2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章　直线与圆　单元练习卷（Word含答案解析）

高二同步专题测试题
直线与圆
本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题爱共40分）
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．若，，三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．和直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若两条直线与互相垂直，则的值为（　　）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
5．已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（ ）
A．1 B．
C．或1 D．2或1
6．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率
B．四条直线中斜率最大的直线是
C．直线的斜率是2
D．经过和的直线的斜率是1，则
7．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．直线（为常数），圆，则下列说法中：①当变化时，直线恒过定点；②直线与圆有可能无公共点；③对任意实数，圆上都不存在关于直线对称的两点；④若直线与圆有两个不同交点，则线段的长的最小值为，正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：
①符合的点的轨迹围成的图形面积为4；
②设点是直线：上任意一点，则；
③设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；
④设点是圆上任意一点，则．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第二部分 （非选择题爱共110分）
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为__________．
12．已知：，：，则与之间的距离为__________．
13．已知的三个顶点分别是，，.若直线过点，且将分割成面积相等的两部份，则直线的方程是______________.
14．平面直角坐标系中，已知，在中，边上的高所在的直线斜率为，边上的中线所在直线的方程为，则直线的一般式方程为_____，以为直径的圆的标准方程为_____.
15．直线与圆O:相交于两点，当的面积达到最大时，_______
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知三个顶点的坐标分别为，，．求：
（1）过点且与直线平行的直线方程．
（2）中，边上的高线所在直线的方程．
17．已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程.
条件①：直线经过直线与 的交点；
条件②：直线与圆相切；
条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
18．已知点在圆上，直线与圆交于，两点，且与圆交于，两点.
（1）求圆的方程；
（2）如果点为线段的中点，且，求直线的方程.
19．已知直线：与直线：，.
（1）若，求a的值；
（2）求证：直线与圆恒有公共点；
（3）若直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且为直角三角形，求a的值.
20．已知圆的圆心在轴上，且经过点，.
（1）求线段的垂直平分线方程；
（2）求圆的标准方程；
（3）已知直线：与圆相交于、两点，且，求直线的方程.
21．已知圆过，两点，且圆心在上.
（1）求圆的方程；
（2）设点是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形的面积的最小值.
试卷第4页，共4页
试卷第8页，共9页
参考答案
1．A
【分析】
先求出，从而可得关于的方程，故可求的值.
【详解】
因为，，故，
因为三点共线，故，故，
故选：A.
2．C
【分析】
利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】
解：当时，，而当时，，
所以“”是“”的充分必要条件，
故选：C
3．C
【分析】
求出直线与轴的交点，并求出直线的斜率，由此可得出所求直线的方程.
【详解】
直线交轴于点，且直线的斜率为，
故所求直线的方程为，即.
故选：C.
4．A
【分析】
根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.
【详解】
由两直线垂直，可知：，即.
故选：A
5．D
【分析】
由直线的方程求得直线在轴与轴上的截距，再由已知建立方程，解之可得答案.
【详解】
解：由题意知，令得，令得，所以直线在轴与轴上的截距分别为，，
由，得或．
故选：D.
6．D
【分析】
对于A，当直线的倾斜角为时，斜率不存在；对于B，倾斜角为钝角，其斜率是负的；对于C，直线的斜率为，对于D，由斜率公式求解即可
【详解】
解：对于A，当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以A错误；
对于B，直线倾斜角为钝角，其斜率是负的，而的倾斜角是锐角，其斜率为正数，所以B错误；
对于C，由得，所以直线斜率为，所以C错误；
对于D，因为经过和的直线的斜率是1，所以，解得，所以D正确，
故选：D
7．B
【分析】
由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得.
【详解】
由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，
所以圆心到直线的距离为.
故选：B
8．C
【分析】
先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果.
【详解】
由解得，即直线与的交点为，
因为直线，，不能构成三角形，
所以过点，或分别与、平行，
若过点，则，即；
若，则，即；
若，则，所以.
综上，的可能取值为.
故选：C.
9．A
【分析】
由直线系方程可确定①定点，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断②，根据特殊情况判断③，当圆心到直线的距离最大时，的长最小求长度判断④.
【详解】
①：由直线方程得，当时方程恒成立，即过定点，错误；
②：由题设，圆心为，半径为2，而圆心到直线的距离：，错误；
③：由②知：当时，直线l为过圆心，显然此时圆上存在关于直线对称的点，错误；
④：由②知：当，即时，的长最小，此时直线：代入圆的方程得，则.正确.
∴只有④正确.
故选：A.
10．C
【分析】
①根据新定义由，讨论的取值，得到与的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可；
②把转化为仅含的表达式，求出的范围，利用一次函数的单调性即可得到的最小值；
③根据大于等于或，把代入即可得到当最小的点有无数个时，等于1或；而等于1或推出最小的点有无数个，得到是“使最小的点有无数个”的充要条件；
④把的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题错误．
【详解】
解：对于①，由，根据新定义得：，
画出图象如图所示：
根据图形得到：四边形为边长是的正方形，面积等于2，①错误
对于②，点是直线：上任意一点，则，
，当时，②正确；
对于③，当时，，满足题意；
而，当时，，满足题意．
∴“使最小的点有无数个”的充要条件是“”，③正确；
对于④∵点是椭圆上任意一点，则可设，
，（，），
∴，④错误．
则正确的结论有：②③．
故选：C．
11．
【分析】
利用直线斜率与其倾斜角的关系即可求得答案．
【详解】
解：∵直线的方程为，设其倾斜角为，
则其斜率，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】
由题意利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
【详解】
解：∵：，：，则与之间的距离为，
故答案为：．
13．
【分析】
由已知条件得到直线是在边上的中线，求出的中点坐标以及直线的斜率，即可得出结论.
