第四章《图形的相似》检测卷（广东专用）
提高卷（二）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C．2a＝3b D．3a＝2b
【答案】C
【分析】
根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”对各选项分析判断即可得．
【详解】
解：A、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；
B、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；
C、∵，∴，选项说法正确，符合题意；
D、∵，∴，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是熟记比例的性质．
2．已知，，，是成比例线段，其中，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可．
【详解】
解：∵线段，，，成比例线段，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】
本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】
利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例性质求出AE，然后计算AE+EC即可．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．下列命题正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形一定相似
B．任意两个正方形一定相似
C．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
D．相似图形就是位似图形
【答案】B
【分析】
根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误；
B、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；
C、如果C点是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么，故原命题错误；
D、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键．
5．如图，直线，直线AC和直线DF在上的交点分别为：A，B，C， D，E，F.已知AB＝6，BC＝4，DF＝9，则DE＝( )
A．5.4 B．5 C．4 D．3.6
【答案】A
【分析】
由AB＝6，BC＝4，可求AC=10，由，可得，即，可求DE即可．
【详解】
解：∵AB＝6，BC＝4，
∴AC=AB+BC=6+4=10，
∵，
∴，
∵DF＝9，
∴，
∴，
故选A，
【点睛】
本题考查线段和差，平行线分线段成比例定理，掌握线段和差，平行线分线段成比例定理是解题关键，
6．如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（ ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．1∶3∶5 D．
【答案】C
【分析】
由已知证得△ADE∽△AFG∽△ABC，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S1：S2：S3＝1：3：5．
【详解】
解：根据，得到，
∵，
∴，
即、、的相似比是1∶2∶3，
∴、、的面积比是1∶4∶9，
设的面积是a，则的面积是，的面积是，
则，
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查了相似三角形面积比与相似比的关系，熟知相似三角形面积比等于相似比的平方，还要熟练掌握比例的性质．
7．下列判断正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
C．如果两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4∶3
D．若点是的黄金分割点，且，则的长为
【答案】C
【分析】
A．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；B．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；C.利用相似图形的性质即可；D．利用黄金分割法可求出BC有两个值即可．
【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；
C、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；
D、若点C是AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长为或，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键．
8．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
将阴影部分的三角形表示为，如下图所示；由且为边的中线知，，根据知 ，据此求解可得．
【详解】
解：如图，
∵，且AD为BC边的中线，
∴，，
∵将沿边上的中线平移到，
∴，
∴，
则，
即，
解得或（舍），
故选：A．
【点睛】
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
9．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．
【详解】
解：①∵，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠1=∠2，故①成立；
②∵，
∴BC=DE，故②成立，
③∵，
∴AB=AD，AC=AE，
∴，又∠1=∠2，
∴，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．
10．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），，与交于点，连接，，．下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
①由正方形的性质得出CD=BC，∠BCD=90°，证出∠BCN=∠CDM，由ASA即可得出结论；
②由全等三角形的性质得出CM=BN，由正方形的性质得出∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，由SAS证得△OCM≌△OBN（SAS）即可得出结论；
③由△OCM≌△OBN，得出∠COM=∠BON，则∠BOM+∠COM=∠BOM+∠BON，即可得出结论；
④由CM=BN，BM=AN，由勾股定理即可得出结论；
⑤由AB=2，得出S正方形ABCD=4，由△OCM≌△OBN得出四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，利用三角形面积公式计算即可得出结论；
【详解】
解：①∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
在△CNB和△DMC中
，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
