关于x的解析式，再根据一次函数的性质，即可得到答案．
【详解】
解：（1）设购买书包x个，则购买计算器（50-x）个，
∴购买书包的费用：50x，
购买计算器的费用：（50-x）×40=-40x+2000，
∴当时，50×10=500（元），
-40×10+2000=1600（元），
故答案是：500，1600；
（2）由题意得：50x-40x+2000≤2300，解得：x≤30，
答：最多能购买30个书包；
（3）由题意得：=（65-50）x+（50-40）（50-x）=5x+500，
∵5＞0，
∴随x的增大而增大，
∴当x=30时，利润最大，最大=150+500=650（元），
答：=5x+500，当文具店购进30个书包时，才能获得最大利润？最大利润是650元．
【点睛】
本题主要考查一次函数、一元一次不等式的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式或不等式，是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，已知点，，，直线：（）．
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（1）求直线的解析式；
（2）若直线经过点．
①当时，求的值；
②若直线与线段有交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）y=-x-1；（2）①b=；②1≤b≤3
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）①把代入，即可求解；②把，代入，把，代入，分别求出b的值，进而即可得到范围．
【详解】
解：（1）设直线的解析式为：y=mx+n，
把，代入上式，得：，解得：，
∴直线的解析式为：y=-x-1；
（2）①当时， ，
把代入得：，解得：b=；
②把，代入，得：，解得：，
把，代入，得：，解得：，
∴的取值范围是：1≤b≤3．
【点睛】
本题主要考查求一次函数解析式，掌握待定系数法，是解题的关键．
39．在平面直角坐标系中，直线经过和两点．
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（1）求直线的表达式；
（2）如果横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线和直线关于轴对称，过点作垂直于轴的直线与和的区域为“”（不包含边界）．【出处：21教育名师】
①当时，求区域“”内整点的个数；
②如果区域“”内恰好有个整点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）直线的表达式为；（2）①区域“”内整点为个；②或
【分析】
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据题意画出图像，据此判断即可；
②将代入函数解析式，求出此时整点的个数，再根据对称性求得函数图像另一边的情况即可求出m的取值范围．
【详解】
解：直线经过和两点，
解得，
直线的表达式为
依题意画出图形
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观察图形区域“”内整点为个，；
当时，
区域“”内整点为两个，
当时，
区域“”内整点为，
当时，
区域“”内整点为，
的取值范围为，
根据对称性可知：也符合题意，
综上：或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的综合问题，结合函数图像找出符合整点个数的情况是解题的关键．
40．已知一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
（）分别求，的值；
（）点为轴上一动点，如果的面积是，请求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）点的坐标为或
【分析】
（1）将代入中，即可求出k的值，再根据与正比例函数的图象交于点，可求出点A的坐标，即可求出m的值；
（2）设点的坐标为，过点作轴，垂足为点，根据的面积是得出关于n的方程，求解即可．
【详解】
解：（）一次函数的图象与轴交于点，
一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，
，，
；
（）设点的坐标为，过点作轴，垂足为点．
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的面积是，
或
点的坐标为或
或过点作轴，垂足为点．
的面积是，
，
点的坐标为，
点的坐标为或．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，以及一次函数与几何问题，根据待定系数法求出函数解析式以及求出各点坐标是解题的关键．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N．
①当n＝3时，求△PMN的面积；
②若2＜S△PMN＜6，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
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【答案】（1）；（2）①；②
【分析】
（1）把点A代入直线y＝x﹣2求点A的坐标，然后再代入直线y＝kx+2进行求解即可；
（2）①当n=3时则有，然后依据题意作出图象，进而根据三角形面积计算即可；②由题意易得点P在第一、三象限的角平分线上，当n=-3时，△PMN的面积为6，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）把点A代入直线y＝x﹣2得：，
∴，
把代入直线y＝kx+2得：，解得：；
（2）由（1）可得：，则有直线；
①∵n=3，
∴，
由题意可得如图所示：
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∵过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N，
∴，
∴，
