2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册2.7抛物线及其方程 同步练习卷（Word含答案解析）

高二同步专题测试题
抛物线
本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题爱共40分）
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
2．在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．过抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，抛物线的焦点为，直线在轴下方交抛物线于点，则（　　）
A．1 B． C．3 D．4
6．设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点．若，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于
A． B． C． D．
9．如果抛物线的焦点为．点为该抛物线上的动点，又点．那么的最大值是　　
A． B． C． D．1
10．已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（ ）
A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得的点M有且仅有4个
D．使得的点M有且仅有4个
第二部分 （非选择题爱共110分）
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．设抛物线的焦点为，点在抛物线上. 则抛物线的准线方程为____；____.
12．已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则
13．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
14．已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线距离之和的最小值是________．
15．已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上. 则椭圆的方程为_____，的左焦点到的准线之间的距离为_______.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点.
（1）将表示为的函数；
（2）若，求的周长.
17．已知点在抛物线上，过点且斜率为的直线与抛物线的另一个交点为.
（1）求的值和抛物线的焦点坐标；
（2）求弦长.
18．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于、两点，定点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为，求的面积；
（3）若是以为直角顶点的直角三角形，求直线的方程.
19．已知抛物线：经过点，其焦点为.直线与抛物线相交于点、.
（1）求抛物线的方程以及焦点的坐标；
（2）求证：.
20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线交抛物线于点，再从条件①的中点为；②的中点为，这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．已知抛物线经过点.
（1）写出抛物线的标准方程及其准线方程，并求抛物线的焦点到准线的距离；
（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
（i）求点的坐标；
（ii）求与面积之和的最小值.
试卷第2页，共3页
试卷第2页，共9页
参考答案
1．D
【分析】
根据抛物线中的几何意义计算可得；
【详解】
解：依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，
所以抛物线方程为；
故选：D
2．D
【分析】
利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离.
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，
若横坐标为的点到焦点的距离为，则由抛物线的定义知，，
解得.
故选：D.
3．B
【分析】
求出抛物线的准线方程为：，令即可求得的值，即可求解.
【详解】
抛物线()的准线为：，
因为准线经过点，可得，即，
所以抛物线为，焦点坐标为，
故选：B.
4．D
【分析】
先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】
由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以 的面积为，
故选：D
5．D
【分析】
根据题意求得点，接着写出直线方程得到直线方程为，联立直线方程与抛物线方程得到，最后根据焦半径公式求解即可.
【详解】
由题意做出示意图如下：因为抛物线，
点在抛物线上，
所以，
则，又，
所以直线方程为，
联立抛物线方程得到，
解得或，
因为点在轴下方，所以,
由焦半径公式得：，
故选：D.
6．D
【分析】
利用抛物线的定义得到抛物线的方程，结合梯形中位线和抛物线的性质，计算即可.
【详解】
由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、，
连接、，由梯形的中位线知，，，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查了抛物线定义的应用，属于中档题.
7．B
【分析】
先求当点在点的下方时，由向准线作垂线，垂足为，根据抛物线定义可知，根据，判断进而可知，，进而可得直线的斜率，同理可求得当点在A点上方时直线的斜率．
【详解】
解：当点在点的下方时，
由向准线作垂线，垂足为，根据抛物线定义可知，
，
直线的斜率为
同理可求得当点在A点上方时斜率为
故
故选：B.
8．C
【分析】
画出图形，由四边形是矩形可得点的纵坐标相等．根据题意求出点的纵坐标后得到关于方程，解方程可得所求．
【详解】
由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．
在中，当时，则有．①
由得，代入消去整理得．②
结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，
由①②两式消去得，
整理得，
解得或（舍去），
∴．
故选C．
【点睛】
解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．
9．D
【分析】
由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得，所以的最大值时，，，三点共线，可得结果．
【详解】
解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在准线上，
作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，
在三角形中，，所以的最大值时，最小，
当，，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，
故选：．
【点睛】
考查抛物线简单几何性质，属于基础题．
10．C
【分析】
为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个．
【详解】
由为等腰三角形，若，则有两个点；
若，则不存在，若，则有两个点，
则使得为等腰三角形的点有且仅有4个；
由中为直角的点有两个；
为直角的点不存在；为直角的点有两个，
则使得为直角三角形的点有且仅有4个；
若的在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程可得，解得，
由对称性可得在第四象限只有一个，
则满足的有且只有2个；
使得的点在第一象限，可得直线，
代入抛物线的方程，可得，，
可得点有2个；
若在第四象限，由对称性可得也有2个，
则使得的点有且只有4个．
故选：C
11． 5
【分析】
根据公式可求准线方程，利用焦半径公式可求长度.
【详解】
因为抛物线的方程为，故准线方程为，
而，
故答案为：，5.
12．
【分析】
设，根据条件结合距离公式求出，即可求得.