②∵△CNB≌△DMC，
∴CN=DM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM=∠ODC=45°，OC=OD，
∴∠OCM-∠BCN =∠ODC-∠CDM，
∴∠OCN=∠ODM，
在△OCN和△ODM中，
，
∴△OCN≌△ODM（SAS），故②正确；
③∵四边形ABCD是正方形，O是对角线AC与BD的交点，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵△OCN≌△ODM，
∴∠CON=∠DOM，ON=OM，
∵∠CON=∠COB+∠BON=90°+∠BON，∠DOM =∠DOC+∠COM=90°+∠COM，
∴∠BON=∠COM，
∴∠BON+∠BOM =∠COM+∠BOM=90°，
即∠NOM=∠BOC=90°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴△MON △AOD，故③正确；
④∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故④正确；
⑤∵△CNB≌△DMC，
∴CM=BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
在△OCM和△OBN中，
，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∵AB=2，
∴S正方形ABCD=4，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴，
故⑤错误；
∴本题正确的结论有：①②③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形的面积与正方形面积的计算、相似三角形的判定等知识，正确的识别图形是解题的关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米．
【答案】2．
【分析】
在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．
【详解】
解：设他的同学的影长为xm，
∵同一时刻物高与影长成比例，
∴，
解得，x=2,
经检验，x=2是原方程的解，
∴他的同学的影长为2m，
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
12．在比例尺1∶8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4厘米，则太原到北京的实际距离为______千米．
【答案】512
【分析】
根据比例尺，列出比例式求解即可．
【详解】
解：设太原到北京的实际距离为x厘米，
∵比例尺1∶8000000，
∴6.4：x=1∶8000000，
解得，x=51200000，
51200000厘米=512千米，
故答案为：512．
【点睛】
本题考查了比例线段，解题关键是明确比例尺的意义，列出比例式，准确求解．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，若AB＝2，则BP＝_______________（结果保留根号）．
【答案】﹣1
【分析】
根据黄金分割点的定义，知BP是较长线段；则BP=AB，代入数据即可得出BP的长．
【详解】
由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＜PB，BP是较长线段；
则BP=AB=.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查黄金分割公式知识点，熟悉掌握是关键.
14．下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
【答案】1.2
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴3，
故答案是：1.2．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．
15．如图，三角形是直角三角形沿着平移得到的，若，，，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】9
【分析】
根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据SHDFC=S△EFD-S△ECH即可得到答案．
【详解】
解：由平移的性质知，DE=AB=5cm，HE=DE-DH=4cm，CF=BE=2cm，HC∥DF，∠DEF=∠B=90°，
∴，即，
∴EC=8(cm)，EF=EC+CF=10（cm），
∴SHDFC=S△EFD-S△ECH=DE EF-EH EC=9（cm2）．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
16．如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，M、N分别为AD、BC上的点，若，，，则MN的长为________．
【答案】9
【分析】
由正方形ABCD中，∠MEN＝90°，易证得△AEM∽△BNE，然后由E为AB的中点，，，根据相似三角形的对应边成比例，求得AE与BE的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AEM＋∠AME＝90°，
∵，
∴∠AEM＋∠BEN＝90°，
∴∠AME＝∠BEN，
∴△AEM∽△BNE，
∴AM：BE＝AE：BN，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵，
∴AE＝BE＝3，
∴EM＝
EN＝，
∴MN＝，
故答案是：9．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．注意证得△AEM∽△BNE是解此题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB：AC＝3：4，点D是BC上一点，AB＝BD，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE，若AD＝12，则△ACE的面积为_____．
【答案】24
【分析】
根据勾股定理得出BC，进而利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：由题意，设AB＝3x，AC＝4x，则BC＝5x，BD＝3x，DC＝2x，
过D作DF⊥AC于F，
∵∠BAC＝90°，
∴DF∥AB，
∴△DFC∽△BAC，
∴，
∴CF＝，DF＝，
∴AF＝AC﹣CF＝4x﹣，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，
即，
解得：x＝2（负值舍去），
∴AB＝6，AC＝8，
∵AB＝BD，且BE⊥AD，
∴点E为AD的中点，
∴；
故答案为：24．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出BC解答．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
【答案】（1）83°；（2）x＝12，y＝．
【分析】
（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案；
