中小学教育资源及组卷应用平台
6.5 用一次函数与二元一次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答．
【详解】
解：由题图得一次函数与的图象交于点（1,3），
∴二元一次方程组的解是 ．
故选：B
【点睛】
本题考查了二元一次方程组与一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的关系，平面直角坐标系中，两个一次函数的交点坐标就是这两个一次函数组成的二元一次方程组的解，明确此知识点是解题的关键．
2．一次函数y＝2x+4的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y随x的增大而增大 B．直线y＝2x+4经过点（0，4）
C．当x<0时，y<4 D．坐标原点到直线y＝2x+4的距离为
【答案】D
【分析】
根据一次函数的图象与性质判断A，B，C，再根据点到直线的定义及三角形的面积公式即可判断D．
【详解】
由函数图象可知y随x的增大而增大，故正确；
令x=0，得y=4，故直线y＝2x+4经过点（0，4），正确；
由函数图象当x<0时，y<4，正确；
如图，设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，作OC⊥AB
令y=0，得x=-2，
∴A（-2，0）
又B（0，4）
∴AO=2，BO=4，AB=，
根据S△ABO=AO×BO=AB×CO
∴坐标原点到直线y＝2x+4的距离CO=，故D错误；
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质、点到直线的定义及三角形的面积公式．
3．已知一次函数y=x+a与y=﹣x+b的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
可先根据点A的坐标用待定系数法 ( http: / / www.21cnjy.com )求出a，b的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与y轴的交点，即B，C的坐标．那么△ABC中，底边的长应该是B，C纵坐标差的绝对值，高就应该是A点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】
解：把点A（-2，0）代入y=x+a，
得：a=3，
∴点B（0，3）．
把点A（-2，0）代入y=-x+b，
得：b=-1，
∴点C（0，-1）．
∴BC=|3-（-1）|=4，
∴S△ABC=×2×4=4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，通过已知点的坐标来得出两函数的解析式是解题的关键．
4．如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．，
【答案】B
【分析】
由直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，即可求得点A与B的坐标，又由S△ABD=4，即可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后由直线AB与CD相交于点P，可得方程组：，解此方程即可求得答案．
【详解】
解：∵直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B，
令，则；令，则，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∵S△ABD=BD OA=×BD×2=4，
∴BD=4，
∴OD=BD-OB=4-1=3，
∴点D的坐标为（0，-3），
∵点D在直线y=x+b上，
∴b=-3，
∴直线CD的解析式为：y=x-3，
∵直线AB与CD相交于点P，
联立可得：，
解得，
即的坐标是．
故选：．
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、点与一次函数的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，以线段为一条边向右侧作矩形，且点在直线上，若矩形的面积为20，直线与直线交于点．则的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由直线y1=2x+4求得OB=4，根据解析式面积求得D(5，4)，代入y2=-x+b求得解析式，然后联立解析式，解方程组即可求得．
【详解】
∵直线y1=2x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴B(0，4)，
∴OB=4，
∵矩形OCDB的面积为20，
∴OB OC=20，
∴OC=5，
∴D(5，4)，
∵D在直线y2=﹣x+b上，
∴4=﹣5+b，
∴b=9，
∴直线y2=﹣x+9，
解，得，
∴P(，)，
故选：A．
【点睛】
本题考查了两条直线平行或相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．
6．如图，经过点和经过原点和点，以两条直线的交点坐标为解的方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
用待定系数法求出直线、的解析式，联立方程即可．
【详解】
解：设直线的解析式为，
∵经过点(0，1.5)、(2，3)，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线经过原点，
∴设直线的解析式为，
又∵直线经过点(2，3)，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴以两条直线的交点坐标为解的方程组是：
，
即，
故选：A．
【点睛】
本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即是两个一次函数图象的交点，利用待定系数法求出两个一次函数的解析式是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
7．如图，一次函数的图象分别交、轴于点、，与正比例函数的图象交于第一象限内的点，则的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．24 C．27 D．48
【答案】A
【分析】
因直线交y轴于点B，故可求得点B的坐标，从而可得OB的长，又直线与直线相交，故可求得点C的坐标，从而可得△OBC的边OB上的高，因此可求得△OBC的面积．
【详解】
对于直线，令，得：
∴
解方程组，得：
即点的坐标为
∴点到y轴的距离为4
∴
故选：
【点睛】
本题主要考查了求两直线交 ( http: / / www.21cnjy.com )点坐标、平面直角坐标系中求直线围成的三角形面积，关键分别求得点B、点C的坐标，而求两直线的交点坐标体现了数形结合的思想．
8．如图，点A、B、C在一次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．3.6 C．4.8 D．6
【答案】A
【分析】
根据一次函数的解析式，把x=-1、0、1、 ( http: / / www.21cnjy.com )2的值代入y=-2x+m中，可分别求得对应的函数值，可得三个直角三角形的底边和对应的高，从而可得每个三角形的面积，并求得总面积．
【详解】
当x=-1时，y=2+m；当x=0时，y=m；当x=1时，y=-2+m；当x=2时，y=-4+m
∵0-（-1）=1-0=2-1=1，2+m-m=m-(-2+m)=-2+m-(-4+m)=2
∴三个直角三角形三条水平的直角边相等，三条垂直的直角边也相等
∴这三个直角三角形的面积均为
∴阴影部分面积的和为：3×1=3
故选：A
【点睛】
本题考查了一次函数的定义、平面直角坐标系中求 ( http: / / www.21cnjy.com )图形面积，关键是求出当x=-1、0、1、2时，对应的函数值；当然本题也可根据一次函数k的特征来解决，一次函数中，当自变量每增加一个单位时，函数值都增加或减小|k|个单位，这里当自变量由-1每次都增加1时，函数值都减小2，从而每个直角三角形的对应的直角边都相等，且面积都为1，所以阴影部分的面积为3．
9．若直线和相交于点，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得．
【详解】
解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和，
∵直线和相交于点P（2，3），
∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3），
∴方程组的解为；
故选：D．
【点睛】
本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键．
10．若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设的解析式为，根据两直线关于轴对称，则它们图象上的点也关于轴对称，利用待定系数法求出直线解析式，再求出交点坐标．
【详解】
解：设的解析式为，
∵直线经过点，经过点，且与关于轴对称，
∴两条直线的交点在轴上且直线经过点，经过点，
把点和代入直线的解析式中，则，解得，
故直线的解析式为，
∵与的交点坐标为，与轴的交点，
∴当时，，即与的交点坐标为．
故选B．
【点睛】
本题考查一次函数，解题的关键是掌握两直线交点坐标的求解方法，以及理解它们的对称关系．
11．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．
【详解】
一次函数与的交点为P（、4）
解得
点P的坐标为（2、4）
的解为：
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．
12．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由图易知两条直线分别经过（-1，1）、（1 ( http: / / www.21cnjy.com )，0）两点和（0，2）、（-1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题.21世纪教育网版权所有
【详解】
由图知，设经过（-1，1）、（1，0）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）.
将（-1，1）、（1，0）两点坐标代入解析式中，解得
故过（-1，1）、（1，0）的直线解析式y=，对应的二元一次方程为2 y +x -1=0.
设经过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）.
将（0，2）、（-1，1）两点代入解析式中，解得
故过（0，2）、（-1，1）的直线解析式为y=x+2，对应的二元一次方程为x-y+2=0.