∴；
②由题意可知点P（n，n）在直线y＝x上，由①可得当时，则有，
当时，则有如图所示：
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∴，
∴，
∴，
当时，则有，
解得：，
∴当时，则有，
综上所述：当2＜S△PMN＜6时，n的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
42．为让学生们进一步了 ( http: / / www.21cnjy.com )解历史，传承和弘扬红岩精神，某校决定开展“渣滓洞、白公馆、红岩村、歌乐山烈士林园”游学活动．该校八年级共有师生550人，经研究决定，租用当地租车公司共12辆A、B两种型号的客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校的有关两种型号客车的载客量和租车信息：
型号 载客量 租金单价
A 50 900元/辆
B 40 800元/辆
注：载客量是指每辆客车最多可载师生的人数．
若学校租A型车x辆，且租车公司最多能提供10辆A型车，根据上述信息，回答下列问题：
（1）求出x的取值范围；
（2）如果总的租车费用为y元，请写出y与x之间的函数表达式，并求出最省钱的租车方案．
【答案】（1）7≤x≤10；（2）学校租A型车7辆，则租B型车5辆．
【分析】
（1）若学校租A型车x辆，则租B型车（12-x）辆，根据题意列出不等式即可求解；
（2）根据题意写出总的租车费用y关于x的一次函数，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）若学校租A型车x辆，则租B型车（12-x）辆，
根据题意得50x+40(12-x)≥550
解得x≥7
∵租车公司最多能提供10辆A型车，
∴x的取值范围为7≤x≤10；
（2）根据题意可得总的租车费用y=900x+800（12-x）=100x+9600
∵100＞0，
∴y随x的增大而减小
∴当x=7时，总租金最少，
此时学校租A型车7辆，则租B型车5辆．
【点睛】
此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等关系及函数关系进行求解．
43．学校计划在总费用280 ( http: / / www.21cnjy.com )0元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表：2·1·c·n·j·y
标准型 舒适性
载客量（单位：人/辆） 40 28
租金（单位：元/辆） 500 350
（1）求一共需租多少辆客车？说明理由；
（2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金．
【答案】（1）6辆．理由见解析；（2）y=150x+2100，3≤x≤，租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元
【分析】
（1）由师生总数为204名，根据“所需租车数=人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论；
（2）设租用x辆标准型车，则舒 ( http: / / www.21cnjy.com )适型客车（6-x）辆，根据师生总数为204人以及租车总费用不超过2800元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用=租标准型客车所需费用+租舒适型客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）∵204÷40=5（辆）…4（人），
∴保证204名师生都有车坐，汽车总数不能小于6；
∵只有6名教师，
∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6；
综上可知：共需租6辆汽车．
（2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆，
由题意得：y=500x+350（6-x）=150x+2100，
∵学校计划在总费用2800元的限额内，师生总数为204人，
∴，
解得：3≤x≤，
∵x为整数，
∴x=3，4，
∴共有2种租车方案，方案1：租标准型客车3辆，舒适型客车3辆；方案2：租标准型客车4辆，舒适型客车2辆，
方案1所需费用=500×3+350×3=2550（元），
方案2所需费用=500×4+350×2=2700（元）．
∵2700＞2550，
∴方案1租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、解 ( http: / / www.21cnjy.com )一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键．
44．某商店销售、两种型号的打印机，销售台型和台型打印机的利润和为元，销售台型和台型打印机的利润和为元．
（1）求每台型和型打印机的销售利润；
（2）商店计划购进、两种型号的打印机共台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将型打印机的出厂价下调元（），但限定商店最多购进型打印机台，且、两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这台打印机总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元；（2）当商店购进型号的打印机台，型号的打印机台时，才能使销售总利润最大；（3）综上所述，商店销售这台打印机总利润最大的进货方案为：方案一：当时，型打印机都进货台，型打印机都进货台；方案二：当时，型打印机满足的整数；方案三：当时，型打印机都进货台，型打印机都进货台；
【分析】
（1）设每台A型和型打印机的销售利润分别为，元，根据等量关系：销售3台A型打印机的利润+销售2台型打印机的利润=560元；销售1台A型打印机的利润+销售4台型打印机的利润=720元，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意求得，根据题中不等关系：A型打印机数量不少于型打印机数量的一半，求得a的取值范围，根据一次函数的增减性，可求得w最大时此时a的值；
