(共42张PPT)
1.1 命题及其关系
第一课时
第一章 常用逻辑用语
问题提出
1.人与人之间需要交流，需要讲话，当讲话有真话、有假话、还有不象话.因此，在我们日常交往、学习和工作中，逻辑用语是必不可少的工具，同时正确使用逻辑用语是现代公民应具备的基本素质.
2.数学是一门逻辑性很强的学科，表述概念和结论，进行推理和论证，都要使用逻辑用语.学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.
探究（一）：命题的概念
思考1：下列语句可以判断真假吗？
（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
（2）2＋4＝7；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行
（4）若 x2＝1,则x＝1；
（5）两个全等三角形的面积相等；
（6）3能被2整除.
思考2：下列语句可以判断真假吗？
（1）x＞5；
（2）好大一棵树；
（3）你想去秋游吗？
（4）今天真热.
思考3：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断一个语句是否为命题，要考虑哪几个基本要素？
（1）语句是否为陈述句；
（2）语句是否可以判断真假.
思考4：对于判断为真的命题与判断为假的命题，在概念上如何区分？
判断为真的命题叫做真命题；
判断为假的命题叫做假命题.
思考5：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数；
（3）对数函数是增函数吗？ （4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行.
（5） ； （6）x2＋x－6＞0.
真
真
假
假
不是命题
不是命题
探究（二）：命题的形式
思考1：命题可以用语言、符号或式子等来表达，命题“若整数a是素数，则a是奇数”和“若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行”，在表达形式上有什么共同特点？
具有“若p，则q”的形式
思考2：对具有“若p，则q”形式的命题，在逻辑上，p、q分别是什么地位？
p是命题的条件，q是命题的结论.
思考3：下列命题具有“若p，则q”的形式吗？能写成“若p，则q”的形式吗？
（1）指数函数是偶函数；
（2）菱形的对角线互相垂直且平分；
（3）能被2整除的整数是偶数；
（4）垂直于同一平面的两直线平行.
思考4：任何一个命题都能写成“若p，则q”的形式吗？试举例说明.
探究（三）：四种命题
【背景材料】考察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；
思考1：上述命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
真
真
假
假
【背景材料】考察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；
思考2：命题（1）和（2）的条件与结论有什么关系？
思考3：在逻辑上，我们将命题（1）和（2）叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题，那么“互逆命题”的定义是什么？
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则称这两个命题叫做互逆命题．
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
思考4：命题（1）和（3）的条件与结论有什么关系？
【背景材料】考察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；
思考5：在逻辑上，我们将命题（1）和（3）叫做互否命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题，那么“互否命题”的定义是什么？
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则称这两个命题叫做互否命题．
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
思考6：命题（1）和（4）的条件与结论有什么关系？
【背景材料】考察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；
思考7：在逻辑上，我们将命题（1）和（4）叫做互为逆否命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题，那么“互为逆否命题”的定义是什么？
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则称这两个命题叫做互为逆否命题．
思考8：为了书写方便，把条件p的否定和结论q的否定，分别记作“﹁p”和“﹁q”，读作“非p”和“非q”，若原命题的形式为“若p，则q”，则其逆命题、否命题、逆否命题的表示形式分别是什么？
原命题：若p，则q；
逆命题：若q，则p；
否命题：若﹁p，则﹁q；
逆否命题：若﹁q，则﹁p.
理论迁移
例1 判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由.
（1）奇数的平方仍是奇数；
（2）所有的质数都是奇数；
（3）明天会出太阳；
（4）人可以长命不死；
（5）若x∈R，则x2＋2x＋3＞0；
（6）若x＋y和xy都是有理数，则x，y均为有理数.
例2 将下列命题改写成“若p，则q”的形式.
（1）两条相交直线有且只有一个交点；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）两个正数的和为正数.
例3 写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题.
（1）平行四边形的对边相等；
（2）菱形的对角线互相垂直平分；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
小结作业
1.命题，真命题，假命题，原命题，逆命题，否命题，逆否命题等，都是数学中逻辑概念，判断一个语句是命题，必须同时具备两个基本条件：语句是陈述句；语句可以判断真假.
2.命题有真假之分，逆命题，否命题，逆否命题具有相互性，任何一个命题都有逆命题，否命题和逆否命题.
3.“若p，则q”是命题的基本形式，在本章中，我们只讨论这种形式的命题. “﹁p”是“非p”的符号表示，其含义是对p的否定.
作业：
P4练习：2，3.
P8习题1.1A组：1，2.
1.1 命题及其关系
第二课时
问题提出
1.命题的定义是什么？一般用什么形式表示？
定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
形式：一般用“若p，则q”表示，其中p是命题的条件，q是命题的结论.