因此两个函数所对应的二元一次方程组是
故选择：B
【点睛】
此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式.www.21-cn-jy.com
13．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据图像可知，x=20,y=25即满足函数y=x+5，也满足函数y=ax+b，即是二元一次方程y=x+5的解，也是二元一次方程y=ax+b的解，恰好满足了方程组的解.
【详解】
∵一次函数图像的交点为（20,25），
∴方程组的解是，
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数图像交点与二元一次方程组解的关系，熟练驾驭数形结合思想，准确理解交点的意义是解题的关键.21教育名师原创作品
14．如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+2在第二象限交于A，y＝x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组的解为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据可得B、C的坐标，进而确定OB、OC的长，然后根据3S△ABO＝S△BOC结合点A在第二象限确定A点的纵坐标，然后再根据点A在y＝x+2上，可确定点A的横坐标即可解答．
【详解】
解：由可得B（﹣3，0），C（0，2），
∴BO＝3，OC＝2，
∵3S△ABO＝S△BOC，
∴3××3×|yA|＝×3×2，
解得yA＝±，
又∵点A在第二象限，
∴yA＝，
当y＝时，＝x+2，解得x＝﹣2，
∴方程组的解为．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解答本题的关键．
15．若直线与直线的交点在第四象限，则b的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
联立两个直线解析式求出交点坐标，根据交点在第四象限，列式求出b的取值范围．
【详解】
解：联立两个直线解析式得，解得，
交点坐标是，
∵交点在第四象限，
∴，，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查两直线交点坐标的求解，解题的关键是掌握求两直线交点坐标的方法．
16．若方程组无解，则一次函数的图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】
根据两直线平行没有公共点得到k＝3k＋1，解得k＝ ，则一次函数y＝kx 2为y＝ x 2，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】
∵方程组无解，
∴k＝3k＋1，解得k＝ ，
∴一次函数y＝kx 2为y＝ x 2，
一次函数y＝ x 2经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质．
17．图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
两条直线的交点坐标应该是联 ( http: / / www.21cnjy.com )立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．
【详解】
解：设一次函数的解析式为：．
①直线经过、，
，
解得，，
函数解析式为，即；
②直线经过、，
，
解得，，
函数解析式为，即；
因此以两条直线，的交点坐标为解的方程组是：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的解析式，待定系数法求函数解析式，二元一次方程组与一次函数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
18．如图，若直线y=kx+b与x轴交于点A（－4，0），与y轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y=x+2 B．y=2x+2 C．y=4x+4 D．y=x+4
【答案】A
【分析】
先利用三角形面积公式求出OB=2得到B（0，2），然后利用待定系数法求直线解析式．
【详解】
∵A（-4，0），
∴OA=4，
∵△OAB的面积为4
∵12×4×OB=4，解得OB=2，
∴B（0，2），
把A（-4，0），B（0，2）代入y=kx+b，
，
解得，
∴直线解析式为y=12x+2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数关系式：设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的二元一次方程组．
19．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】
根据横坐标分别求出A,B,C的坐标,利用坐标的几何性质求面积即可.
【详解】
解：当x=-1时
y=-2×(-1)+m=2+m,故A点坐标(-1,2+m);
当x=0时,
y=-2×0+m=m,故一次函数与y轴交点为(0,m);
当x=1时,y=-2×1+m=-2+m,故B点坐标(1,-2+m);
当x=2时,
y=-2×2+m=-4+m,故C点坐标(2,-4+m),
则阴影部分面积之和为×1×[m-(-2+m)]+×1×[(-2+m)-(-4+m)]=1+1+1=3,
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质,中等难度,利用坐标表示底和高是解题关键.
20．直线与的交点在第一象限，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
联立两直线解析式，解关于x、y的二元一次方程组，然后根据交点在第一象限，横坐标是正数，纵坐标是正数，列出不等式组求解即可．
【详解】
联立，
解得：，
∵交点在第一象限，
∴，
解得：．
只有符合要求．
故选：B．
【点睛】
本题考查了两直线相交的问题，第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数，以及一元一次不等式组的解法，把a看作常数表示出x、y是解题的关键．
21．如图，是在同一坐标系内作出的一条函数的图象l1，l2，设y=k1x+b1，y=k2x+b2，则方程组的解是（ ）．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】
结合图像，可知l1，l2分别经过 ( http: / / www.21cnjy.com )点（-2,3）和（4,1）和点（-1,0）和（0,-3）；通过求解二元一次方程组，可求得k1、b1、k2、b2，再经过求解二元一次方程组，即可得到答案．
【详解】
从图中可知：
y=k1x+b1经过点（-2,3）和（4,1）
∴
∴
∴
∵y=k2x+b2经过点（-1,0）和（0,-3）
∴
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次函数图像的性质，从而完成求解．
22．用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由于函数图象交点坐标为两函数解析 ( http: / / www.21cnjy.com )式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
【详解】
解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点(1，1)和点(0，-1)，
代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2，
所以其解析式为：y=2x-1，
设经过一、二、四象限的函数解析式为：y=mx+n，其经过点(1，1)和点(2，0)，
代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2，
所以其解析式为：y=-x+2，
因此所解得二元一次方程组为：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
23．已知直线与的图象如图所示，则二元一次方程组的解为( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点就是二元一次方程组的解可直接得到答案．
【详解】
∵ 与的图象交于点，
∴ 二元一次方程组的解为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满 ( http: / / www.21cnjy.com )足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
21*cnjy*com
24．以方程组的解为坐标的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
解方程组求得方程组的解，然后依据各象限内点的坐标特点求解即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：，
将代入得，
故该点的坐标为．
故选：．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数与二元一次方程组，求得方程组的解是解题的关键．
25．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ）
A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】
二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能 ( http: / / www.21cnjy.com )有一个，或两个方程有无数个解，或无解，因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线有一个交点或有无数个交点或没有交点．
【详解】
解：由于方程组的解即为两个函数的交点坐标，而方程组的解有三种可能：
①方程组无解；
②有一个解；
③有无数个解（此时两直线重合）；
所以，，的情况都有可能．
故选．
【点睛】
一次函数的解析式就是二元一次方程，因而把方 ( http: / / www.21cnjy.com )程组的解中的x的值作为横坐标，以y的值为纵坐标得到的点，就是一次函数的图象的交点坐标．方程组解的个数就是直线交点的个数．
26．直线与平行，则下列说法不正确的是（ ）
A．a=3 B．这两条直线没有交点
C．方程组无解 D．方程组有无穷多组解
【答案】D
【分析】
根据一次函数的图象与性质、平行线的性质、一次函数与二元一次方程组的联系即可得．
【详解】
直线与平行，
，则选项A正确；
平行线是没有交点的，即这两条直线没有交点，则选项B正确；
两条直线组成的方程组无解，即方程组无解，则选项C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质、平行线的性质、一次函数与二元一次方程组的联系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
（1）根据非负数的性质即可求得a的值，即可得到B（﹣2，2）；
（2）利用三角形面积公式求得即可判断；
（3）求得△OBC和△AOB的面积即可判断；
（4）S△BCP和S△AOB的值即可判断．
【详解】
解：（1）∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
（2）三角形ABO的面积＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
（3）设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A、B的坐标代入y＝kx+c，得：，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
令y＝0，则x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
（4）∵P的坐标是（﹣2，5），B（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
28．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
用y＝-x+4确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】
解：把P(m,1)代入y＝-x+4得-m+4＝1，解得m＝3，
所以P点坐标为(3，1)，
所以关于x、y的二元一次方程组的解是.