（3）根据题意可得，就m-80的取值分三情况种讨论：时，w随a的增大而减小；m=80时，w=19200；时，w随a的增大而增大，从而可分别求得此时购进的两种型号的打印机的台数．
【详解】
解：（1）设每台A型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元，
根据题意得：，
解得：，
每台A型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元．
答：每台A型打印机的利润为元，每台型打印机的利润为元．
（2）∵购进A型打印机台，则型打印机数量为（120-）台，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
，即，
是正整数，
时，最大
（台），
当商店购进A型号的打印机台，型号的打印机台时，才能使销售总利润最大．
答：当商店购进A型号的打印机台，型号的打印机台时，才能使销售总利润最大．
（3）A形打印机利润为(80+m)元，B形打印机利润不变，
由题意得：，
且，
①当时，即时，随的增大而增大，
时，最大，此时（台），
②当时，即时，，
当满足的整数时，最大．
③当时，即时，随的增大而减小，
当时，最大，此时（台），
综上所述，商店销售这台打印机总利润最大的进货方案为：
方案一：当时，A型打印机都进货台，型打印机都进货台；
方案二：当时，A型打印机满足的整数即可．
方案三：当时，A型打印机都进货台，型打印机都进货台；
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应 ( http: / / www.21cnjy.com )用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定w值的增减情况，同时注意自变量a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
45．某校足球队计划从商家购进A ( http: / / www.21cnjy.com )、B两种品牌的足球，A种足球的单价比B种足球的单价低30元，购进5个A种足球的费用等于3个B种足球的费用．现计划购进两种品牌的足球共50个，其中A种足球数量不超过B种足球数量的9倍．
（1）求A、B两种品牌的足球单价各是多少元？
（2）设购买A种足球m个（m≥1），购买两种品牌足球的总费用为w元，求w关于m的函数关系式，并求出最低总费用．
【答案】（1）A种品牌的足球单价为45元，B种品牌的足球为75元；（2），购买两种足球的最低费用为2400元．
【分析】
（1）设A种品牌的足球单价为x元，B种品牌的足球为（x+30）元，由题意可得，然后求解即可；
（2）由（1）及题意易得购买B种品牌足球为（50-m）个，然后根据题意可进行求解．
【详解】
解：（1）设A种品牌的足球单价为x元，B种品牌的足球为（x+30）元，由题意得：
，
解得：，
∴B种品牌的足球为45+30=75元；
答：A种品牌的足球单价为45元，B种品牌的足球为75元．
（2）由题意得购买B种品牌足球为（50-m）个，则由（1）可得：
，
∵A种足球数量不超过B种足球数量的9倍，
∴，且m≥1，
解得：，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=45时，w有最小值，即为；
答：购买两种足球的最低费用为2400元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元一次不等式的应用是解题的关键．
46．甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地________千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时的值．
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【答案】（1）30千米；（2）
【分析】
（1）首先由图像求出货车的速度，然后根据轿车到达乙地时的时间求出货车行驶的路程，然后根据总路程即可求出货车距乙地的路程；
（2）分别求出OA和CD段的函数表达式，联立方程组求解即可．
【详解】
解：（1）根据图象信息：货车的速度，
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：（千米），
此时，货车距乙地的路程为：（千米）．
所以轿车到达乙地后，货车距乙地千米．
故答案为：．
（2）设段函数解析式为．
∵，在其图象上，
解得
∴段函数解析式：；
易得，
联立解得
∴当时，轿车与货车相遇．
【点睛】
此题考查了一次函数图像问题，解题的关键是能通过图像分析出需要的条件．
47．随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示．
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（1）非节假日门票定价是 元/人；
（2）当时，与之间的函数关系式_
（3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？
【答案】（1）30；（2）；（3）团人，团人
【分析】
（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450，即可得非节假日门票的定价；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450，
450÷15=30（元），
故答案为：30；
（2）当x＞15时，设y2=kx+b，
∵函数图象经过点（15，750）和（30，1350），
∴，
∴，
∴y2=40x+150（x＞15），
故答案为：y2=40x+150（x＞15）；
（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人，
当n＞15时，（40n+150）+30（50-n）=1900，
解得n=25，
∴50-n=50-25=25（人），
