2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.6双曲线及其方程专题同步练习卷（Word含答案解析）

高二同步专题测试题
双曲线
本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题爱共40分）
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，那么（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是　　
A．或 B． C． D．
7．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
8．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，直线经过双曲线的右焦点且垂直于，设直线与，分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．设点P为双曲线右支上的动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若点AB始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是
A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞）
10．双曲线的右焦点为，点在椭圆的一条渐近线上.为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A．该双曲线离心率为
B．双曲线与双曲线的渐近线相同
C．若，则的面积为
D．的最小值为
第二部分 （非选择题爱共110分）
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．双曲线的渐近线方程是______________；离心率是________.
12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________.
13．已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是______；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为______．
14．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆和双曲线的离心率之积为_____________.
15．在平面直角坐标系中，对于曲线，有下面四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；
④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)经过点,且一条渐近线为4x+3y=0
(2)双曲线与x轴的一个交点是(2,0),且离心率是3.
17．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且该椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A B两点，若弦AB中点在直线上，求直线l的方程.
18．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
19．已知双曲线C：(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，右顶点为(1，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线y＝x＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点为，当x0≠0时，求的值．
20．已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别为，，且，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且，求的面积．
21．已知直线过双曲线：的右焦点，且直线交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l交y轴于点 ，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；
试卷第4页，共4页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．C
【分析】
求出的值，结合双曲线焦点的位置可求得焦点坐标.
【详解】
在双曲线中，，，则，
因为双曲线的焦点在轴上，故该双曲线的焦点坐标为和.
故选：C.
2．A
【分析】
根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解.
【详解】
若方程表示双曲线，
则或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题.
3．D
【分析】
根据和的关系求得离心率.
【详解】
由于双曲线的渐近线为，所以，
所以.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
4．A
【分析】
根据双曲线与椭圆的的公式求解即可.
【详解】
椭圆中.故双曲线中有,因为,解得.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了椭圆与双曲线的基本量关系,属于基础题.
5．B
【分析】
先求出，再求出双曲线的渐近线方程，由点到直接的距离公式可得答案.
【详解】
椭圆的右顶点
双曲线的渐近线方程为：，即
由点到双曲线的一条渐近线距离为
解得
故选：B
6．C
【分析】
直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．
【详解】
解：双曲线可知，并且，，双曲线的离心率为：，
，
，
解得，综上．
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．
7．A
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
8．C
【分析】
由已知可得，，过F作FG于G，易得，，从而，在中，利用勾股定理即可建立之间的关系.
【详解】
如图1，，，由已知，，，所以
，如图2，过F作FG于G，易证，
所以，故，，从而
，在中，，所以，化简
得，故双曲线离心率为.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率的问题，关键是找到之间的关系，建立方程或不等式，本题是一道中档题.
9．B
【分析】
结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.
【详解】
根据题意,因为点P为双曲线右支上的动点,过点P向两条渐近线作垂线,垂足分别为A,B,若点AB始终在第一、第四象限内,则有渐近线的倾斜角不大于,即,则双曲线的离心率为,又,则.
故选
【点睛】
本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式,考查了理解能力和转化能力.
10．D
【分析】
A. 根据双曲线方程，求出a，b，c，利用离心率公式求解判断； B. 分别求出两个双曲线的渐近线方程判断； C. 根据点P在渐近线上，又，利用直线PO与直线PF的方程联立，求得点P的坐标求解判断；D. 由的最小值为点F到渐近线的距离求解判断.
【详解】
A. 因为双曲线方程为，所以 ，则 ，故正确；
B. 双曲线与双曲线的渐近线方程都为，故正确；
C. 设，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为，即为直线PO的方程，又因为，所以直线PF的方程为，由，解得，即，所以，故正确；
D. ，其中一条渐近线为，则的最小值为点F到渐近线的距离，即，故错误；
故选：D
11．
【分析】
由双曲线的标准方程求出a、b，即可求出渐近线方程和离心率.
【详解】
因为双曲线的标准方程为，所以，
所以，所以渐近线方程为；
离心率.
故答案为：；.
12．
【分析】
由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以双曲线的方程为，故可取，
此时，
所以离心率
故答案为：，
13．
【分析】
易得，，再结合，可知，然后由求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为，设点，分别求出和，根据列出方程，求出x的值，然后可得点到y轴的距离，，最后计算的面积.