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程组．方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
29．在同一直角坐标系内，若直线y=2x-1与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞—1 B．m＜1 C．—1＜m＜1 D．—1≤m≤1
【答案】C
【分析】
联立两直线的解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【详解】
解：联立方程组，解得：，
∵交点在第四象限，
∴，解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了两直线的交点和一元一次不等式组的解法，属于常考题型，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活应用．
30．在平面直角坐标系中，将函数y ( http: / / www.21cnjy.com )=2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y=﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
【答案】D
【分析】
将直线y=2x的图象向上平移m个单位可 ( http: / / www.21cnjy.com )得：y=2x+m，求出直线y=2x+m，与直线y=﹣x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【详解】
将直线y=2x的图象向上平移m个单位可得：y=2x+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第二象限，
∴，
解得：m＞4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
二、填空题
31．若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】
联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第四象限列出不等式组求解即可．
【详解】
解：联立，
解得： ，
∵交点在第四象限，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了两直线相交的问题，一次函数图象与系 ( http: / / www.21cnjy.com )数的关系，解答此题的关键是解一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．
32．如果关于x，y的方程组无解，那么直线不经过第_____象限．
【答案】一、二．
【分析】
首先通过该方程组无解求出k，再确定出直线的解析式，根据其图像特征即可确定．
【详解】
解：∵方程组无解，
∴直线与平行，
∴，
解得，
∴直线经过第三、四象限，不经过第一、二象限．
故答案为：一、二．
【点睛】
本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，学生需明白方程组无解，即直线与平行，而直线平行，说明它们的一次项系数相等，求出k的值后，代入进而求解即可．本题用到了数形结合的思想方法，要求学生能理解并熟记相关概念和公式，同时做到灵活运用．
33．如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．
【答案】二
【分析】
根据二元一次方程组无解可得函数和无交点（即平行），由此可求得k的值，从而可得不经过第二象限．
【详解】
解：∵无解，
∴函数和无交点（即平行），
∴，解得，
∴，k>0，b<0，经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．
【点睛】
本题考查二元一次方程组与一次函数．理解二元一次方程组无解对应的一次函数平行是解题关键．
34．在平面直角坐标系中，直线和直线的交点的横坐标为．若，则实数的取值范围为____．
【答案】
【分析】
求出两直线交点的横坐标m，代入，求出b的取值范围即可．
【详解】
解：根据题意得，，
解得，，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了直线交点问题，构造方程求交点是解答本题的关键．
35．如图，已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线为轴交于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：
①方程组的解为；
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】①②④
【分析】
由题意①直线的交点即为该直线组成方程组时，该方程的解；
②通过已知条件，求解直线的未知数，通过判断两直线k的乘积是否为-1，即可；
③由②知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出△ABD的面积；
④求点C关于y轴的对称点，然后连接A，C1，与y轴的交点即为PA+PC的值最小的点；
【详解】
①由于直线的交点即为该直线组成方程组时的解；
∴ 的解，即为两条直线的交点，为：，故①正确；
②将点C的坐标和点B的坐标分别代入直线和；
可得：、、；
∴ 直线和；又两直线的k分别为：和；
又 ；∴ ；
∴ △BCD为直角三角形；故②正确；
③由②知，，，；∴ ，；
∴ △ABD的面积为：；故③不正确；
④由题，对点作关于y轴的对称点，又；
∴ 连接A，C1与y轴的交点即为最小值点；
设过点A，C1的直线为：；
将点A，C1的坐标代入，可得：，；∴过点A，C1的直线为：；
又与y轴的交点坐标为：；∴ 点P的坐标为：；故④正确；
故填：①②④；
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查一次函数的性质，关键在理解一次函数交点、垂直和对称问题，需要仔细审题．
三、解答题
36．已知过点的直线与直线的图象交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求，，的值；
（2）求直线与轴的交点的坐标；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）8，4，2；（2）；（3）14
【分析】
（1）把B点坐标代入l2解析式可得a ( http: / / www.21cnjy.com )的值，把A、B点坐标代入l1可得k、b的值；
（2）由（1）可得l2解析式，令 y=0，求出对应的x即可得到C点坐标；
（3）过B作BD⊥x轴于D，则四边形OABC的面积等于直角梯形OABD与三角形BDC的面积之和，由 O、A、B、D、C各点坐标可以求得图形中各线段的值，从而求出所求面积 ．
【详解】
解：由题意，将代入，得，
解得.
将，代入，得 解得
由可知，直线的解析式为，
令，解得，
∴ 点的坐标为.
如图，过点作 轴，垂足为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，，
，，，，
.
【点睛】
本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的解析式、利用拆分法求图形面积等方法是解题关键 ．
37．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，直线经过点，且与轴的负半轴交于点，若的面积为3．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点，的坐标；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）把点代入解析式即可求解出k值，再根据图象上点的坐标特征求解即可；
（2）根据三角形BCD的面积求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【详解】
解：（1）把点代入，得，解得，
∴直线，令，则，
∴，
∵直线经过，
∴，解得，
∴．
（2）如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵且，
∴，
∴，
点在轴的负半轴上，且
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得D的坐标是解题的关键．
38．在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小朱对函数的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）小朱列出如下表格，请同学们求出，，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
…… 0 1 2 3 ……
…… 5 3 1 _____ _____ ……
（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有________；
①函数图象关于轴对称； ②此函数无最大值；③此函数有最小值，且最小值为；④当时，随的增大而增大；
（3）若直线与函数的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
（1），图象见详解；（2）②③；（3）
【分析】
（1）先求出，，再列表，描点、连线画出函数图象即可；
（2）观察图象即可得解；
（3）根据题意，由图象可知直线过点（0，-2），且在到范围内，分析可得解.
【详解】
解：（1），因为，所以 ；因为，所以，
列表：
…… 0 1 2 3 ……
…… 5 3 1 -1 -3 ……
描点、连线，画出函数图象如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）观察图象可知，
函数图象不关于轴对称.故①不正确；
此函数无最大值.故②正确；
此函数有最小值，且最小值为.故③正确;
当时，随的增大而减小.故④不正确
故答案为：②③；
（3） .
根据题意，由图象可知直线过点（0，-2），
如图， ，所以.
直线过点（2，-3），所以，所以，
结合图象可知，直线过点（0，-2），且在到范围内.
