2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1单调性与最大（小）值同步测试卷（Word含答案解析）

3.2.1单调性与最大（小）值同步测试卷
一、单选题
1．下列函数在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．-1
3．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数在区间上（ ）
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值
6．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（ ）
A．f（x）＝－ B．f（x）＝－3x＋1
C．f（x）＝x2＋4x＋3 D．f（x）＝x－
12．如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（ ）
A． >0
B．（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0
C．f（a）D． >0
三、填空题
13．函数y＝ (x≠－2)在区间[0，5]上的最大值与最小值的和为________．
14．已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
15．已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集是________.
16．已知函数是上的增函数，则的取值范围是______．
四、解答题
17．已知．
（Ⅰ）证明：在[2,+∞)单调递增；
（Ⅱ）解不等式：．
18．已知．
（1）用定义证明在区间上是增函数；
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值以及取最值时的值．
19．已知函数
（1）证明函数在区间上的单调性；
（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.
20．已知函数.
（1）求，的值；
（2）设，试比较，的大小，并说明理由；
（3）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.
3.2.1单调性与最大（小）值同步测试卷答案
1．D
【分析】
根据单调性的定义、单调性的性质判断．
【详解】
A中函数是减函数，B中函数若，，满足，但，而，，不是增函数，
C中函数为，对称轴为，因此在上不是增函数，
D中函数，在上，是增函数，是减函数，因此是增函数．
故选：D．
2．A
【分析】
由题意结合函数的单调性可得函数在上为减函数，即可得解.
【详解】
∵函数在上为减函数，
∴.
故选：A.
3．A
【分析】
结合一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质依次分析选项即可.
【详解】
对于，，在区间上，，是增函数，符合题意；
对于，，是反比例函数，在区间是减函数，不符合题意；
对于，，是二次函数，在区间是减函数，不符合题意；
对于，，是一次函数，在上是减函数，不符合题意；
故选：.
4．A
【分析】
先求二次函数的对称轴，再根据单调性列不等式即可求解.
【详解】
函数的对称轴为，开口向下，
若在上是增函数，
则，可得，
所以的取值范围是，
故选：A.
5．B
【分析】
根据函数在区间上的单调性求解.
【详解】
因为函数在区间上是减函数，
所以该函数有最小值，无最大值.
故选：B
6．B
【分析】
易得当时，函数在上单调递减，在处取得最大值，从而列式计算可得结果.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．
故选：B.
7．C
【分析】
根据函数定义域及其单调性列不等式，求的范围即可.
【详解】
∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得，
故选：C．
8．D
【分析】
由在[1，+∞)上单调递减且可解得结果.
【详解】
因为函数在上是单调递减的，
又是R上的单调函数，
所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，
并且，解得，
综上所述，a的取值范围为.
故选：D
【点睛】
易错点点睛：解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.
9．AC
【分析】
对每个选项进行值域判断即可.
【详解】
解：A选项，函数的值域为，正确；
B选项，函数的值域为，错误；
C选项，函数的值域为，正确；
D选项，函数的值域为，错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】
A：由反比例函数的图象即可判断；B：由一次函数的图象即可判断；C：开由二次函数的图象即可判断；D：利用单调性的定义进行判断.
【详解】
A：由反比例函数的图象可知在区间和上单调递减，故A错误；
B：由一次函数的图象可知在区间上单调递减，故B正确；
C: 开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，在单调递减，故C正确；
D：设，令，，即，由函数单调性得概念可知在上单调递增，故D正确
故选：BCD.
11．ACD
【分析】
先由题意判断f（x）为（0，＋∞）上的增函数.再对四个选项一一验证:
对于A：利用反比例函数的单调性直接判断;
对于B：利用一次函数的单调性直接判断;
对于C：利用二次函数的单调性直接判断;
对于D：先判断出和在（0，＋∞）上的单调性,即可判断
【详解】
因为“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”
所以不妨设0< x1所以f（x）为（0，＋∞）上的增函数.
对于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数,故A正确;
对于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B错误;
对于C：f（x）＝x2＋4x＋3对称轴为x=-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C正确;
对于D：f（x）＝x－,因为在（0，＋∞）上为增函数, 在（0，＋∞）上为增函数,所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上为增函数, 故D正确;
故选:ACD
12．ABD
【分析】
利用单调性的定义直接判断A、B、D，对于选项C举一个反例即可判断.
【详解】
因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1故选：ABD
13．
【分析】
先判断函数的单调性，然后由函数单调性求出函数的最值
【详解】
任取，且，则
，
所以，且，
所以，，
所以，即，
所以函数y＝在区间[0，5]上单调递减，
所以当x＝0时，ymax＝，
当x＝5时，ymin＝.
所以ymax＋ymin＝＋＝.
故答案为：
14．
【分析】
结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】
由题意得：解得故答案为：
15．
【分析】
利用单调性列不等式，即可解出x的范围.
【详解】
由题意得解得：，即或.
故答案为：.
16．
【分析】
题目考察分段函数的单调性，需要两段函数均为增函数，且在两短函数的衔接处单调递增，三个不等式取交集求出参数的取值范围
【详解】
解：要使函数在上为增函数，须有在上递增，在上递增，
且，
所以有，解得，
故a的取值范围为．
故答案为：．
17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【分析】
（I）用定义证明函数的单调性即可．
（II）由（I）知函数在[2,+∞)上单调递增，利用函数单调性，由y值的大小转化为比较x的大小即可．
【详解】
（I） x1，x2∈[2,+∞)，且x1＜x2，则 ，
∵x1，x2∈[2,+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0， 且x1﹣x2＜0，
∴0，即，
∴在[2,+∞)单调递增．
（II）由，即∈[2,+∞)，
∵在[2,+∞)单调递增，要使，
∴，即，解得，
∴不等式的解集为．
18．（1）证明见详解；（2），．
【分析】
（1）用单调性定义证明，任取，，且，然后证明；
（2）由（1）的单调性易得最值．
【详解】
（1）任取，，且，则.
∵，∴，，
∵，即，
故函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
∴，．
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由二次函数的性质判断在区间上的单调性，根据单调性可求出和的值，即可求解.
【详解】
（1）函数在区间上单调递增；
设任意的，且，
则
，
因为，，所以，，
所以，即，
所以函数在区间上的单调递增；
（2）函数对称轴为，开口向上，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增；
所以，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
20．（1），；（2），理由见解析；（3）
【分析】
（1）将和代入函数解析式即可求解；
（2）根据函数解析式，利用作差法即可比较、的大小.
（3）化简不等式，转化为关于二次函数的恒成立问题，分离转化为最值问题即可求得实数的最大值.
【详解】
（1）因为函数，所以，；
（2），理由如下：
，
因为，则，，
所以，即，，
所以，即；
（3）因为函数，
原不等式可化为，
化简可得，即对于一切恒成立，
所以
当时，二次函数取得最小值，即，
所以实数的最大值为.
试卷第1页，共3页
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