答：A团有25人，B团有25人．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息是解题的关键．
48．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，设是上一点，若将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处．求：
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（1）点的坐标；
（2）直线所对应的函数关系式．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由已知可以求得A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B坐标，从而得到OA、OB、AB的值，然后根据对称性得到AB'的值，进一步可得OB'，从而得到B'坐标；
（2）设OM=m，则 B'M=BM=8-m，由勾股定理可得关于m的方程，解出m后可得M坐标，由A、M坐标根据待定系数法可以得到AM解析式．
【详解】
解：，令，则，令，则，
∴ ，，
∴ ，，
由勾股定理得：，
∵ ，
∴ ，
∴ 的坐标为：．
设，则，
在中，，
解得：，
∴ 的坐标为：，
设直线的解析式为，
则 解得：
故直线的解析式为：．
【点睛】
本题考查一次函数与轴对称的综合应用，熟练掌握折叠的性质、一次函数解析式的求法及勾股定理和方程方法的应用是解题关键．21教育名师原创作品
49．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，并且与轴以及的图象分别交于点，．
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（1）若点的横坐标为，求，；
（2）在第（1）问的条件下，求四边形的面积；
（3）若点始终在第一象限，直接写出系数的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）把x=1代入y=x+1即可得到D的坐标，然后根据待定系数法求得即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）联立两直线解析式，消去y表示出x，由交点D在第一象限，求出k的范围即可．
【详解】
解：（1）把x=1代入y=x+1得，y=1+1=2，
∴D（1，2），
∵一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1）与D（1，2），
∴，解得，
∴，；
（2）∵D（1，2），且直线BD的解析式为y=3x-1，
令y=0，得x=，
∴C（，0），
∵直线y=x+1经过点A，
令x=0，得y=，
∴A（0，1），
连接OD，
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∴S四边形AOCD=S△AOD+S△COD=×1×1+××2=；
（3）将B（0，-1）代入y=kx+b得：b=-1，
即直线解析式为y=kx-1，
联立得： ，
消去得：，
解得：，，
由坐标在第一象限，
得到且，
解得： ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，坐标与图形性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
50．甲、乙两车从城出发沿一条笔直公路匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．
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（1）分别写出甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式；
（2）什么时间两车相距？
（3）若两车相距不超过千米时可以通过无线电相互通话，直接写出两车都在行驶的过程中可以通过无线电通话时t的取值范围．
【答案】（1）；（2）或或或；（3）
【分析】
（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得甲乙的速度，然后即可得到甲车出发多长时间与乙车两车相距；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以得到相应的方程，从而可以计算出两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长．
【详解】
解：（1）设甲车的离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式为y甲，
由图可知，当时，甲车离开城的距离，
则，
解得，
∴y甲；
设乙车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系式为，
由图可知，经过，，
∴，，
解得，，
∴y乙．
（2）由题意可得， 或或 ，
解得或或或．
答：当或或或时，两车相距．
（3）设甲车出发t小时时，两车相距30千米，
由题意可得，，
解得或，
∴两车相距不超过30千米时可以通过无线电相互通话，两车都在行驶的过程中可以通过无线电通话时的取值范围为 ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．
51．周末，天气晴朗，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．小明从家出发小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家小时分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，小明离家后小时到达乙地．如图是他们离家的路程（千米）与小明离家时间（小时）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑自行车速度的倍．