所以，当时，直线与函数的图象始终有两个交点．
【点睛】
本题考查了函数的图象和性质，一次函数与分段函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
39．小明从学校出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆，小明出发的同时，同学小阳以每分钟80米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，两人离学校的路程（单位：米）与时间x（单位：分钟）的函数图象如图所示．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）阅读分析题目的文字及图象信息，直接写出能推理得到的三条不同的结论；
（2）若小明在图书馆停留5分钟后沿原路按原速返回，请补全小明离学校的路程与x的函数图象；
（3）小明从学校出发，经过多长时间在返校途中追上小阳？
【答案】（1）①小明骑车的速度为每分钟240米；②点C的坐标为；③线段OA的函数表达式为；④线段BC是小阳离校的路程与时间的函数图象；（2）见解析；（3）22.5分钟
【分析】
（1）观察图形分析可得①小明骑车的速度为每分钟240米；②点C的坐标为；③线段OA的函数表达式为；④线段BC是小阳离校的路程与时间的函数图象.【出处：21教育名师】
（2）用点D表休息5分钟后起点，则AD=5，用E点表示返回学校点E（25,0）补全图象如图所示：
（3）设待定系数法求DE 与BC解析式
小明从学校出发在返校途中追上小阳由解方程组即可．
【详解】
解：（1）答案不唯一，如：
①小明骑车的速度为每分钟240米；
②点C的坐标为；
③线段OA的函数表达式为；
④线段BC是小阳离校的路程与时间的函数图象；
（2）用点D表休息5分钟后起点，则AD=5，
∵原路按原速返回，返回时间与去时时间相同，用E点表示返回学校点E（25,0）
补全图象如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）设DE的表达式为，
∵，，
∴
解得
∴．
∵小阳以每分钟80米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，
所用时间2400÷80=30分钟，
∴点C（30，0），
设BC解析式为，
代入坐标得，
解得，
小明从学校出发在返校途中追上小阳，
由
得
答：小明从学校出发，经过22.5分钟追上小阳．
【点睛】
本题考查图像获取信息，待定 ( http: / / www.21cnjy.com )系数法求直线解析式，补画函数图像，利用函数解析式组成方程组求追及时间，掌握图像获取信息，待定系数法求直线解析式，补画函数图像，利用函数解析式组成方程组求追及时间．
40．某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m 2
其中m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
（3）观察函数图象发现：
①该函数的最小值为 ；该函数是轴对称图形吗？ （填“是”或“否”）；若是，其对称轴是 ．
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是 ．
（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①-2；是，y轴；②；（4）
【分析】
（1）将x=3代入函数解析式中求出y值，即可得出结论；
（2）根据表格数据，描点补充完图形；
（3）根据函数图象，此题得解；
（4）根据函数图象即可求得．
【详解】
解：（1）当x=3时，，
∴m=1，
故答案为：1；
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）观察函数图象，
①该函数的最小值为-2；
该函数是轴对称图形，其对称轴是y轴；
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是；
故答案为：①-2；是，y轴；②；
（4）作出函数的图象，
观察函数图象知，的图象与的图象的交点为(1，-1)，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴方程组的解是．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
41．如图，直线分别与x轴，y轴交于A B两点，A B的坐标分别为、，过点B的直线交x轴于点C，点是直线l上的一点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求C D的坐标；
（Ⅲ）求的面积．
【答案】（Ⅰ）y=-x+3；（Ⅱ）C点坐标为（-6，0），D点坐标为（-2，6）；（Ⅲ）12
【分析】
（Ⅰ）利用待定系数法求AB的解析式；
（Ⅱ）先解方程x+3=0得C点坐标为（-6，0），然后把D（n，6）代入y=-x+3中求出n得到D点坐标；
（Ⅲ）利用三角形面积公式，根据S△BCD=S△DAC-S△BAC进行计算．
【详解】
解：（Ⅰ）设直线l1的解析式为y=kx+b，
把A（2，0）、B（0，3）代入得
，
解得，
∴直线l1的解析式为y=-x+3；
（Ⅱ）当y=0时，x+3=0，解得x=-6，
∴C点坐标为（-6，0），
把D（n，6）代入y=-x+3得-n+3=6，解得n=-2，
∴D点坐标为（-2，6）；
（Ⅲ）S△BCD=S△DAC-S△BAC
=×（2+6）×6-×（2+6）×3
=12．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式： ( http: / / www.21cnjy.com )求正比例函数，只要一个已知点的坐标就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．2-1-c-n-j-y
42．如图，直线y＝﹣x＋m与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点A，点C为x轴上一点，且已知S△ABC＝4
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线AB的解析式；
（2）求C点坐标．
【答案】（1）y＝﹣x＋4；（2）C（2，0）或（6，0）
【分析】
（1）先把B点坐标代入y=-x+m求出m的值 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而得到直线AB的解析式为y=-x+4，
（2）求出A点坐标，接着利用三角形面积公式计算出BC，即可得到C（2，0）或（6，0）；
【详解】
解：（1）把B（4，0）代入y＝﹣x＋m得，
﹣4＋m＝0，
解得m＝4，
所以直线AB的解析式为y＝﹣x＋4；
（2）当x＝0时，y＝﹣x＋4＝4，则A（0，4），
∵S△ABC＝4，
∴BC 4＝4，解得BC＝2，
∵B（4，0）
∴
∴或
∴C（2，0）或（6，0）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
43．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 C，直线与 轴交于点 A，与直线交于点 B，设点 B的横坐标为﹣2．
（1）求点B的坐标及的值；
（2）求直线、直线与轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）B（﹣2，5）；； （2）6； （3）＜﹣2．
【分析】
（1）利用点在直线上点的坐标满足解析式求B（﹣2，5）．把B点代入解析式求=6；
（2）先求出A（0，6），C（0，1）；再求AC的长，用面积公式求即可；
（3）不等式从图像上可以表现为直线位于直线上方部分，找到分界交点即可．
【详解】
解：（1）当=﹣2时，=﹣2×（﹣2）+1=5，
则B（﹣2，5）．
把B（﹣2，5）代入得﹣2+=5，
解得=7；
（2）当=0时，=1，
则C（0，1）；
当=0时，=+7=7，
则A（0，7），
所以AC=7﹣1=6，
所以S△ABC=×6×2=6；
（3）不等式从图像上可以表现为直线位于直线上方部分，
满足条件的范围在交点B的左侧即＜﹣2．
【点睛】
本题考查了一次函数图像上点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标特征，两直线与坐标轴围成三角形面积，利用图像求不等式的解集，掌握一次函数图像上点的坐标特征，两直线与坐标轴围成三角形面积，利用图像求不等式的解集是解题关键．
44．某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度．按照新标准，用户每月缴纳的水费（元）与每月用水量之间的关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式；
（2）若某用户三月份缴纳水费63元，则该用户三月份的用水量是多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，函数图像过原点，是正比例函数，当时，函数图像是不过原点的射线，是一次函数，再利用待定系数法求解函数解析式即可得到答案；
（2）由某用户三月份缴纳水费63元，可得该用户三月份的用水量超过15吨，再把代入求解的值即可得到答案．
【详解】
解：（1）当时，
设，则，
∴，
∴；
当时，设，
∴，
解得，
∴与的关系式是；
（2）∵，
∴该用户三月份的用水量超过15吨，
当时，，
∴，
∴该用户三月份的用水量是．
【点睛】
本题考查的是一次函数的实际应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，根据函数值求解自变量的值，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
45．已知直线：经过点，，与轴交于点，直线：与轴交于点，直线与直线相交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图中画出直线的图象，并求出其解析式；
（2）求出的面积．
【答案】(1)图象见解析，，(2);
【分析】
(1)描出，两点，作直线即可画出图象，用待定系数法即可求解析式；
（2）求出A、B、C点坐标，根据三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：(1)在平面直角坐标系中描出，两点，作直线就是所画图象，如图所示；
把，两点代入得，
，解得，，
直线的解析式为，
(2)把y=0代入得，，解得，，则A点坐标为（，0）；
把y=0代入得，，解得，，则B点坐标为（，0）；
两个函数图象与y轴交于（0，3），则C点坐标为（0，3）；
；
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了一次函数图象的画法和待定系数法求解析式以及一次函数交点问题，解题关键是熟练运用待定系数法进行计算，会数形结合画函数图象．
