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第八单元第三课时《钉子板上的多边形》导学单
【学习目标】
1、使学生探索并初步发现钉子板上多边形的面积与多边形边上、内部钉子数之间的关系，体会用含有字母的式子表示上述关系的价值。
2、使学生经历探索过程，体会归纳思想，感悟发现问题、提出问题过程的魅力。
【学习重点】探究钉板上多边形面积与钉点数的关系。
【学习难点】对内部钉点数不为1的多边形的研究。
【知识链接】
1、
2、同学们采集植物标本，四年级采集了a个，六年级采集的个数是四年级的3倍。两个年级一共采集了（ ）个，四年级比六年级少采集（ ）个。
3、一种笔记本的单价是x元/本，小强买了7本，小刚买了3本。
（1）用含有字母的式子表示小强比小刚多用了多少元。
（2）当x=3时，小强比小刚多用了多少元？
4、应用面积公式计算各图形的面积。
（1）
（2）
（3）
参考答案
【知识链接】
1、9x 4b 3a x
2、3a 2a
3、（1）（元）
（2）（元）
4、（1）
（2）
（3）
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苏教版数学五年级上第八单元第三课时教学设计
课题 钉子板上的多边形 单元 八 学 科 数 学 年 级 五
学习目标 1、使学生在兴趣的驱动下，独立思考、小组合作，自主探究钉点数与钉板上所围多边形面积之间的关系；2、使学生在探索的过程中，掌握观察、猜测、实验、分析、完善和验证的科学探究方法，积累宝贵的研究经验。3、使学生在独立思考和合作交流的中，获得真实的探究体验，体验探索的乐趣，增强对数学学习的兴趣。
重点 探究钉板上多边形面积与钉点数的关系。
难点 对内部钉点数不为1的多边形的研究。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、激趣导入师生互动，利用APP围图形，算面积。第一轮：三个规则图形（图1），学生利用已有知识顺利计算出面积；第二轮：组合图形（图2），学生通过分割或其它方法计算出面积；第三轮：学生指挥老师，围出不规则的复杂图形（图3），学生算不出面积，老师顺利得到答案，经软件验证为正确。思考：老师算得好快啊！你有什么想法？［预设］除了用边的长度来计算面积，还存在其他的方法。师出示皮克定理的PPT介绍：原来，对于钉子板上的多边形，还可以用钉子的数量来计算面积。这节课，我们就一起重走皮克的探索发现之路。 学生独立完成。 通过唤起生活经验，揭示课题，为新知识的学习做铺垫。
讲授新课 二、探索发现（一）a＝1出示PPT1.师：四人小组，分工合作，分别算出或数出每个图形的面积，以及多边形边上的钉子数，看看有什么发现？2.学生研究，教师巡视。3.反馈①指名反馈数据；②说说自己的发现：语言表达→字母表示。得到S＝n÷2（师板书）（二）a＝21.引发冲突师：发现了规律很开心啊，那么接下来就要应用规律了！出示PPT生：发现原来的规律不对了，因为①号面积变大了，而边上的钉子数还是4枚。师：好像我们的规律出问题了！怎么办呢？2.观察思考引导学生仔细观察PPT中的上下两组图形，找一找有什么不同。［预设］发现图形中间的钉子数不同。刚才那组图形中间都是1枚，下面这组图形中间都是2枚。师：看来我们刚才的发现不能完全叫“错”，只要加个前提就可以了，介绍并板书：a＝1 S＝n÷23.深入探究师：那么，当a＝2时，多边形面积到底该怎样计算呢？我们来继续研究。出示表格，学生合作研究，教师巡视指导。4.交流反馈①交流数据，表达小组研究的发现②完善结论：a＝2 S＝n÷2＋1（三）a＝3……1.引导猜测，当内部钉子数有3枚、4枚、5枚……时，这个公式又会是怎么样的呢？师根据学生回答，相机板书：a＝3 S＝n÷2＋2a＝4 S＝n÷2＋3a＝5 S＝n÷2＋42.鼓励学生大胆表达，共同提出验证方案。3.小组合作，自拟图形，进行验证。4.交流反馈，验证猜测。5.再次观察，总结归纳，抽象得出皮克定理： S＝n÷2＋a－1三、回顾反思1.今天这节课有什么收获？①知识：皮克定理②方法：猜测→验证→观察→比较→完善→结论2.现在用这个公式再回过头看看刚才那个复杂图形。师生共同数钉子，根据公式计算出正确面积，体会成功的喜悦。 学生独立思考。学生动手计算。学生认真观察。教师讲解，学生认真听讲。学生独立解决。学生小组讨论，展示汇报。学生独立完成。学生小组合作完成。学生独立完成。 帮助学生理解题意，使学生勤于思考。提出质疑，引起学生学习的兴趣。培养学生知识迁移的能力。培养学生独立解决问题的能力。通过讨论，总结方法，同时培养学生团结合作能力和语言表达能力。培养学生合作的意识。对本课内容加以巩固。
课堂小结 1、要善于从不同的多边形中找到它们的相同点。2、用含有字母的式子表示规律，简明易记。3、探索规律时，要认真观察、反复比较，发现规律后要验证。
板书 钉子板上的多边形
图1
图2
图3
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钉子板上的多边形
苏教版 五年级上
新知导入
想一想，钉子板上的多边形的面积可能跟什么有关？
新知讲解
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1㎝
1㎝
数一数，下面图形的面积是多少？
1
9
10
新知讲解
厘
米
1
1厘米
每个多边形边上的钉子各有多少？填入下表。
新知讲解
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1㎝