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（1）小明骑自行车的速度为________千米小时，小明在甲地游玩的时间为________小时；
（2）乙地距离小明家有________千米；
（3）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
【答案】（1）；；（2）50；（3）小明从家出发小时的时候被妈妈追上，此时离家千米
【分析】
（1）根据速度＝路程÷时间即可得出小明骑自行车的速度，再结合图形与x轴平行的线段即可得出小明在甲地游玩的时间；
（2）根据路程＝速度×时间，代入小明骑自行车的速度以及骑行的时间即可得出结论；
（3）利用待定系数法求出小明在 ( http: / / www.21cnjy.com )1≤x≤3时间段离家的路程y（千米）与离家时间x（小时）的函数关系式以及妈妈离家的路程y（千米）与小明离家时间x（小时）的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）小明骑自行车的速度为：（千米小时）；
小明在甲地游玩的时间为：（小时）．
故答案为：；
（2）乙地到小明家的距离为：（千米）．
故答案为：
（3）设小明在时间段离家的路程（千米）与离家时间（小时）的函数关系式为，
妈妈离家的路程（千米）与小明离家时间（小时）的函数关系式为．
将代入中，得： ，
解得：，
∴小明在时间段离家的路程（千米）与离家时间（小时）的函数关系式为；
将代入中，得：，
解得：，
∴妈妈离家的路程（千米）与小明离家时间（小时）的函数关系式为．
联立两函数关系式成方程组，
得：解得：
∴小明从家出发小时的时候被妈妈追上，此时离家千米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
52．下面图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上．张强从家出发匀速跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中表示张强离开家的时间，表示张强离家的距离．
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请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
张强离开家的时间
张强离家的距离
（2）填空：
①张强从家出发到体育场的速度为 ；
②张强在体育场运动的时间为 ；
③张强从体育场到早餐店的速度为 ；
④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为 ；
（3）当时，请直接写出关于的函数解析式．
【答案】（1）；（2）①；②；③；④或；（3）当时，；当时，；当时，
【分析】
（1）根据图象，求出张强从家跑步去体育场的速度即可求解；
（2）①根据图象，由速度=路程÷时间即可求解；
②根据题意，观察图象的横坐标即可得出运动时间；
③根据图象，利用速度=路程÷时间求解即可；
④根据图象，在0≤x≤10和40≤x≤70时间段，分段求解即可；
（3）根据图象，分段求解y与x的函数解析式．
【详解】
解：（1）张强从家跑步去体育场的速度为2÷10=0.2（km/min），
∴张强离开家8分钟时离家的距离为0.2×8=1.6（km），
填表为：
张强离开家的时间
张强离家的距离 1.6
故答案为：1.6；
（2）①张强从家跑步去体育场的速度为2÷10=0.2（km/min），
故答案为：0.2；
②根据图象，张强在体育场运动的时间为20﹣10=10（km），
故答案为：10；
③根据图象，张强从体育场到早餐店的路程为2﹣1.2=0.8（km）,用时30﹣20=10（min），
∴张强从体育场到早餐店的速度为0.8÷10=0.08（km/min）,
故答案为：0.08；
④当0≤x≤10时，当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为 0.6÷0.2=3（min）,
当40≤x≤70时，张强匀速散步回到家的速度为1.2÷（70﹣40）=0.04（km/min），
则当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为70﹣0.6÷0.04=55（min），
故答案为：3或55；
（3）当0≤x≤10时，设y与x的函数解析式为y=kx，
将点（10，2）代入得：2=10k，解得：k=0.2，
∴y与x的函数解析式为y=0.2x；
当10＜x≤20时，y=2；
当20＜x≤30时，设y与x的函数解析式为y=mx+n，
将点（20，2）、（30，1.2）代入，
得：，解得：，
∴y与x的函数解析式为y=﹣0.08x+3.6，
综上，当时，；当时，；当时，．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，涉及一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的图象、待定系数法求解一次函数解析式、解二元一次方程组、有理数的运算，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式，读懂图象，能从图象上获取问题的相应信息是解答的关键．21cnjy.com
53．如图一，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
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（1）求直线的解析式；
（2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交轴于点，当，求出，两点的坐标；
（3）将直线：向左平移12个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴．点在直线上，写出以点，，，为顶点且为腰的等腰三角形，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】（1）直线m的解析式为；（2）P点的坐标为（-10，16），Q点坐标为（-10，-8）；（3）当CE为腰时，点M的坐标为：M（，2）或M（-，2）或M（0，2）．过程见解析．