46．如图，直线分别与轴、轴交于A、B两点．过点B的直线交轴于点C．点D是直线上的一点，连接CD．
（1）求AB的长和点D的坐标；
（2）求△BCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1），D的坐标为（﹣2，6）；（2）S△BCD=12
【分析】
（1）根据题意易求出点A的坐标和点B的坐标，再利用两点的距离公式即可求出AB长；由点D(n，6)是直线l1上的一点，即可求出D点坐标．
（2）过点D作轴，交BC于点E．由点D坐标可求出点E纵坐标，即可求出DE的长．再由交x轴于点C，即可求出C点坐标．最后利用三角形面积公式即可．
【详解】
（1）∵直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，
令x=0，y=3；令y=0，即，解得．
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，3)，
∴，
∵点D(n，6)是直线l1上的一点，
∴，解得：n=-2，
∴点D的坐标为(-2，6)．
（2）过点D作轴，交BC于点E，如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵点D的坐标为(-2，6)，
∴点E的横坐标为-2，
∵点E在直线上，
∴，
∴．
∵直线l2：交x轴于点C，
令y=0，即，解得．
∴点C的坐标为(-6，0)，
∴OC=6．
∴S△BCD=OC DE=×6×4=12．
【点睛】
本题考查一次函数在几何中的应用．掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标，两点的距离公式，函数图象上点的坐标符合其解析式是解答本题的关键．
47．在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求直线l的函数关系式；
（2）△BOC的面积为6，C在x轴上，求C点坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）y= x+4；（2）C（3，0）或（-3，0）
【分析】
（1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；
（2）求出直线与y轴的交点，由三角形面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）设直线l的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
把（3，1），（1，3）代入①得
，
解得，
∴直线l的函数关系式为y=-x+4；
（2）当x=0时，y=4，
∴B（0，4），
当y=0，-x+4=0，
解得x=4，
∴A（4，0），
∴OB=4,OA=7
∵S△BOC=CO BO=×CO×4=6
∴CO=3
∴C（3，0）或（-3，0）．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，在平面直角坐标系中找出点的坐标或边的长度是解题的关键．
48．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足＋|OA﹣1|＝0
（1）写点A、B的坐标及直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点D，使以点B、C、D为顶点的三角形的面积S△BCD＝S△ABC？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）A（1，0），B（0，2），y＝﹣2x＋2；（2）存在，D的坐标为（，0）或（，0）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到OA、OB的长，即可得到点A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求得△ABC的面积，然后根据S△BCD=S△ABC得到关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得D的坐标．
【详解】
解：（1）∵＋|OA﹣1|＝0
∴OB2﹣4＝0，OA﹣1＝0，
∴OB＝2（负值舍去），OA＝1，
∴A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），
设AB的解析式为y＝kx＋2，将点A的坐标代入得0＝k＋2，
∴k＝﹣2
∴y＝﹣2x＋2；
（2）存在，
设D的坐标为（x，0），
∵A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），点C（﹣4，0），
∴AC＝5，
∴S△ABC＝＝5，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴S△BCD＝＝，即|x﹣（﹣4）|×2＝，
∴|x＋4|＝，
∴x＝﹣或x＝﹣，
∴D的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积公式以及一次函数的综合应用，解题的关键是根据三角形面积公式列出方程．
49．在平面直角坐标系中，O为原点，直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）．
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（Ⅰ）①P（3，3）；②y=x2﹣2x；（Ⅱ）m=或m=．
【分析】
（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组，求得该方程组的解即为点P的坐标；②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y＝tx、直线EA的解析式为：y＝（2＋t）x 2（2＋t）．则tx＝（2＋t）x 2（2＋t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y＝x2 2x；
（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P为（2﹣，2t﹣）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），则OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，所以1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简得到t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．通过解该方程可以求得m与t的关系式．
【详解】
解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，
∴E（1，﹣3）．
又∵A（2，0），点E在直线EA上，
∴，
解得：，
∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，
则，
解得，
∴点P的坐标是（3，3）．
②由已知可设点F的坐标是（1，t），
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．
又点A、E在直线EA上，
∴，
解得，
∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．
则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；
（Ⅱ）如图，过点P作PQ⊥l于点Q，连接OQ，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由（Ⅰ）可得：直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），
化简，得x=2﹣．
有y=tx=2t﹣，
∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．
∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），
∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2．
∵OQ=PQ，
∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，
化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．
又∵t≠0，
∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，
解得：m=或m=．
则m=或m=即为所求．
【点睛】
本题属于一次函数的综合题．考查了待定系数法 ( http: / / www.21cnjy.com )求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
50．如图，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝﹣x+b相交于点P（2，2），直线l2与x轴、y轴分别相交于点B、点A．2·1·c·n·j·y
（Ⅰ）求k和b的值；
（Ⅱ）求△OBP的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（Ⅰ）k＝1，b＝4；（Ⅱ）△OBP的面积＝4
【分析】
（Ⅰ）将点P（2，2）的坐标分别代入 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝kx和y＝﹣x+b中，即可得到k，b的值；
（Ⅱ）根据直线y＝﹣x+4求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】
解：（Ⅰ）∵直线y＝kx与直线y＝﹣x+b 相交于点 P（2，2），
∴2k＝2，﹣2+b＝2，
∴k＝1，b＝4；
（Ⅱ）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点B．
∴﹣x+4＝0，
∴x＝4，
∴点B坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∴△OBP的面积＝．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
51．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）b＝2；（2）；（3）经过，见解析；（4）x≥1
【分析】
（1）把P（1，b）代入直线l1：y=x+1即可求出b的值；
（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点坐标；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断；