（2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x、y的值.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为83°；
（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，
解得：x＝12，y＝．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边成比例，对应角相等．
19．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？
【答案】树高约是7m．
【分析】
根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】
根据题意，易得，，
则，
则，即，
解得：AB=7m，
答：树高AB约是7m．
【点睛】
此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解．
20．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：
（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC︰BC＝3︰4，求BD︰CE为多少．
【答案】（1）见解析；（2）5：3
【分析】
（1）根据相似三角形的判定方法证明即可．两组角对应相等的两个三角形相似；
（2）由△ABC∽△ADE可得和∠BAC=∠DAE，进而根据两组边对应成比例证明出△ACE∽△ABD，然后根据相似三角形对应边成比例和已知条件即可求出BD︰CE的值．
【详解】
（1）∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠BAD，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC=3：4，∠ACB=∠AED=90°，
∴AC：BC：AB=3：4：5，
∴BD：CE=5：3，
故答案为：5：3．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
（2）以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，
【分析】
根据平移的定义“把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形，新图形与原图形的大小和形状完全相同”即可得；
根据位似图形的定义“一般得，如果一个图形上的点，，…，和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足①直线，，…，都经过同一点O；②”即可得．
【详解】
（1）根据题意可得：
∴；
（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取，，使，连接，，，即可得；
∴．
【点睛】
本题考查了作图—平移变换，作图—位似变换，解题的关键是掌握平移作图方法和图形位似的作图方法．
22．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）菱形，见解析．
【分析】
（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，可得DE//BC，进而可以证明△AED∽△ACB；
（2）先利用ASA证明△DAE≌△FCE可得DE＝FE，可证可得四边形ADCF是平行四边形，再证明AC⊥DF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明结论．
【详解】
（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，
∴△AED∽△ACB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵CF//AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE和△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DE//BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定以及三角形中位线的判定与性质，灵活应用相关性质和判定定理是解答本题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3．
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求HF的值．
【答案】（1）见解析；（2）AD＝12；（3）HF＝6．
【分析】
（1）根据折叠性质得到∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，结合矩形的性质证明△EGC∽△GFH；
（2）由等高三角形的面积比等于边的比得到GH：AH＝2：3，再根据折叠性质得到AG＝AB＝GH+AH＝20，继而解题；
（3）在Rt△ADG中，理由勾股定理解得DG的长，再结合折叠的性质解题．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，
∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，
∴∠EGC＝∠GFH，
∴△EGC∽△GFH；
（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，
∴GH：AH＝2：3，
∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，
∴AG＝AB＝GH+AH＝20，
∴GH＝8，AH＝12，
∴AD＝AH＝12；
（3）解：在Rt△ADG中，DG＝，
由折叠的对称性质可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，
∵HG2+HF2＝FG2，
∴82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
∴HF＝6．
【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、等高三角形面积比、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）由四边形是矩形，可得，即可证明；
（2）由可表示出的长度，再由矩形的面积，即可求出与之间的函数表达式．
【详解】
（1）证明：∵四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，设，AN⊥HG
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积，
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出的长度是解决本题的关键．
25．如图1，在 ABCD中，AC、BD相交于O，过O作OG⊥AC交BC于G，连接AG．
（1）求证：AC平分∠DAG；
（2）如图2，把△AOB沿OA翻折得到△AOE，连接DE，求证：ED∥AC；
（3）如图3，连接CE交AD于F点，交BD于H点，若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求EH的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD，由线段垂直平分线的性质可得AG＝GC，可得∠GAC＝∠GCA，由平行线的性质可得∠DAC＝∠GAC，可得结论；