1㎝
①
②
③
④
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
③
④
●
●
●
2
●
4
●
●
●
●
●
3
3.5
6
7
4
8
、●、
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
观察表格，你有什么发现？
新知讲解
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这些多边形，边上的钉子数越多，面积就越大。
这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子数的一半。
图形①边上钉子数是4，面积是2平方厘米；图形②……
新知讲解
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
① 2 4
② 3 6
③ 3.5 7
④ 4 8
(s)
(n)
S=n÷2
新知讲解
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图形内部只有1枚钉子。
这些图形还有什么特点？
新知讲解
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
① 2 4
② 3 6
③ 3.5 7
④ 4 8
(s)
(n)
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
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1㎝
1㎝
①
②
③
④
●
●
●
●
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●
●
●
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、●、
●
●
●
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●
●
图形中间
点的个数
用a来表示。
当a=1时，S=n÷2
新知讲解
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1㎝
1㎝
、、
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n=10
s=6
n=9
s=5.5
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如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？
①
②
新知讲解
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①
②
图形编号 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
①
②
(s)
(n)
10
6
9
5.5
图形内有2枚钉子。
当a=2时，s=n÷2+1
新知讲解
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1㎝
1㎝
①
②
③
想一想，当a=3时，s与n之间有着怎样的关系？
n=10
s=7
n=7
n=9
s=5.5
s=6.5
新知讲解
图形 编号 多边形内部的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
① 3
② 3
③ 3
(s)
(n)
(a)
7
10
5.5
6.5
7
9
当a=3时，S =n÷2+2
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①
②
③
新知讲解
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②
想一想，当a=4时，s与n之间有着怎样的关系？
n=8
s=7
n=12
s=9
新知讲解
多边形的面积/平方厘米
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
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● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
②
n=8
s=7
n=12
s=9
②
4
9
12
新知讲解
当a=1时，S=n÷2
当a=2时，S=n÷2+1
当a=3时，S=n÷2+2
……
你能用一个式子，表示出s与n之间的关系吗？
当a=x时，S=n÷2+(x-1)
概括规律
课堂总结
要善于从不同的多边形中找到它们的相同点。
探索规律时，要认真观察、反复比较，发现规律后要验证。
用含有字母的式子表示规律，简明易记。
回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？
拓展延伸
动手围一围，如果用4枚钉子，在钉子板上围一个多边形，你能围出几种不同的图形，面积是多少？
课外活动
同学们课下可以阅读《格点和面积》这本书，了解更多的内容。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