【详解】
由题意知：
直线是在边上的中线，
由，，
得的中点坐标为，
所以直线的斜率，
则直线的方程为：；
故答案为：.
14．2x+y﹣5＝0 （x﹣）2+（y﹣1）2＝
【分析】
（1）根据BC边上高的斜率可求直线BC的斜率，再利用点斜式方程即可求解；
（2）根据对称先求出C的坐标，再求AC的中点坐标，即为圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，进而可求圆的标准方程．
【详解】
解：（1）BC边上的高所在的直线斜率为，
所以直线BC的斜率为﹣2，直线BC的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2）即2x+y﹣5＝0，
（2）设C（x0，y0　），
因为AC边上的中线所在直线的方程为y＝1，
所以，即y0＝2，
由（1）可得BC的方程为y+2x﹣5＝0，
所以2x0+y0﹣5＝0，
则x0＝，C（），中点（），＝，
所以圆的方程（x﹣）2+（y﹣1）2＝．
15．
【分析】
由三角形面积公式可得当时，的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解.
【详解】
由圆可得圆心坐标为 ,半径，
将直线的方程化为，
因为，
所以当即时，的面积达到最大，
此时圆心到直线的距离，
解得.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用三角形面积公式转化面积最值为圆心到弦的距离，细心计算即可得解.
16．（1）；（2）．
【分析】
（1）先求出的斜率，由平行求出所求直线的斜率，利用点斜式直线方程求解即可；
（2）先求出的斜率，由垂直求出所求直线的斜率，利用点斜式直线方程求解即可．
【详解】
解：（1）因为三个顶点的坐标分别为，，，
所以直线的斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，即.
（2）因为直线的斜率为，
所以中边上的高所在直线的斜率为-1，
又高所在直线过点，
所以高所在直线的方程为，即．
17．答案见解析.
【分析】
选择条件①：解方程组求得已知两直线的交点坐标，根据斜率公式求得直线的斜率，
然后利用斜截式写出直线的方程并化为一般形式；
选择条件②：先判定直线的斜率存在，射出点斜式方程，利用直线与圆相切的条件列式求得直线的斜率得到方程；
选择条件③：先判定直线不与坐标轴平行，设处直线的方程的点斜式，求得横截距，进而利用已知三角形的面积求得斜率的之，得到直线的方程.
【详解】
选择条件①：
解方程组 得
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
选择条件②：
设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即.
圆的圆心为，半径为.
因为 直线与圆相切，
所以 . 解得.
所以直线的方程为，即.
选择条件③：
设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），
令 得.
则 .
解得.
所以直线的方程为，即，.
【点睛】
本题考查直线方程的各种求法，涉及直线与圆相切的条件，注意判定直线的斜率是否存在，注意思维的严密性.
18．（1）；（2）或.
【分析】
（1）把点代入圆O的方程求得半径，即得结果；
（2）由得，求得直线l的斜率，再分点M与原点重合与不重合进行讨论求解即可.
【详解】
解：（1）点在圆上，故代入方程计算得，故.
所以圆的方程为；
（2）因为，所以，
故由的斜率为，知直线l的斜率为3，
①当点M与原点重合时，直线l的方程为，满足题意；
②当点M不与原点重合时，因为点为线段的中点，则，所以直线OM的方程为，设直线l的方程为，，由得，即，又由M在圆C上可知，，
解得或（舍去），此时直线l的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
19．（1）；（2）证明见详解；（3）.
【分析】
（1）根据两直线平行，可直接得出的值；
（2）求出直线所过定点在圆上，即可证明结论成立；
（3）根据题中条件，由为直角三角形，得到为斜边，且，由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，再由圆的几何法表示出弦长，列出等量关系求解，即可得出的值.
【详解】
（1）因为直线：的斜率为，
又，直线：，所以，则；
（2）由，令可得，所以直线过定点，
因为显然满足，即点在圆上，
所以直线与圆恒有公共点；
（3）因为圆的圆心为，半径为，
又直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，为直角三角形，所以，则为斜边，且，
又圆心到直线的距离为显然恒成立，
根据圆的性质可得：，
所以，解得.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第三问的关键在于根据圆的性质，以及题中条件，确定为的斜边，并得到的长度，再结合点到直线距离公式，以及弦长公式，即可求解.
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；
（2）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果；
（3）由题意可知：圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得结果.
【详解】
解：（1） 设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
(2) 设圆的标准方程为，其中，半径为（）.
由圆的性质，圆心在直线上，化简得．所以 圆心， ，
所以 圆的标准方程为．
(3)设为中点，则，得．设圆心到直线的距离.
又，解得，所以直线的方程为．
【点睛】
方法点睛：圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）设出的标准方程，将C,D点代入及圆心坐标代入直线方程列出方程组即可求解.
（2）将四边形面积化为2个三角形面积，转化为切线长的最值问题，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：（1）设圆心，圆的方程为，
根据题意得，
解得.
故所求圆的方程为.
（2）由题易知，四边形的面积.
又，，所以.
而，
即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
即在直线上找一点，使得的值最小.因为当所在直线垂直于直线时，取得最小值，
所以，
所以四边形的面积的最小值为.
【点睛】
本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.
高二同步专题测试卷 9 / 9