（4）根据点P（1，b）即可得到结论．
【详解】
解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2．
（2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P的坐标，
即解为：
（3）∵l2：y＝mx＋n经过P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也经过P点．
（4）x+1≥mx+n的解集可理解为直线l1 ( http: / / www.21cnjy.com )：y＝x＋1的图像在直线l2：y＝mx＋n的图像上方部分，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)观察图像可得：x≥1．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．
52．已知，直线与直线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求两直线与轴交点，的坐标；
（2）求两直线交点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）A（0，3），B（0，-5）；（2）点的坐标为（-2，-1）；（3）S△ABC=8．
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建方程组确定交点坐标即可；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，根据S△ABC=AB CD计算即可．
【详解】
解：（1）在y=2x+3中，当x=0时，y=3，即A（0，3），
在中，当x=0时，y=-5，即B（0，-5）；
（2）依题意，得，
解得，
∴点C的坐标为（-2，-1）；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴CD=2，
∵AB=3-（-5）=8；
∴S△ABC=AB CD=×8×2=8．
【点睛】
本题考查两条直线平行或相交问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
53．如图，直线与直线交于点．
（1）求点坐标；
（2）在轴上找一点使得最小，求的长；
（3）若为直线上一点，当面积为6时，求的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】
（1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可；
（2）将B沿着x轴对称至B1，连接B1E，与x轴交点即为所求F点，然后通过直线B1E的解析式求解F点的坐标即可得出结论；
（3）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可．
【详解】
（1）联立，解得：，
∴；
（2）如图所示，将B沿着x轴对称至B1，
由直线AB的解析式可得：，则，
此时，连接B1E，与x轴交点即为所求F点，
设直线B1E的解析式为：，
将，代入得：
，解得：，
∴直线B1E的解析式为：，
令，解得：，
即：F的坐标为，
∴；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）由两直线解析式可得，，
，
①当P点在x轴下方时，，
即：，
则，
解得：或（舍去），
将代入，解得：，
∴；
②当P点在x轴上方时，，
即：，
则，
解得：或（舍去），
将代入，解得：，
∴；
综上，所有满足条件的P的坐标为，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，掌握求函数图象交点的方法以及求最短路径的方法是解题关键．
54．已知点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴于点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线的表达式．
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）6
【分析】
（1）设直线的表达式为，把，代入求解即可；
（2）根据题意得出A的坐标求解即可；
【详解】
（1）设直线的表达式为，
把，分别代入，得，
，
解得，
∴；
（2）令，则，
解得，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．
55．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及－次函数的图象分别交于点、，点的坐标为．
（1）关于、的方程组的解为 ．
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）；（2）6；（3）存在，或
【分析】
（1）直接结合题意和图象即可得出结论；
（2）分别求出，的坐标，由计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点E为直角顶点时 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点D作DE1⊥x轴于E1，即可得出结论；②当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；③当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2．设E2（t，0），利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）由图象可知：关于x、y的方程组的解为；
故答案为：；
（2）由题意可直接得出，
将代入，解得：，
∴，，
∴；
（3）如图，①当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1．
∵D（-2，-4），
∴E1（-2，0）
②当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E．
③当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2．设E2（t，0）．
∵C（-1，0），E1（-2，0），
∴CE2=-1-t，E1E2=-2-t．
∵D（-2，-4），
∴DE1=4，CE1=-1-（-2）=1．
在中，由勾股定理得：．
在中，由勾股定理得：．
在中，由勾股定理得：．
∴（-1-t）2=t2+4t+20+17
解得：t=-18．
∴E2（-18，0）．
综合上所述：点E坐标为（-2，0）或（-18，0）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数与方程组，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
56．如图，直线L1： 与轴，轴分别交于A，B两点，点P（，3）为直线AB上一点，另一直线L2：经过点P．
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和的值；
（3）若点C是直线L2与轴的交点，点Q是轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）A（2，0），B（0，2）；（2）P（－1，3），k＝1；（3）Q（－6，0）或（－2，0）
【分析】
(1)对于直线L1： y= x+2 ，令y＝0求出x的值，确定A的坐标，令x＝0，求出y的值，确定B的坐标；
(2)将P代入直线y＝﹣x＋2中，求出m的值，确定点P坐标，再将点P的坐标代入直线L2： y=kx+4 ，求出k的值．
(3)先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式，△CPQ的面积等于3时，求出底边CQ的长度，再确定点Q的坐标．
【详解】
解：如图
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）由题意可知，直线AB的关系式为y＝﹣x＋2，
令y＝0，
∴﹣x＋2＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）
（2）∵P点在直线y＝﹣x＋2上
∴－m＋2＝3
∴m＝－1
∴P点（－1，3）
∵直线y＝kx＋4经过点P．
∴－k＋4＝3
∴k＝1
（3）由（2）知直线L2关系式为y＝x＋4
∵点C是直线L2与x轴的交点
令y＝0，
∴x＋4＝0，
∴x＝－4，
∴C（－4，0）
S△CPQ＝CQ yP＝×CQ×3＝3
∴CQ＝2
∴Q（－6，0）或者（－2，0）
【点睛】
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形面积求法，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.
57．已知：如图，一次函数与的图象相交于点A（1，n），
（1）求，的值；
（2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点求的面积；
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1），；（2）9；（3）
【分析】
（1）先把A（1，n）代入中求出，则A（1，-3），然后把A点坐标代入可求出；
（2）先确定B、C的坐标，然后利用三角形面积公式求解；
（3）利用函数图象写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
（1）把A（1，n）代入得，解得，
∴A（1，-3），
把A（1，-3）代入得，解得；
（2）当时，，解得，则B（-2，0），
当时，，解得，则C（4，0），
∴△ABC的面积；
（3）当时，直线在直线的上方，
∴时，的取值范围是．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次不等式的关系，两条直线相交或平行问题，一次函数图形上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
58．已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求A点坐标；
（2）求的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．
【答案】（1）A点坐标为；（2）；（3）P点的坐标是或或或
【分析】
（1）联立方程组求解即可；
（2）求出点B的坐标计算即可；
（3）根据OA为腰和底边分类讨论，结合等腰三角形的性质计算即可；
【详解】
解：（1）由，
解得：，
∴A点坐标为；
（2）∵与y轴相交于点B，则B点坐标为，
∴；
（3）P点的坐标是或或或；