（2）由折叠的性质可得AB＝AE，BO＝EO，∠AOB＝∠AOE，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的性质可得∠AOB＝∠EDO，可得DE∥AC；
（3）过点A作AN⊥BC于N，由含30度角的直角三角形的性质可得BN＝AB＝2，AN＝BN＝2，由勾股定理可求AG＝GC＝，通过证明四边形AFCG是菱形，可得AF＝FC＝，由平行线分线段成比例可求CH的长，即可得结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD，
又∵OG⊥AC，
∴AG＝GC，
∴∠GAC＝∠GCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠GAC，
∴AD平分∠DAG；
（2）∵把△AOB沿OA翻折得到△AOE，
∴AB＝AE，BO＝EO，∠AOB＝∠AOE，∠BAC＝∠EAC，
∴EO＝DO，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠ODE+∠OED+∠EOD＝180°，∠AOB+∠AOE+∠EOD＝180°，
∴∠AOB＝∠EDO，
∴DE∥AC；
（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，AN＝BN＝2，
∴NC＝BC﹣BN＝4，
∵AG2＝NG2+AN2，
∴GC2＝（4﹣GC）2+12，
∴GC＝，
∴NG＝，BG＝，
∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，AC＝AC，
∴△BAC≌△EAC（SAS），
∴BC＝EC＝6，∠ACB＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACF＝∠FAC＝∠GAC，
∴AG∥CF，
又∵AF∥GC，
∴四边形AFCG是平行四边形，
又∵AG＝GC，
∴四边形AFCG是菱形，
∴AF＝CF＝AG＝GC＝，
∴DF＝AD﹣AF＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴＝＝，
∴HC＝，
∴EH＝EC﹣CH＝6﹣＝．
【点睛】
本题考查了平行四边形与菱形的性质与判定，三角形全等的性质与判断，勾股定理，平行线分线段成比例，等腰三角形性质，熟练掌握几何图形的性质定理是解题的关键．
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试卷第1页，共3页第四章《图形的相似》检测卷（广东专用）
提高卷（二）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（ ）
A． B． C．2a＝3b D．3a＝2b
2．已知，，，是成比例线段，其中，则( )
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．下列命题正确的是（ ）
A．任意两个等腰三角形一定相似
B．任意两个正方形一定相似
C．如果C点是线段AB的黄金分割点，那么
D．相似图形就是位似图形
5．如图，直线，直线AC和直线DF在上的交点分别为：A，B，C， D，E，F.已知AB＝6，BC＝4，DF＝9，则DE＝( )
A．5.4 B．5 C．4 D．3.6
6．如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（ ）
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．1∶3∶5 D．
7．下列判断正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
C．如果两个相似多边形的面积比为16∶9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4∶3
D．若点是的黄金分割点，且，则的长为
8．如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），，与交于点，连接，，．下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，，，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为__________米．
12．在比例尺1∶8000000的地图上，量得太原到北京的距离为6.4厘米，则太原到北京的实际距离为______千米．
13．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，若AB＝2，则BP＝_______________（结果保留根号）．
14．下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．
15．如图，三角形是直角三角形沿着平移得到的，若，，，则图中阴影部分的面积为__________．
16．如图，正方形ABCD中，点E为AB的中点，M、N分别为AD、BC上的点，若，，，则MN的长为________．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB：AC＝3：4，点D是BC上一点，AB＝BD，连接AD，作BE⊥AD于点E，连接CE，若AD＝12，则△ACE的面积为_____．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
19．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？
20．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：
（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC︰BC＝3︰4，求BD︰CE为多少．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标；
（2）以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．
22．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3．
（1）求证：△EGC∽△GFH；
（2）求AD的长；
（3）求HF的值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），，在上，，分别在，上，且于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，设，矩形的面积为，求出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
25．如图1，在 ABCD中，AC、BD相交于O，过O作OG⊥AC交BC于G，连接AG．
（1）求证：AC平分∠DAG；
（2）如图2，把△AOB沿OA翻折得到△AOE，连接DE，求证：ED∥AC；
（3）如图3，连接CE交AD于F点，交BD于H点，若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求EH的长．
试卷第1页，共3页
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