2.对于一个原命题，其逆命题、否命题、逆否命题分别是怎样构成的？
逆命题：交换原命题的条件和结论；
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
3.原命题，逆命题，否命题，逆否命题的表示形式分别是什么？
原命题：若p，则q.
逆命题：若q，则p.
否命题：若﹁p，则﹁q.
逆否命题：若﹁q ，则﹁p.
4.四种命题是相互联系的，从逻辑上如何进一步认识它们之间的相互关系，是本节课要探究的主题.
探究（一）：四种命题的逻辑关系
思考1：对于下列命题，它们之间的相互关系如何？
（1）若a＝0，则ab＝0； （2）若ab＝0，则a＝0；
（3）若a≠0，则ab≠0； （4）若ab≠0，则a≠0.
若a＝0，则ab＝0.
若ab＝0，则a＝0.
若a≠0，则ab≠0.
互逆
互逆
互否
互否
互
为
逆
否
为
逆
否
互
若ab≠0，则a≠0.
思考2：一般地，怎样理解原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间的相互关系？
互逆
互逆
互否
互否
互
为
逆
否
为
逆
否
互
原命题：若p则q
逆命题：若q则p
否命题：若﹁p则﹁q
逆否命题：若﹁q则﹁p
探究（二）：四种命题的真假关系
思考1：下列四个命题中哪些是真命题，哪些是假命题？
（1）若a＝0，则ab＝0；
（2）若ab＝0，则a＝0；
（3）若a≠0，则ab≠0；
（4）若ab≠0，则a≠0.
真
真
假
假
思考2：已知原命题：若|x|＝x，则x≥0，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？
原命题：若|x|＝x，则x≥0；
逆命题：若x≥0，则|x|＝x；
否命题：若|x|≠x，则x＜0；
逆否命题：若x＜0，则|x|≠x.
（真）
（真）
（真）
（真）
思考3：已知原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？
原命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
逆命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2；
逆否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.
（假）
（假）
（真）
（真）
思考4：已知原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？
原命题：若x＞0，y＜0，则x＋y＞0；
逆命题：若x＋y＞0，则x＞0，y＜0；
否命题：若x≤0，y≥0，则x＋y≤0；
逆否命题：若x＋y≤0，则x≤0，y≥0.
（假）
（假）
（假）
（假）
思考5：上述四组命题的真假概括如下表所示，你能发现四种命题的真假性之间的关系吗？
假
假
假
假
假
真
真
假
真
真
真
真
真
假
假
真
逆否命题
否命题
逆命题
原命题
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
理论迁移
例1 证明：若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
例2 求证：圆的两条不是直径的相交弦 不能互相平分.
A
B
C
D
例3 已知原命题：若关于x的方程 x2＋bx＋c＝0有实根，则b＋c＋1＝0. 试判断其否命题的真假，并说明理由.
小结作业
1.四种命题中任意两种命题的关系都具有相互性，其中有两组互逆命题，两组互否命题，两组互为逆否命题.
2.原命题与逆否命题同真同假，即原命题与逆否命题等价，这是反证法的理论依据.
3.原命题与逆命题（否命题）真假不明，但逆命题与否命题等价，若判断原命题的否命题的真假有困难，可以换成判断原命题的逆命题的真假.
作业：
P8练习题.
习题1.1A组：3，4.(共36张PPT)
命题及其关系
思考
下列语句的表述形式有什么特点 (句型)你能判断
它们的真假吗
（1） 12>5;
（2） 3是12的约数;
（3） 0.5是整数;
（4）对顶角相等;
（5）3 能被2整除;
（6）若x2=1,则x=1.
语句都是陈述句，
并且可以判断真假。
命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
判断为真的语句叫做真命题。
判断为假的语句叫做假命题。
判断下列语句是不是命题？
判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件。
7是23的约数吗
X>5.
-2
画线段AB=CD.
把门关上
10000000是一个好大的数啊!
疑问句
祈使句
感叹句
不能判断真假
今天天气如何？
你是不是作业没交？
这里景色多美啊！
-2不是整数。
4>3。
x>4。
看看下列语句是不是命题？
不是（疑问句）
不是（疑问句）
不是（感叹句）
是（否定陈述句）
是（肯定陈述句）
不是（开语句）
“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”
具有“若p则q”的形式。
q
p
p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。
“若p则q”形式也可写成“如果p,那么q”或“只要p,就有q”.
例 指出下列命题中的条件p和结论q：
若整数a能被2整除，则a是偶数；
菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除，
结论q：整数a 是偶数。
2) 先写成若p，则q 的形式：
若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
条件p：四边形是菱形，
结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数.