当OA是腰，O是顶角的顶点时，，则P的坐标是或；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，，则P与O关于对称，则P的坐标是；
当OA是底边时，OA的中点是，设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：；
根据题意得：，
直线的解析式是：，
当时，，
∴P点坐标为；
综上所述，P点的坐标是或或或．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的应用，准确分析计算是解题的关键．
59．如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，直线经过点和点．
（1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
（2）如图1，已知直线经过点和轴上一点，，点是直线位于轴右侧图象上一点，连接，且，21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
①求点坐标；
②将沿直线平移得到，平移后的点与点重合，点为上的一动点，当的值最小时，请求出最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，将点向左平移4个单位到点，直线经过点和，点是点关于轴的对称点，直线经过点和，动点从原点出发沿着轴正方向运动，连接，过点作直线的垂线交轴于点，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）－2；0；0；－6；（2）①；②最小值为，点N的坐标为；（3）或或
【分析】
（1）根据两个非负数和为0的性质即可求得点A、B的坐标；
（2）①先求得直线AB的解析式，根据求得，继而求得点的横坐标，从而求得答案；
②先求得直线AM的解析式及点的坐标，过作轴，垂足为点Q，过点N作，垂足为点H，求得，即为最小值，即点为所求，求得点的坐标，再求得的长即可；
（3）先求得直线BD的解析式，设点，同理求得直线的解析式，求出点的坐标为 ，证得，分∠QGE为直角、∠EQG为直角、∠QEG为直角，三种情况分别求解即可．
【详解】
（1）∵，
且，．
∴，．
∴，，
∴，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
故答案为：－2；0；0；－6；
（2）①设直线解析式为：，
将，代入，
得，
解得，
∴直线解析式为：，
∵，
，
且，
∴，
又∵点A坐标为，且点P在y轴右侧，
∴，
令，得，
∴点P的坐标为；
②如图，过作轴，垂足为点Q，
过点N作，垂足为点H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据平移可知，
∴．
∴，
∴，
根据两点之间，线段最短可知，
当点H，N，P在同一条直线上时，最短．
∵点，，
∴，，
∴点M坐标为．
∴可知所在直线为：，
由平移可知，，，
∴点坐标为．
又由①知点P坐标为，
∴点H坐标为，
∴，
将代入直线得，
∴点N的坐标为；
（3）由题意可知：点A坐标为，点B坐标为，
∴点C坐标为，点D坐标为，
∴所在直线，
设点，同理直线的解析式为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
当时，，则，
则直线的解析式为： ，
故点的坐标为 ，
即，
①当为直角时，如下图，
∵为等腰直角三角形，
∴，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则点的坐标为 ，
将点的坐标代入直线的解析式并解得：，
故点；
②当为直角时，如下图，作于，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴∥轴，、和都是底边相等的等腰直角三角形，
∴，
∴，
则点的坐标为 ，
将点的坐标代入直线的解析式并解得：，
故点；
③当为直角时，如下图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得点的坐标为 ，
将点的坐标代入直线的解析式并解得：，
故点；
综上，点的坐标为：或或．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，待定系数法求函数解析式、涉及到线段和的最值、等腰直角三角形的性质等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．21教育网
60．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若P为x轴上 ( http: / / www.21cnjy.com )一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
【答案】（1）点C的坐标为（4，3）；（2）Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；（3）y=x﹣7．
【分析】
（1）解析式联立，解方程组即可求得C的坐标；
（2）求得A、B点的坐标，分两种情况讨论求得即可；
（3）设P的坐标为（m，0），作 ( http: / / www.21cnjy.com )CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，通过证得△PCM≌△C′PN（AAS），求得C′（3+m，m-4），即可得出结论．
【详解】
（1）由方程组得，
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，8），
∵点Q在直线AB上，
∴设Q（x，），
当Q点在C的上方时，S△OCQ=S△OBC﹣S△OBQ=12，
∴×8×4﹣=12，解得，x=1，
∴此时Q的坐标为（1，）；
当Q点在线段AC上时，
S△OAC=××3=9.6<12，不存在，舍去；
当Q点在A的下方时，S△OCQ=S△OAC+S△OAQ=12，
∴××3+=12，解得，x=7，
∴此时Q的坐标为（7，﹣），
故Q点的坐标为（1，）或（7，﹣）；
（3）设P的坐标为（m，0），作CM⊥x轴于M，C′N⊥x轴于N，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵C（4，3），
∴OM=4，CM=3，
∴PM=，
∵∠CPM+∠C′PN=90°=∠CPM+∠PCM，
∴∠C′PN=∠PCM，
在△PCM和△C′PN中，
，
∴△PCM≌△C′PN（AAS），
∴PN=CM=3，C′N=PM=4﹣m，
∴ON=3+m，
∴C′（3+m，m﹣4），
∴点C′始终在直线上y=x﹣7运动，
故答案为：y=x﹣7．
【点睛】
本题考查了两条直线相交问题，一 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，解题的关键：（1）解由解析式联立构成的方程组；（2）分类讨论；（3）表示出C′的坐标．www-2-1-cnjy-com
61．如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；
（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）A点的坐标为（4，2）；（2）N的坐标为（），（）；（3）∠ACO+∠BCO=45°
【分析】
（1）利用直线AO与直线AC交点为A即可求解；
（2）先求出MN的长，再设设M的坐标为（a，2a-6），则则N的坐标为（a，），表示出MN的长度解方程即可；
（3）作∠GCO=∠BCO，把∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACO+∠BCO转化成∠ACG。题目条件没出现具体角度，但结论又要求角度的，这个角度一定是一个特殊角，即∠ACG的度数一定是个特殊角；即∠ACG处于一个特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的辅助线思路，运用勾股定理知识即可解答．
【详解】
（1）联立和得：
解得
A点的坐标为（4，2）；
（2）∵A点的坐标为（4，2）
∴OA=，
∴MN=OA=2，
∵点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，
∴设M的坐标为（a，2a-6），则N的坐标为（a，），
则存在以下两种情况：
①当M在N点下方时，如图3，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则MN=-（2a-6）=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
②当M在N点上方时，如图4，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则MN=（2a-6）-=2，解得a=，
∴N点的坐标为（）；
综上所述，N的坐标为（），（）
（3）∵△BOC与△AOC有相同的底边OC，
∴当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，△BOC的高OB的长度是△AOC的高的一半，
∴OB=2，
设直线AC与x轴的交点为点D，则D（3，0），
作点B关于y轴的对称点G，则OG=0B=2，GD=5，∠BCO=∠GCO，
则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，
连接GC，作DE⊥GC于点E，如图5
( http: / / www.21cnjy.com / )
由勾股定理可得：GC=，DC=，
在△CGD中，由等面积法可得：OC DG=DE GC，
可得DE=，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=，
∴ED=EC，∴∠ECD=45°，即∠ACO+∠BCO=45°．
【点睛】
本题考查一次函数的综合运用，坐标结合勾股定理计算边长是解题的关键.
62．如图，直线l1的函数解析式为y=﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．21cnjy.com
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）直线l2的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )解析式为y=x﹣5（2）3（3）在直线l2上存在点P（1，﹣4）或（9，4），使得△ADP面积是△ADC面积的2倍．
【详解】
试题分析：（1）根据A、B的坐标，设直线l2的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数发求出函数l2的解析式；
（2）由函数的解析式联立方程组，求解方程组，得到C点坐标，令y=-2x+4=0，求出D点坐标，然后求解三角形的面积；
（3）假设存在，根据两三角形面积间的关系|yP|=2|yC|，=4，再根据一次函数图像上点的坐标特征即可求出P点的坐标.