【分析】
（1）把点D坐标代入直线l：y=-x+6求出t的值，利用待定系数法即可求解；
（2 ）根据三角形面积公式可得PG=2QG，即可求解；
（3）分CE=MC，ME=CE两种情况列式求解即可．
【详解】
解：（1）∵D（t，1）在直线l：y=-x+6上，
∴1=-t+6，
∴t=5
∴D（5，1），
设直线m的解析式为y=kx+b，
将点C，D代入得，，
解得，，
所以，直线m的解析式为；
（2）设P（a，6-a），
∵点P在x轴的左侧，
∴
∵PQ∥轴，
G（a，0），Q（a，），
如图，点P、Q在x轴两侧，
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∵S△PCG=PG （-a），S△QCG=GQ (-a)且S△PCG=2S△QCG，
∴PG=2QG，
∴6-a=2（2-a），
解得：a=-10，
∴，
∴P点的坐标为（-10，16），Q点坐标为（-10，-8）；
（3）对于直线l：y=-x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，x=6．
∴A（6，0），B（0，6），
∵将直线l：y=-x+6向左平移12个单位得直线n交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．点C（0，-2），
∴E（-6，0），F（0，2），
如图，
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∵将直线l：y=-x+6向左平移12个单位得直线n，
∴直线n：y=-x-6，
又∵F（0，2）
∴k的解析式为：y=2，
设M（a，2），则MC=，ME=，CE=，
当△MCE为等腰三角形，且CE为腰，有：
①CE=MC时，=，
解得：a=或a=-，
即M（，2）．M（-，2），
②ME=CE时，=，
解得，a=0或a=-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），
即M（0，2），
综上，当CE为腰时，点M的坐标为：M（，2）或M（-，2）或M（0，2）．
【点睛】
本题为一次函数综合题，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
54．直线与轴、轴交于两点，在轴的负半轴上，且；
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（1）求的解析式；
（2）在的延长线上任取一点，作，交直线于，试探究与的数量关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的前提下，作于，证明．
【答案】（1）y=x-2；（2）FB=FQ，证明见解析；（3）见解析
【分析】
（1）求出A、C两点坐标，利用待定系数法可求得答案；
（2）结论：FB=FQ．由条件可证得FC=FB，结合已知条件，可证得FC=FQ；
（3）利用（2）的结论，可求得QM=MC，则 ( http: / / www.21cnjy.com )可求得MQ-AC=MA，利用△PMA为等腰直角三角形可得MA=FM，再代入计算即可求得MQ-AC=FM．
【详解】
解：（1）在y=-x+2中，令y=0可求得x=2，令x=0可求得y=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∵OC=OB，
∴点C坐标（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把B、C两点坐标代入可得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=x-2；
（2）如图1中，结论：FB=FQ．
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证明如下：连接FC，
∵OA=OB=OC，
∴FO垂直平分BC，△ABC为等腰直角三角形，
∴FB=FC，
∴∠FCO=∠FBO，
∵∠FBA+∠QAB=∠Q+∠BFQ，∠QAB=∠BFQ=90°，
∴∠FCA=∠FBA=∠Q，
∴FQ=FC，
∵FB⊥FQ，
∴FB=FQ；
（3）证明：
由（2）可知，∠FAM=∠AFM=45°，FC=FQ，
∴QM=MC，FM=MA，
∴MQ-AC=MC-AC=MA=FM．
【点睛】
本题为一次函数综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，知识点较多，综合性较强，难度适中．
55．越野赛跑中，当小明跑了9千米时，小强跑了5千米，此后两人匀速跑的路程（千米）和时间（小时）的关系如图所示，则由图上的信息可知的值为多少？
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【答案】21千米
【分析】
根据图象设小明跑的路程S和时间t的 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式是S=at+9，设小强跑的路程S和时间t的关系式是S=kt+5，根据图象得出当t=1时s的值相等，代入求出a=k-4，根据图象得出小明跑了3小时的路程和小强跑2小时的路程都是S1，代入求出k，即可求出S1．
【详解】
解：∵小明开始跑了9千米，
∴图象过（0，9），
设小明跑的路程S和时间t的关系式是S=at+9，
同理设小强跑的路程S和时间t的关系式是S=kt+5，
∵根据图象可知，当t=1时s的值相等，
∴代入得：a+9=k+5，
∴a=k-4，
即S=（k-4）t+9，s=kt+5，
∵根据图形可知，小明跑了3小时的路程和小强跑2小时的路程都是S1，
∴把t=2和t=3分别代入得：2k+5=3（k-4）+9=S1，
解得：k=8，k-4=4，
即S1=2k+5=2×8+5=21（千米）．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用和一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数的图象，主要考查了学生的观察图形的能力和理解题意得能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好但有一定的难度的题目．