(2) 正方形的四条边相等.
(3) 面积相等的两个三角形全等.
(4) 等边三角形的三个内角相等.
真命题
真命题
假命题
真命题
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件p和结论q,你能发现各命题之有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
这两个命题叫做互逆命题。
原 命 题：其中一个命题(1)叫做原命题。
逆 命 题：另一个命题(2)叫做原命题的逆命题。
p
q
q
p
即 原命题:若p,则q
逆命题:若q,则p
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.
p
q
┐p
原命题:若p,则q
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”,读做“非p”
否命题:若┐p,则┐q
互否命题 原命题 (原命题的)否命题
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
p
q
┐q
原命题: 若p, 则q
┐p
逆否命题: 若┐q, 则┐p
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
原命题
若p 则q
逆命题
若q 则p
否命题
若 则
逆否命题
若 则
互 逆
互 逆
互 否
互 否
互为 逆否
互为 逆否
四种命题之间的相互关系
（1）判断下列命题的真假？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真)
（2）:指出下列命题的关系？并判断真假？
①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；
③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；
④如果两个三角形面积不相等，那么它们不全等；
原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真)
原命题:若两个角相等,则两角是对顶角
逆命题: 若两角是对顶角,则两角相等.
否命题: 若两角不相等,则两个不是对顶角.
逆否命题: 若两角不是对顶角,则两个不相等.
(3)相等的角是对顶角
原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假)
逆命题: 凡奇数都是质数. 否命题: 不是质数就不是奇数. 逆否命题: 不是奇数就不是质数.
(4)凡质数都是奇数.
原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假)
原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？
（1）原命题 (真) 逆命题 (假)
否命题 (假) 逆否命题 (真)
（2）原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真)
（3）原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假)
（4）原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假)
原命题与逆命题未必同真假.
原命题与否命题未必同真假.
原命题与逆否命题一定同真假.
原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假.
几条结论:
判断正误,并说明理由:
(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”。
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”。
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。
命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。
对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。
命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例 设原命题是“当c >0 时，若a >b ，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：
解：
逆命题：当c >0 时，若ac >bc ，则a >b．
逆命题为真．
否命题：当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ．
否命题为真．
逆否命题：当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ．
逆否命题为真．
原结论 反设词 原结论 反设词
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x,成立 对任何x，
不成立
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
不是
不都是
不大于
大于或等于
一个也没有
至少有两个
至多有（n-1)个
至少有（n+1)个
存在某x，
不成立
存在某x，
成立
命题及其关系
小结
这节课主要是学习了一个命题的逆命题、否命题、逆否命题。并且进行一个命题的改写成其它三种命题。在改写过程中，一定要注意命题的条件和结论是什么。
作业
回顾
交换原命题的条件和结论，所得的命题是________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________
逆命题。
否命题。
逆否命题。
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
若 p, 则 q
若 q, 则 p
若┐p, 则┐q
若┐q, 则┐p
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析：将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。
练 p9
反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。
即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。
反证法的步骤：
假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾；
与反设矛盾；
与公理、定理矛盾；
在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
反证法的步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
例 用反证法证明：
如果a>b>0，那么 .
练 用反证法证明：
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
反证法的步骤：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立
(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
若a2能被2整除，a是整数，
求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，
故可令a=2m+1(m为整数),
由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,
此结果表明a2是奇数，
这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,
∴a能被2整除.(共14张PPT)
例1
例2
课堂练习
四种命题的真假情况表
1
1
方法点评
上节课我们重点认识了四种命题形式
复习
注:(1) “互为”的含义;
(2)原命题与其逆否命题同真同假.
(3)逆命题与否命题同真同假.
原命题
若p,则q
逆否命题
若 q,则 p
否命题
若 p,则 q
逆命题
若q,则p
互逆
互 否
互 否
互逆
互为逆否
同真同假
为什么
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
否命题 若 p,则 q
原命题 若p,则q
逆命题 若q,则p
逆否命题 若 q,则 p
同真同假
所以,证明原命题为真困难时,可以考虑证明逆否命题为真.
为什么
反证法
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
例2
答案
假设原命题结论的反面成立
看能否推出原命题条件的反面成立
尝试成功
得证
方法点评
答案
假设原命题结论的反面成立
看能否推出原命题条件的反面成立
“等腰△ABC中,AB=AC” 不是条件
尝试成功
得证
练习
1答案
2答案
3.已知m、n、p、q∈R，且同时满足
⑴m+n=1，⑵p+q=1，⑶mp+nq＞1.
求证： m、n、p、q中至少有一个是负数.