2021-2022学年数学人教A版(2019)必修第一册4.1.1n次方根和分数指数幂教学课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第四章 指数函数对数函数
4.1指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
引入
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现. 这里的巨型城址，面积近360万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑. 考古学家利用遗址中遗存的碳14的残留量测定，古城存在的时期为公元前3300年~2500年，你知道考古学家测定遗址年代用的是什么数学知识吗？
实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将要学习的指数函数. 指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用. 例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律。
通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法. 在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这三类基本初等函数的变化规律的差异进行比较，在此基础上，通过解决简单的实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适和函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。
本节(4.1指数)要学习的内容和过程大致为
(1)将根式的概念推广到n次方根;
(2)利用n次方根的定义和运算，定义分数指数幂，把幂中
的指数x的范围推广到有理数;
(3)类比从有理数扩充到实数的过程，把有理数指数幂推广
到实数指数幂.
为了研究指数函数，我们需要将指数的范围拓展到全体实数.
初中已经学过整数指数幂，负指数幂、零指数幂，有学习幂
函数时，我们把正方形场地的边长 c关于面积S的函数
知识探究（一）
问题1：初中阶段我们学过平方根、立方根的概念，你能回想出这些概念吗？能举例说明吗？
思考(1): 类比平方根，立方根，你能写出4次方根，5次方根，... ...,n 次方根的规定吗？
一般地，如果xn＝a(n∈N*且n＞1)，那么x叫a的n次方根.
n次方根
思考(2): 任何实数a都一定有n 次方根吗？如何有，有几个呢？请举例说明.
(1)当n是奇数时，
任意实数a都有n次方根，且只有一个. 记作:
(2)当n是偶数时,
①若a>0，则a有n次方根， 且有两个. 记作:
②若a=0，则a有n次方根, 且只有一个0，即
③若a<0，则a的n次方根不存在.
说明:
为什么负数没有偶次方根？
返回
知识探究（二）
根指数
被开方数
（当n是奇数时，a∈R
当n是奇数时，a≥0）
根式
根式的性质
思考(1): 还记得二次方根有什么性质吗？
返回
根式的性质
例 析
返回
原式=(a-1)+|1-a|+(1-a)
=|1-a|
∴当a>1时, 原式=a-1
当a=1时, 原式=0
当a<1时, 原式=1-a
练习
知识探究（三）
分数指数幂
规定分数指数幂的意义的以后, 指数的概念就由整数推广到了有理数．且整数指数幂的运算性质适应于有理数指数幂。
例如
说明：
（1）分数指数幂是根式的另一种表达形式；
（2）根式与分数指数幂可以进行互化.
2. 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
一般地，在指数幂ax中,为了保证对x取所有情况有意义，通常规定底数a>0. 但在具体问题中，只需使指数幂ax有意义即可。
同底数相乘，底数不变，指数相加
同底数相除，底数不变，指数相减
积的乘方，每个因式分别乘方
商的乘方，分子分母分别乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
练习
一般地，在指数幂ax中,为了保证对x取所有情况有意义，通常规定底数a>0. 但在具体问题中，只需使指数幂ax有意义即可。
例 析
练习
教材P109练习第2，3题
1.整数指数幂是按怎样的路径推广到有理数指数幂的？你能画出一个结构图来表示这个过程吗？
小 结
n次方根
根式
定义
表示
二次方程x=a2
三次方程x=a3
... ...
分数指数幂
整数指数幂
有理数指数幂
性质
作 业
1.教材P109习题4.1A组：第1，4，5题