56．“六一”儿童节前夕，某超市用540元购进了甲种玩具30件，乙种玩具40件，且每件甲玩具要比乙玩具进货单价少3元．
（1）求每件甲、乙玩具的进货单价分别是多少元？
（2）由于节日玩具畅销， ( http: / / www.21cnjy.com )该超市决定再次购进这两种玩具共100件，其中甲玩具的数量不多于乙玩具数量的2倍，且每种玩具的进货单价保持不变；若甲玩具售价为每件10元，乙玩具售价为每件12元，试问第二批购进甲玩具多少件时，第二批玩具全部卖完后获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种玩具的单价是每件6元，乙种 ( http: / / www.21cnjy.com )玩具的单价是每件9元；（2）第二批购进甲种玩具66件时，全部卖完后获利最大，最大利润是366元．
【分析】
（1）设两个未知数，根据题中的两个等量关系，列二元一次方程组即可求解；
（2）设第二批购进甲玩具m件，全部卖完后获利W元，建立W与m之间的函数关系即可解决．
【详解】
解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元/件，乙种玩具的进货单价为y元/件．
根据题意，得，
解得，
答：甲种玩具的进货单价为6元/件，乙种玩具的进货单价为9元/件．
（2）设第二批购进甲种玩具m件，则购进乙钟玩具（100-m）件，全部卖完后获利W元．
根据题意，得，
∴W是关于m的一次函数，且W随m的增大而增大．
∵
∴
∵m是正整数，
∴当m=66时，W最大，（元）．
答：第二批购进甲种玩具66件时，全部卖完后获得的利润最大，最大利润为366元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，根据题中的等量关系列方程组和建立函数关系是解题的关键．
57．在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的，两个仓库．已知甲库有粮食吨，乙库有粮食吨，而库的容量为吨，库的容量为吨．
（1）填空：
若从甲库运往库粮食吨，
①从甲库运往库粮食________吨；
②从乙库运往库粮食________吨；
③从乙库运往库粮食________吨；
（2）填空：
若从甲库运往库粮食吨，
①从甲库运往库粮食________吨；
②从乙库运往库粮食________吨；
③从乙库运往库粮食________吨；
（3）从甲、乙两库到，两库的路程和运费如表：（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送千米所需人民币）
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库
库
写出将甲、乙两库粮食运往，两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式．并求出当从甲、乙两库各运往，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【答案】（1）①；②；③；
（2）①；②；③；
（3）；从甲库运往库吨粮食，从甲库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是元
【分析】
（1）根据甲、乙和A、B的库容量计算即可求解；
（2）根据甲、乙和A、B的库容量，将代入计算即可求解；
（3）根据距离和运费依次相乘，最后相加即可得到总运费（元）与（吨）的函数关系式；然后根据每个库最大容量和最低库容，确定的取值范围，最终根据一次函数的性质即可判断．
【详解】
（1）①；②；③；
（2）①从甲库运往库粮食：吨；
②从乙库运往库粮食：吨；
③从乙库运往库粮食：吨，
故从乙库运往库粮食：吨；
（3）从甲库运往库粮食吨时，总运费为：
．
从乙库运往库粮食吨，
．
此时．
（）．
，
随的增大而减少．
当时，取得最小值，最小值是；
具体方案为：从甲库运往库吨粮食，从甲库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，此时最省的总运费是元．
答：从甲库运往库吨粮食，从甲库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食，从乙库运往库吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是元．
【点睛】
本题考出来一次函数的实际应用，重点是读懂题意，列出解析式，（3）问关键是确定的取值范围；近几年数学科目的题干逐渐边长，要求考生阅读理解能力应该同步提升．
58．在2021“五五购物 ( http: / / www.21cnjy.com )节”中，某商店的两种品牌的小电器参与促销活动．经统计后发现，每天的销售中，乙品牌小电器的销售数量y（件）与甲品牌小电器的销售量x（件）符合如图表示的函数关系．
（1）求y关于x的函数解析式（不必写出白变量x的取值范围）；
（2）在5月2日一天的销售中 ( http: / / www.21cnjy.com )，甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，已知甲品牌的小电器单价比乙品牌的小电器单价多20元，求甲、乙两种品牌的小电器的单价．（其中小电器的单价大于100元）
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【答案】（1）；（2）甲品牌的小电器单价为200元，乙品牌的小电器单价为180元
【分析】
（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）设甲品牌的小电器单价m元， ( http: / / www.21cnjy.com )则乙品牌的小电器单价为（m-20）元，根据甲、乙两种品牌的小电器的销售额分别为1200元和1440元，即可得出关于m的方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）设关于的函数解析式为．
将，代入得：
