2021-2022学年北师大版九年级数学上册_4.4探索三角形相似的条件 同步测评 (word版含答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》同步测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠BAC，D、E在BC边上，则其中的相似三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．6对
2．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）
A．CA平分∠BCD B． C．AC2＝BC CD D．∠DAC＝∠ABC
3．如图，△ABC中，P为边AB上一点，下列选项中的条件，不能说明△ACP与△ACB相似的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP×AB D．AB×CP＝BC×AC
4．如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中相似三角形有几对（　　）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
5．如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．
7．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似
8．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26
D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5
9．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D为AB中点．若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为　 　．
13．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB，这个条件可以是　 　．（写出一个即可）
14．如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，在△APB、△APC、△APD、△ABC、△ABD、△ACD中写出一对相似三角形　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为　 　．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、边AB上，且∠ADE＝∠B，求证：△ADC∽△DEB．
18．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．
（1）求CD的长；
（2）求证：△CDE∽△BDC．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为9？
（2）当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
20．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE BF＝EF BC．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∵AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°，
∴∠BAE＝∠CAD＝72°，∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC∽△EAC∽△DAB，△ADE∽△BAE∽△CAD．
故选：D．
2．解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
3．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A时，△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
C、当AC2＝AP AB，即AC：AB＝AP：AC时，结合∠A＝∠A可以判定△APC∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、当AB×CP＝AP×AC时，不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
4．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，
∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，
∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，
∴共有6对相似三角形，
故选：A．
5．解：已知给出的三角形的各边分别为 、2、、
只有选项A的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选：A．
6．解：A、当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当AC2＝AD AB时，即＝，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当＝时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
7．解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
8．解：A、∠C＝∠E＝98°，不是对应角相等，故不能判定△ABC∽△DEF；
B、两个三角形的三边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
C、两个直角三角形的两边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
D、如图，AG⊥BC，DH⊥EF，
∴∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠B＝∠E＝35°，
∴△ABG∽△DEH，
∴，
∵BC＝10，EF＝5，
∴，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
故选：D．
9．解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故选：B．
10．解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
12．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝，
当△ADE∽△ABC时，，即，
解得，AE＝2，
当△ADE∽△ACB时，，即，
解得，AE＝，
故答案为：2或．
13．解：添加∠ADE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
14．解：∵∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，
∴AB＝AP，AC＝AP，AD＝AP，
∴＝，，
∴，
又∵∠ABC＝∠ABD，
∴△ABC∽△DBA，
故答案为：△ABC∽△DBA．
15．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝2，
②若△AED∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝，
综上所述，AE的长为2或．
故答案为：2或．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE．
∴∠AEB＝∠ADC．
∴△ABE∽△ACD．
17．证明：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠ADE+∠ADC＝∠B+∠BED，∠ADE＝∠B，
∴∠DEB＝∠ADC，
在△ADC和△DEB中，∠ADC＝∠DEB，∠C＝∠B，
∴△ADC∽△DEB．
18．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，
∴AC＝＝12；
∴AE＝AC﹣CE＝9，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴，
∴CD＝＝＝2，
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，
∴BE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴DE＝，
∴BD＝4，
∵，，
∴，
∵∠D＝∠D，
∴△CDE∽△BDC．
19．解：（1）由题意得，AP＝t，BQ＝2t，则PB＝6﹣t．
∴S△PBQ＝PB BQ
＝ （6﹣t） 2t
＝﹣t2+6t，
由题意得﹣t2+6t＝9，
解得t1＝t2＝3，
所以运动时间t为3s；
（2）若当△PBQ∽△ABC时，＝．
即＝，
解得t＝；
当△PBQ∽△CBA时，＝．
即＝，
解得t＝．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是或．
20．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE BF＝EF BC
21．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．