【详解】
易知，，所以，
又，，所以；
所以双曲线的方程为：，其中经过一、三象限的渐近线方程为，
故可设点，所以，，
因为，所以，即，
解之得：，所以点到y轴的距离为，又，所以：
.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.
14．
【分析】
本题首先可通过椭圆与双曲线共焦点得出，然后设，依次代入椭圆与双曲线方程中，得出以及，即，最后联立，求出、以及椭圆与双曲线的离心率，即可得出结果.
【详解】
因为、为椭圆和双曲线的公共焦点，
所以，
因为为它们的一个公共点，且，所以可设，
则，，，
，，，即，
联立，解得，，
则椭圆，双曲线，，
故，，，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查通过椭圆与双曲线共焦点求离心率，能否根据求出是解决本题的关键，椭圆中有，双曲线中有，考查计算能力，是中档题.
15．①④
【分析】
先去绝对值符号，得出圆锥曲线的方程，在分析判断每项即可得出结论.
【详解】
解：当时，曲线：为焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线：为焦点在轴上的椭圆，
所以双曲线和椭圆都关于轴对称，
故①正确；
当点在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，
故②错误；
存在三组实数使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1，
故③错误；
当时，存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，
故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的图像与性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，还考查了学生分析解决问题的能力，有一定的难度.
16．(1) (2)
【分析】
(1)根据题意，设双曲线的方程为：，代入点求出，即可得出双曲线的标准方程；
(2)由双曲线的性质以及离心率公式解出，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
(1)双曲线的一条渐近线为
可设双曲线的方程为：
代入点，得
则有双曲线的标准方程为
(2)双曲线与x轴的一个交点是(2,0)，所以
由，得，则
所以双曲线的标准方程为
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.
17．（1）；（2）或.
【分析】
（1）由题可求椭圆的焦点，再结合条件即求；
（2）由题可设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法即求.
【详解】
（1）方法一：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
设椭圆的方程为：，
因为椭圆过点，可得，
又由及，解得，，
所以椭圆的方程为.
方法二：由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点为，
所以，得
所以
所以椭圆的方程为.
（2）当直线与x轴重合时不满足题意；
当直线与x轴不重合时，设直线方程为，
由
消化简得
设，得，
因为弦中点在直线，所以解得，
所以直线的方程为或.
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意得到方程组，解得即可；
（2）设，于是，根据平面向量数量积的坐标表示及转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）依题意有又，所以，故双曲线的方程为.
（2）由已知得，设，
于是，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，.
【点睛】
本题考查待定系数法求双曲线方程，平面向量的数量积以及二次函数的性质的应用，属于中档题.
19．（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由双曲线的渐近线方程为： ，得到 ，又a=1，即可得到双曲线的方程；
（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．
【详解】
(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
由题意得＝，a＝1，解得b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)联立直线方程和双曲线方程，得到消去y，得2x2－2mx－m2－3＝0，则Δ＝4m2＋8(m2＋3)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝m，则中点M的横坐标为x0＝，y0＝x0＋m＝m，所以＝3.
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质及运用，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理及中点坐标公式解题，考查运算能力，属于中档题．
20．（1）；（2）1.
【分析】
（1）由焦距得，由焦点到渐近线的距离为1可得关系，从而求得，再由求得得双曲线方程；
（2）由，得为直角三角形且，结合双曲线的定义求得，从而得三角形面积．
【详解】
解：（1）依题意，知，.
不妨设双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，渐近线方程即，
则，∴，∴
∴双曲线的标准方程为.
（2）在中，∵是边，上的中线且，
∴为直角三角形且.
∵是双曲线上一点，∴
平方，得，
其中，
∴
∴
21．（1）；（2）是定值，为
【分析】
（1）根据题意得，进而由求得即可得答案；
（2）假设存在，设，则根据向量关系得，，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可.
【详解】
解：（1）由题知双曲线的交点在轴上，，
因为直线过双曲线：的右焦点，
所以，即，
所以，即.
所以双曲线C的方程.
（2）由题知，设，
，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以直线与双曲线：联立方程得：，
所以，且，即，
所以，
所以
，
所以当变化时，探究的值是定值，为.
高二同步专题测试卷 9 / 9