试题解析：（1）设直线l2的函数解析式为y=kx+b，
将A（5，0）、B（4，﹣1）代入y=kx+b，
，解得： ，
∴直线l2的函数解析式为y=x﹣5．
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得： ，
∴点C的坐标为（3，﹣2）．
当y=﹣2x+4=0时，x=2，
∴点D的坐标为（2，0）．
∴S△ADC=AD |yC|=×（5﹣2）×2=3．
（3）假设存在．
∵△ADP面积是△ADC面积的2倍，
∴|yP|=2|yC|=4，
当y=x﹣5=﹣4时，x=1，
此时点P的坐标为（1，﹣4）；
当y=x﹣5=4时，x=9，
此时点P的坐标为（9，4）．
综上所述：在直线l2上存在点P（1，﹣4）或（9，4），使得△ADP面积是△ADC面积的2倍．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
6.5 用一次函数与二元一次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
2．一次函数y＝2x+4的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y随x的增大而增大 B．直线y＝2x+4经过点（0，4）
C．当x<0时，y<4 D．坐标原点到直线y＝2x+4的距离为
3．已知一次函数y=x+a与y=﹣x+b的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．，
5．如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，以线段为一条边向右侧作矩形，且点在直线上，若矩形的面积为20，直线与直线交于点．则的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6．如图，经过点和经过原点和点，以两条直线的交点坐标为解的方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
7．如图，一次函数的图象分别交、轴于点、，与正比例函数的图象交于第一象限内的点，则的面积为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12 B．24 C．27 D．48
8．如图，点A、B、C在一次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积的和是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．3 B．3.6 C．4.8 D．6
9．若直线和相交于点，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
10．若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
12．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
13．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
14．如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝x+2在第二象限交于A，y＝x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组的解为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
15．若直线与直线的交点在第四象限，则b的取值范围是( )
A． B． C． D．
16．若方程组无解，则一次函数的图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
17．图中以两直线，的交点坐标为解的方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
18．如图，若直线y=kx+b与x轴交于点A（－4，0），与y轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．y=x+2 B．y=2x+2 C．y=4x+4 D．y=x+4
19．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1 B．3 C． D．
20．直线与的交点在第一象限，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，是在同一坐标系内作出的一条函数的图象l1，l2，设y=k1x+b1，y=k2x+b2，则方程组的解是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．不能确定
22．用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像如图所示，则方程组是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
23．已知直线与的图象如图所示，则二元一次方程组的解为( )．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
24．以方程组的解为坐标的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ）
A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能
26．直线与平行，则下列说法不正确的是（ ）
A．a=3 B．这两条直线没有交点
C．方程组无解 D．方程组有无穷多组解
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：www.21-cn-jy.com
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
29．在同一直角坐标系内，若直线y=2x-1与直线y=-2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞—1 B．m＜1 C．—1＜m＜1 D．—1≤m≤1
30．在平面直角坐标系中，将函数y=2x的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y=﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜4 C．m≥4 D．m＞4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为______．
32．如果关于x，y的方程组无解，那么直线不经过第_____象限．
33．如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．
34．在平面直角坐标系中，直线和直线的交点的横坐标为．若，则实数的取值范围为____．
35．如图，已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线为轴交于点，为轴上任意一点，连接、，有以下说法：
①方程组的解为；
②为直角三角形；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
其中正确的说法是______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
36．已知过点的直线与直线的图象交于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求，，的值；
（2）求直线与轴的交点的坐标；
（3）求四边形的面积．
37．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，直线经过点，且与轴的负半轴交于点，若的面积为3．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点，的坐标；
（2）求直线的解析式．
38．在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小朱对函数的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：21*cnjy*com
（1）小朱列出如下表格，请同学们求出，，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
…… 0 1 2 3 ……
…… 5 3 1 _____ _____ ……
（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有________；
①函数图象关于轴对称； ②此函数无最大值；③此函数有最小值，且最小值为；④当时，随的增大而增大；21*cnjy*com
（3）若直线与函数的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
39．小明从学校出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆，小明出发的同时，同学小阳以每分钟80米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，两人离学校的路程（单位：米）与时间x（单位：分钟）的函数图象如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）阅读分析题目的文字及图象信息，直接写出能推理得到的三条不同的结论；
（2）若小明在图书馆停留5分钟后沿原路按原速返回，请补全小明离学校的路程与x的函数图象；
（3）小明从学校出发，经过多长时间在返校途中追上小阳？
40．某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m 2
其中m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．
（3）观察函数图象发现：
①该函数的最小值为 ；该函数是轴对称图形吗？ （填“是”或“否”）；若是，其对称轴是 ．
②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是 ．
（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
41．如图，直线分别与x轴，y轴交于A B两点，A B的坐标分别为、，过点B的直线交x轴于点C，点是直线l上的一点，连接．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求C D的坐标；
（Ⅲ）求的面积．
42．如图，直线y＝﹣x＋m与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点A，点C为x轴上一点，且已知S△ABC＝4【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线AB的解析式；
（2）求C点坐标．
43．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 C，直线与 轴交于点 A，与直线交于点 B，设点 B的横坐标为﹣2．【版权所有：21教育】
（1）求点B的坐标及的值；
（2）求直线、直线与轴所围成的△ABC的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集．
( http: / / www.21cnjy.com / )
44．某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度．按照新标准，用户每月缴纳的水费（元）与每月用水量之间的关系如图所示．21教育名师原创作品
（1）求关于的函数解析式；
（2）若某用户三月份缴纳水费63元，则该用户三月份的用水量是多少？
( http: / / www.21cnjy.com / )
45．已知直线：经过点，，与轴交于点，直线：与轴交于点，直线与直线相交于点．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）在图中画出直线的图象，并求出其解析式；
（2）求出的面积．
46．如图，直线分别与轴、轴交于A、B两点．过点B的直线交轴于点C．点D是直线上的一点，连接CD．
（1）求AB的长和点D的坐标；
（2）求△BCD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
47．在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．（1）求直线l的函数关系式；
（2）△BOC的面积为6，C在x轴上，求C点坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
48．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足＋|OA﹣1|＝02·1·c·n·j·y
（1）写点A、B的坐标及直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点D，使以点B、C、D为顶点的三角形的面积S△BCD＝S△ABC？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
49．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l ( http: / / www.21cnjy.com )：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）．
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．
( http: / / www.21cnjy.com / )
50．如图，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝﹣x+b相交于点P（2，2），直线l2与x轴、y轴分别相交于点B、点A．
（Ⅰ）求k和b的值；
（Ⅱ）求△OBP的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
51．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
( http: / / www.21cnjy.com / )
52．已知，直线与直线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求两直线与轴交点，的坐标；
（2）求两直线交点的坐标；
（3）求的面积．
53．如图，直线与直线交于点．
（1）求点坐标；
（2）在轴上找一点使得最小，求的长；
（3）若为直线上一点，当面积为6时，求的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com / )
54．已知点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴于点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求直线的表达式．
（2）求的面积．
55．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及－次函数的图象分别交于点、，点的坐标为．
（1）关于、的方程组的解为 ．
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
56．如图，直线L1： 与轴，轴分别交于A，B两点，点P（，3）为直线AB上一点，另一直线L2：经过点P．【出处：21教育名师】
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和的值；
（3）若点C是直线L2与轴的交点，点Q是轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标
( http: / / www.21cnjy.com / )
57．已知：如图，一次函数与的图象相交于点A（1，n），
（1）求，的值；
（2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点求的面积；
（3）结合图象，直接写出时的取值范围．
( http: / / www.21cnjy.com / )
58．已知正比例函数与一次函数的图象交于点A，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求A点坐标；
（2）求的面积；
（3）已知在x轴上存在一点P，能使是等腰三角形，请直接写出所有符合要求的点P的坐标．
59．如图，在平面直角坐标系中，，，且，满足，直线经过点和点．
（1）点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）；
（2）如图1，已知直线经过点和轴上一点，，点是直线位于轴右侧图象上一点，连接，且，
( http: / / www.21cnjy.com / )
①求点坐标；
②将沿直线平移得到，平移后的点与点重合，点为上的一动点，当的值最小时，请求出最小值及此时点的坐标；
（3）如图2，将点向左平移4个单位到点，直线经过点和，点是点关于轴的对称点，直线经过点和，动点从原点出发沿着轴正方向运动，连接，过点作直线的垂线交轴于点，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由？
( http: / / www.21cnjy.com / )
60．如图，已知一次函数y=﹣x+8的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，与一次函数y=x的图象相交于点C．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求点C坐标．
（2）若点Q在直线AB上，且△OCQ的面积等于12，请求出点Q的坐标．
（3）小明在探究中发现：若 ( http: / / www.21cnjy.com )P为x轴上一动点，将线段PC绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PC'，在点P的运动过程中，点C′始终在某一直线上运动．请直接写出该直线所对应的函数关系式： ．
61．如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；
（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小．
( http: / / www.21cnjy.com / )
62．如图，直线l1的函数解析式为y=﹣2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．21·cn·jy·com
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上是否存在点P，使得△ADP面积是△ADC面积的2倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
