2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式题型总结讲义

基本不等式极其运用
知识清单
1.基本不等式公式
几何证明法：如图正方形ABCD由四个全等直角三角形组成，三角形直角边长为，则正方形边长为. 由图1可知正方形面积>四个三角形面积之和，故，当直角三角形为等腰直角三角形时，如图2，正方形面积=4个三角形面积和故，综上可得，令即可
图1 图2
代数证明法：所以
2.基本不等式的使用条件
一正()
二定（为定值则最大，为定值则最小）
三相等（当且仅当是有）
3.常用变形
题型讲解
题型一
解法突破：两种常数处理方法.
例1 求的最小值（）.
解： 因为所以令解得（舍）
例2 求的最小值（）.
解： 因为所以令解得（舍）
例3求的最小值（）
解： 因为所以令解得（舍）
例4求的最小值（）
解： 因为所以令解得（舍）
【审题要津和评注】
1.以分式分母为主进行配凑使其定积
2．注意变量范围，是否满足一正和三相等
题型二
解法突破: “1”的代换
例1已知，求的最小值
解：
例2已知，求的最小值
解：
例3已知，求的最小值
解：，
例4已知求的最小值
解：，
例5已知求的最小值
解：
例6已知求的最小值
解：设则解得
即
【审题要津和评注】
此类题型主要核心是“1”的等价代换，以及以分式分母为依据构造倒数形式，注意例5，例6两个题目
题型三 消元法
解法突破：此类题目特点是有多个变量，且变量间满足等式关系
例1已知求的最小
解：，
题型四 换元法:一般求谁最值换谁为t
例1已知求的最小
解：
令则或（舍）即的最小是6
例2已知求的最小
解：令则即解得即的最小是
【审题要津和评注】
1.题型二的例三和题型三题型四比较类似注意区分
2.若一个题目在连用多个基本不等式时需注意取等时自变量取值是否相同
题型五 基本不等式的使用条件
解法突破：使用基本不等式前要注意验证使用条件是否满足
例1已知求的最大值
解：,
例2已知求的最小值
解：，令，不在范围内，由函数单调性可知在单调递增所以的最小值为
练习题
已知正数满足则的最小值为
已知，若不等式恒成立，则的最大值为
的最小值是
若对任意的正数满足，则的最小值是
已知，则的最小值是
已知正数满足则的最大值是 ；
的最小值是
设则的最小值为
已知正数满足则的最小值是
已知正数满足
求最小值
求的最小值
已知关于的不等在上恒成立，则实数的最小值是
设，则当取得最小值时，的值是
若则的最小值是
若则的最小值是
正数满足
求最小值
求的最小值
已知且，则的最小值是
已知正数满足则的最小值是
已知且则的最小值是
已知则的最小值是
已知且，则的最小值是
已知满足的最大值是
习题答案
（1）（2） （3） （4） （5）1 (6). (7) 4 (8) 9 (9) 9,16
(10) (11) (12) (13) 8 (14) 36, (15) 8 （16）12 （17）
（18）（19）4 （20）
7.当且仅当时等号成立，当且仅时等号成立，所以当且仅当即时等号成立
9.（2）
10.
11. 当且仅当，等号成立
12.
17. ，
19.
20. ，