2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.3　直线的一般式方程学案

2.2.3　直线的一般式方程
解读目标：
1.掌握直线的一般式方程．(重点)
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
解读知识点：
知识点1　直线的一般式方程
(1)定义
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
知识点2　直线的一般式方程与其他形式的互化
解读题型：
题型1　求直线的一般式方程
【例1】　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
巩固训练
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于y轴．
题型2　直线的一般式方程化为其他形式的方程
【例2】　已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
巩固训练：
2．(1)若直线x＋2y＋1＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则(　　)
A．k＝－2，b＝－ B．k＝－，b＝－1
C．k＝－，b＝－ D．k＝－2，b＝－1
(2)直线2x－y＋1＝0的截距式方程为________．
题型3　直线的一般式方程的应用
【例3】　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
巩固训练：
3．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋1＝0表示直线，求m的取值范围．
当堂达标：
1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4　 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．150°　　　　D．120°
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(3,1) D．(2,1)
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
解读目标：
1.掌握直线的一般式方程．(重点)
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
解读知识点：
知识点1　直线的一般式方程
(1)定义
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
知识点2　直线的一般式方程与其他形式的互化
解读题型：
题型1　求直线的一般式方程
【例1】　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解]　(1)斜率是－，经过点A(8，－2)的直线的点斜式方程是y＋2＝－(x－8)，
化为一般式得x＋2y－4＝0.
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴的直线方程是y＝2，
化为一般式得y－2＝0.
(3)在x轴和y轴上的截距分别为，－3的直线的截距式方程是＋＝1，
化为一般式得2x－y－3＝0.
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线的两点式方程是＝，
化为一般式得x＋y－1＝0.
巩固训练
1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于y轴．
[解]　(1)斜率是，且经过点A(5,3)的直线的点斜式方程是y－3＝(x－5)，
化为一般式得x－y＋3－5＝0.
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)的直线的两点式方程是＝，
化为一般式得2x＋y－3＝0.
(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1的直线的截距式方程是＋＝1，
化为一般式得x＋3y＋3＝0.
(4)经过点B(4,2)，平行于y轴的直线方程为x＝4，
化为一般式得x－4＝0.
题型2　直线的一般式方程化为其他形式的方程
【例2】　已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．
[解]　由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2.
截距式方程为：＋＝1.
由此可知，直线的斜率为，在x轴，y轴上的截距分别为－3,2.
巩固训练：
2．(1)若直线x＋2y＋1＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则(　　)
A．k＝－2，b＝－ B．k＝－，b＝－1
C．k＝－，b＝－ D．k＝－2，b＝－1
(2)直线2x－y＋1＝0的截距式方程为________．
(1)直线的斜截式方程为y＝－x－，则k＝－，b＝－，故选C．
(2)由2x－y＋1＝0得2x－y＝－1.
所以＋＝1.
题型3　直线的一般式方程的应用
【例3】　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
[解]　(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠，且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
巩固训练：
3．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋1＝0表示直线，求m的取值范围．
[解]　由，解得m＝2，因为方程
(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋1＝0表示直线，
所以(m2－3m＋2)与(m－2)不同时为0，
所以m≠2.
即m的取值范围是(－∞，2)∪(2，＋∞)．
当堂达标：
1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4　 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
由＋＝1得4x＋3y－12＝0，故选C．
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．150°　　　　D．120°
直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C．
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.]
4．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(3,1) D．(2,1)
kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
由已知得
∴m＝3.]
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