【详解】
由已知可得，设，
，
则，解得，
.
故答案为：.
13．
【分析】
由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．
【详解】
如图，
由抛物线方程，得抛物线的焦点坐标，
即双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为．
不妨取，化为一般式：．
则，即，
又，联立解得：，．
则双曲线的离心率为：
故答案为：2．
【点睛】
本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14．
【分析】
作出图像，根据抛物线定义和性质将距离之和转化为动点到直线和焦点距离之和最小值，数形结合得焦点到直线的距离最小.
【详解】
解：作出图像如下：
根据抛物线定义有动点到直线和直线距离之和为
当点位于图中的时取得最小值，此时最小值为焦点到直线的距离，
由距离公式得：
故答案为：
【点睛】
抛物线性质的应用技巧：
（1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.
15．
【分析】
首先判断出在椭圆上，进而判断出在抛物线上，求得抛物线方程，以及另一个抛物线上点的坐标.判断出在椭圆上，并由此求得椭圆方程，进而求得椭圆左焦点到抛物线的准线的距离.
【详解】
注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.
【点睛】
本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查抛物线的几何性质，考查椭圆标准方程的求解以及椭圆的几何性质，考查分析和推理的能力，属于中档题.椭圆和坐标轴轴有四个交点，而抛物线和坐标轴的交点为，因此，本题中的成为解题的突破口，由此可以判断其它点是椭圆还是在抛物线上.抛物线的方程只需要抛物线上一个点的坐标就可以求解出来.
16．（1），；（2）.
【分析】
（1）设点，，，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；
（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合，进而得到的周长．
【详解】
（1），
整理得，
则，
，其中；
（2）由，
则，解得，
经检验，此时，
所以，
由抛物线的定义，
有，
又，
所以的周长为．
【点睛】
求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
17．（1），焦点坐标为；（2）.
【分析】
（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得出抛物线的标准方程以及该抛物线的焦点坐标；
（2）写出直线的方程，将该直线的方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式可求得弦长.
【详解】
（1）由点在抛物线上，得.
所以抛物线的方程为，焦点坐标为；
（2）直线的方程为，即，
解方程组，整理可得，解得或.
所以点的坐标为，所以.
【点睛】
方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
18．（1）；（2）；（3）或.
【分析】
（1）由抛物线的焦点坐标可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）写出直线的方程，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式计算出，并计算出点到直线的距离，由此可计算出的面积；
（3）分析出直线不与轴重合，可设直线的方程为，设点、，联立直线与抛物线的方程，列出韦达定理，由已知得出，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】
（1）由于抛物线的焦点为，则，可得，
因此，抛物线的方程为；
（2）直线的方程为，设点、，
联立，消去并整理得，，
由韦达定理可得，，
点到直线的距离为，
因此，的面积为；
（3）若直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意.
则直线与轴不重合，设直线的方程为，设、，
联立，消去得，，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由于是以为直角顶点的直角三角形，
则，解得，
所以，直线的方程为，即或.
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．（1）抛物线的方程为，焦点；（2）证明见解析.
【分析】
（1）把点代入抛物线：，求出，可得抛物线的方程及焦点的坐标；
（2）设，将直线方程与抛物线方程联立，消，利用韦达定理证明，即证.
【详解】
（1）抛物线：经过点，.
抛物线的方程为，焦点.
（2）设，
由消，得，
，
，即，
.
【点睛】
本题考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，属于基础题.
20．（1），准线方程：；（2）①，②.
【分析】
（1）将点代入抛物线，得，进一步求出结论；
（2）利用点差法求出直线的斜率，进而直线的方程，进一步求出点到直线的距离和，最终求出面积.
【详解】
（1）将点代入抛物线，得
∴
∴，
∴，准线方程为；
（2）选择条件①
设，
∴
∴
∴直线的斜率为
∴直线的方程：
∴点到直线的距离：，
∴；
选择条件②
设，
∴
∴
∴直线的斜率为
∴直线的方程：
∴点到直线的距离：，
∴.
21．（1），，焦点到准线的距离为1； （2）（i），（ii）.
【分析】
（1）由抛物线经过点，求得抛物线的方程为，再结合抛物线的几何性质，即可求解；
（2）（i）设过点的直线，联立方程组，求得，再由直线的方程，，即可求解的坐标；
（ii）利用三角形的面积公式，求得与面积之和的表示，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，抛物线经过点，即，
解得，所以抛物线的方程为，
抛物线的准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为1.
（2）（i）设过点的直线，
代入抛物线的方程，可得，
设直线与抛物线的交点，且，
则，
所以直线的方程为，
即，即，
令，可得，
所以，所以，所以，
（ii）如图所示，可得，
，
所以与面积之和为：
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以与面积之和的最小值为.
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
高二同步专题测试卷 9 / 9