2021-2022学年数学人教A版(2019)必修第一册4.2.1指数函数的概念课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
4.2 指数函数
4.2.1指数函数的概念
复习与引入
1.大家还记得幂函数是怎样的吗？
一般地，函数 y=xα 叫幂函数，其中 x为自变量，α为常数．
其解析式的结构特征：
2. 你还记得幂函数概念是如何抽象出来的吗？
对于幂 ax (a>0)，我们已经把指数 x 扩展到了实数范围，接下来我们就进一步研究其它基本初等函数。
(1)由实际问题的背景抽象出函数的概念（解析式定义域等）
(2)画出函数的图象；
(3)利用函数的图象和解析式，讨论函数的性质。
3. 研究一类函数的过程和方法是怎样的吗？
(4)应用函数的知识解决有关问题。
知识探究（一）
问题１：随着中国经济高速增长, 人民生活水平不断提高, 旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加, Ａ, Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施, Ａ地提高了景区门票价格, 而Ｂ地则取消了景区门票. 下表给出了Ａ, Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
比较两地景区游客人次的变化情况, 你发现了怎样的规律？
思考(1)：能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象,根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？
游客人次成非线性增长，年增加量越来越大，但无论从图象还是表格上，都难看出年增加量的变化规律．
游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)
B地：
Ａ地：
思考(2)：既然B地景区游客人次的变化规律况很难直接看出，我们看能否从代数运算的角度去发现数据中蕴含的规律.
年增加量是相邻两年的游客人次作减法得到的，你能用别的运算来发现B地景区游客人次的变化规律吗？
增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
计算年增加量用的是减法，而求年增长率，则可以用除法.
因此，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为
1-1.11=0.11
是一个常数．
增长率为常数的变化方式，我们常称为指数增长
思考(3)：以2001年的为基准，设B地景区经过x年后的游客人次是2001年的y倍, 你能求出y关于x的函数吗？
1年后，游客人次是2001的
1.111倍
2年后，游客人次是2001的
1.112倍
3年后，游客人次是2001的
1.113倍
... ...
x年后，游客人次是2001的
1.11x倍
∴ y关于x的函数为
y=1.11x,
x∈[0,+∞)
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率）,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”．
按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
思考(1)：设碳14含量的年衰减率为p, 生物刚死亡时体内碳14含量为1个单位，你能列出生物在死亡1年后，2年后，3年后，... , 其体内的碳14含量吗？
你能求出p吗？
死亡1年后，生物体内碳14含量为
(1-p)1
死亡2年后，生物体内碳14含量为
(1-p)2
死亡3年后，生物体内碳14含量为
(1-p)3
... ...
死亡5730年后，生物体内碳14含量为
(1-p)5730
... ...
衰减率为常数的变化方式，我们常称为指数衰减
思考(2): 请求出生物死亡x年后，其体内的的碳14含量y
问题3：比较我们刚才在问题1中和问题2中得到的两个函数，看它们的解析式在结构上有没有什么共同特征？
底数为常数
底数为常数
指数为自变量
指数为自变量
(1)解析式y= ax的结构特征：
一般地，函数 y=ax （其中a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量 .
思考：
(1)指数函数与幂函数的解析式在结构上有何不同？
(2)指数函数的定义域是什么？
(3)为什么要规定底数a>0且a≠1？
指数函数的定义
当a=1时，y=ax=1为常数函数，不能反映指数增长或指数衰减的变化情况，无研究的必要性。
(2)定义域是R.
(3)指数函数反映了函数呈指数增长或指数衰减的变化规律.
当a≤0时，y=ax无意义.例如
说明：
返回
1.判断下列函数是否是指数函数., 若不是, 请并说明理由：
练习
指数函数y=3u与一次函数u=x+2的复合函数
例 析
1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）．
由指数函数的定义和增长模型(指数增长：越来越快指数衰减：越来越慢)可知，C比较符合要求
（教材P115练习第1题）
练习
例２.(1)在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
例 析
思考(1): 从2001年起，x年后，Ａ，Ｂ两地旅游客人次(万次)分别是多少？
思考(2): 从2001年起，x年后，Ａ，Ｂ两地旅游收入(万元)的函数f(x)和g(x)各是怎样的？
思考(3): 你能猜想出函数f(x)和g(x)的大致图象吗，根据图象，你能比较各这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况吗？
例２.(1)在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；
随后10年，f(x)＞g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)，即Ｂ地的旅游收入增长得更快；
在2011年2月(x=10.22时)的某个时刻，f(x)=g(x)，这时游客给Ａ,B两地带来的收入差不多；
此后，f(x)在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元．
例２. (2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体碳14内含量衰减为原来的百分之几(保留两位小数)
刻画指数增长或指数衰减的函数模型
返回
练习
（教材P115练习第2题）
（教材P115练习第3题）
小结
1. 什么样的函数是指数函数？
在结构上有何特征？
它主要用来刻画什么样的变化规律？
业
2. 刻画函数呈指数增长或指数衰减的函数模型一般是怎样的？其中底数的意义是什么？
说说函数“y=4×0.6x”中的底数，初始值，增长率或衰减率各是多少
底数：
初始值：
衰减率：
0.6
4
1-0.6=0.4
作 业
教材P118习题4.2
第1、2、4题