，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）设甲品牌的小电器单价元，则乙品牌的小电器单价为元，
依题意得：，
解得：，．
小电器的单价大于100元，
，
（元），
答：甲品牌的小电器单价为200元，则乙品牌的小电器单价为180元．
【点睛】
本题考查了方程组的应用以及一次函数的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出方程组．
59．学校与图书馆在同一条笔直 ( http: / / www.21cnjy.com )道路上，小明从学校去图书馆，小红从图书馆回学校，两人都匀速步行且同时出发，小红先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
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（1）根据图象信息填空，当______分钟，两人相遇，小明的速度为______米/分钟；
（2）求出线段所表示的函数表达式．
（3）当t为何值时，两人相距1000米？
【答案】（1）12，40；（2）y=40t（20≤t≤30）；（3）2或25
【分析】
（1）y=0时横坐标即为相遇时间，小明走的路程除以时间是小明的速度，
（2）求出A点坐标即可达到线段AB所表示的函数表达式，
（3）分相遇前和相遇后两种情况．
【详解】
解：（1）两人相遇即是两人之间的距离y=0，从图中可知此时x=12（分钟），
图中可知小明用30分钟走完1200米，速度为1200÷30=40（米/分钟），
故答案为：12，40；
（2）小明、小红的速度和为1200÷12=100（米/分钟），而小明速度为40米/分钟，
∴小红速度是60米/分钟，
∴小红达到目的地所用时间是1200÷60=20（分钟），即A横坐标为20，
此时两人相距（20-12）×100=800（米），即A纵坐标为800，
∴A（20，800），
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b（k≠0），将A（20，800）、B（30，1200）代入得：
，解得：，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t（20≤t≤30）；
（3）两种情况：①迎面：（1200-1000）÷100=2（分钟），
②相遇后：小红达到目的地时二人相距800米，
（1000-800）÷40=5，
故t=25时，两人相距1000米．
答：当t=2或25时，两人相距1000米．
【点睛】
本题考查一次函数图象的应用，解题的关键是理解图中特殊点的意义，求两人的速度．
60．平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
（1）求，的值；
（2）直线与直线，分别交于M，N两点，当MN＝3时，若以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
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【答案】（1）；（2）点Q的坐标为，或
【分析】
（1）把分别代入两函数即可求出m，b的长；
（2）求出直线与y轴的交点为（0，-3），由直线与直线，分别交于M，N两点， MN＝3，可求出M，N的坐标，再根据平行四边形的性质分情况即可求解．
【详解】
解：（1）∵直线：与直线：交于点，
∴
∴
（2）依题意可得直线：
∴直线与y轴的交点为（0，-3）
∵直线与直线，分别交于M，N两点， MN＝3，
∴M，N不是y轴上的点
设M（x，2x-3），则N（x，）
由MN＝3，得（2x-3）-=3
解得x=4
∴M（4，5），则N（4，2）
∵以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当MN为四边形MPNQ的对角线时，MN的中点坐标为（4，3.5）
故、Q关于（4，3.5）对称，
∴点Q的坐标为，
②当MN为四边形MNQP的一边时，MN=PQ=3，且PQ与y轴平行
故点Q的坐标为或
综上，点Q的坐标为，或．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、平行四边形的特点．
61．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线交于点，直线与轴交于点．
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（1）求直线的函数解析式；
（2）点在轴上，过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，.若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）设首先求出点坐标，然后将点坐标代入求得k的值，即可获得直线的函数解析式；
（2）首先求点的坐标，然后用n表示出点和点的坐标，用n表示出的长，根据即可求解．
【详解】
（1）∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
设，将代入，得：
，
∴直线的函数解析式为；
（2）∵直线与轴交于点，
∴当时，，
∴点的坐标为，
∴，
∵过点作平行于轴的直线，分别与直线，交于点，，
∴当时，，，
∴，
∵，
∴，
解得或．
【点睛】
本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，关键是分情况讨论，注意绝对值方程的解法．
62．某种机器工作前先将空油箱加满（加油过程），然后停止加油立即开始工作（加工过程）．当停止工作时，油箱中油量为10升．在整个过程中，油箱里的油量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示．www.21-cn-jy.com
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（1）机器加油过程中每分钟加油量为______升，机器加工过程中每分钟耗油量为______升；
（2）求机器加工过程中关
