(共58张PPT)
1.2.1充分条件与
必要条件
高二数学选修2--1
1、命题：
可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。
2、四种命题及相互关系：
复习引入
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
逆命题 若q则p
原命题 若p则q
否命题 若 p则 q
逆否命题 若 q则 p
互逆
互 否
互 否
互为 逆否
互逆
⑴ p ：小明是北京人， q ：小明是中国人
⑵ p ：x >5 ， q ： x >0；
⑶ p ：x2 = y2， q ： x = y；
⑷ p ：A∩B=A， q ： A B；
⑸ p ：a >b ， q ： a2 >b2；
判断下列“若p则q”形式命题的真假，
并研究其逆命题的真假.
复习引入
答:
复习引入
P q 原命题 逆命题
1 小明是北京人 小明是中国人
2 x>5 x>0
3
4
5
假
真
真
真
真
假
假
假
假
真
感知---形成概念
⑴ p：小明是北京人，q：小明是中国人
⑵ p ：x >5 ， q ： x >0；
⑷ p ：A∩B=A， q ：
在⑴、⑵、⑷中， ，即只要有条件p 就一定能“充分”保证q 成立，这时称p是q成立的充分条件.
命题⑴ ,根据逆否命题 , 即如果没有q成立,就一定没有p成立, q成立是p成立“必须要有”的条件,称 q是 p的必要条件.
感知---形成概念
2. 写出⑴“若小明是北京人，则小明是中国人”的逆否命题，并判断真假.
若小明不是中国人，则小明不是北京人
（ ）
练习1： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命 题中的 p是q的充分条件？
1、若 x=1,则x2-4x+3=0;
2、若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
3、若x为无理数,则x2为无理数 .
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
感知---形成概念
练习2： 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1) 若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除。
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
(3)若a>b,则ac>bc.
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件
感知---形成概念
探究问题：
如何判断p是q的什么条件？
感知---形成概念
逆命题
原命题
p是q的什么条件
⑴ p ：小明是北京人，q ：小明是中国人
⑵ p ：x >5 ， q ：x >0；
⑶ p ：x2 = y2， q ：x = y；
⑷ p ：A∩B=A， q ：A B；
⑸ p ：a >b ， q ：a2 >b2；
感知---形成概念
(假)
(真)
⑵
(假)
⑸
(真)
(真)
⑷
(真)
(假)
⑶
(假)
(真)
⑴
(假)
充分不必要
非充分非必要
充分不必要
必要不充分
既充分又必要
解：在(1)(3)中，p q, 所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在(2)中，q p，所以(2)中p的不是q的充要条件。
练习3、下列各题中,哪些p是q的充要条件
(1)p: q:
(2)P: x>0,y>0, q: xy>0;
(3)P: a>b, q: a+c>b+c.
感知---形成概念
例1、下列“若p则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。 （2）若 ,则 （3）若整数m是4的倍数，则m是6的倍数。
理解应用概念
[图1]
A
C
例2：开关A闭合是灯泡亮的什么条件？
理解应用概念
思维训练：参照例2 设计两组电路图，满足开关A闭合分别是灯泡亮的必要非充分条件和充要条件.
理解应用概念----逆向思维探究活动
原命题 逆命题 p是 q的什么条件
⑴ (真) (假) 充分非必要条件
⑵ (假) (真) 必要非充分条件
⑶ (真) (真) 充要条件
⑷ (假) (假) 既非充分又非必要
归纳总结
1.掌握充分、必要、充要条件的概念;
Ⅰ)认清条件和结论.
Ⅱ)考察是否有 p q 和 q p
即原命题与逆命题的真假
2.判断条件和结论间的逻辑关系时应注意：
归纳总结
生活中的充分与必要
1、玉不琢，不成器
2、头发长见识短
3、2007年3月29日胡锦涛总书记考察北京奥运会工程建设时指出：“营造积极的国际环境，是成功举办奥运会的必要条件”
生活中的充分与必要
练习、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.
(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.
(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.
(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
如果 p是 q的充分条件, 同时又是 q的必要条件，则称 p是q 的充分必要条件,简称充要条件.
记作：
充要条件定义
感知---形成概念
判别步骤：Ⅰ) 认清条件和结论.
Ⅱ) 考察是否有 A B和B A
即原命题与逆命题的真假
理解应用概念---例1
如果 ，那么p是q 成立的充分条件，同时，q是 p成立的必要条件.
充分、必要条件定义：
感知---形成概念
[图2]
A
C
[图3]
A
理解应用概念---参考设计
能 力 测 试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形
为正方形”的 条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的 条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的 条件。
充分
必要
充分
充分
原命题 逆命题 p是 q的什么条件
⑴ (真) (假) 充分非必要条件
⑵ (假) (真) 必要非充分条件
⑶ (真) (真) 充要条件
⑷ (假) (假) 既非充分又非必要
归纳总结
1.掌握充分、必要、充要条件的概念;
Ⅰ)认清条件和结论.
Ⅱ)考察是否有 p q 和 q p
即原命题与逆命题的真假
2.判断条件和结论间的逻辑关系时应注意：
归纳总结
能 力 测 试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形
为正方形”的 条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的 条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的 条件。
充分
必要
充分
充分
感知---形成概念
若 ，则p是q的充分条件
若 ，则p是q的必要条件
探究问题：
⒊ 尝试初步运用
探究结论：
p可能是q的充分条件或必要条件，
因此要判断是否有 或 .
① 如果p是q的必要条件？那么应该有 还是
② 如何判断p是q的什么条件？
理解概念
形成概念
感知概念
形成概念
深化概念
小结作业
原命题 逆命题
⑴ (真) (假)
⑵ (真) (假)
⑶ (假) (真)
⑷ (真) (真)
⑸ (假) (假)
充分非必要
充分非必要
必要非充分
既充分又必要
非充分非必要
p是q的什么条件
q是p的什么条件
既充分又必要
理解概念
形成概念
感知概念
形成概念
深化概念
小结作业
⑴ p ：小明是广州人，q ：小明是中国人
⑵ p ：x >5 ， q ：x >0；
⑶ p ：x2 = y2， q ：x = y；
⑷ p ：A∩B=A， q ：A B；
⑸ p ：a >b ， q ：a2 >b2；
如果 p是 q的充分条件, 同时又是 q的必要条件，则称 p是q 的充分必要条件,简称充要条件.
记作：
充要条件定义
理解概念
形成概念
感知概念
形成概念
深化概念
小结作业
原命题 逆命题 p是 q的什么条件
⑴ (真) (假) 充分非必要条件
⑵ (假) (真) 必要非充分条件
⑶ (真) (真) 充要条件
⑷ (假) (假) 既非充分又非必要
归纳总结
理解概念
形成概念
感知概念
形成概念
深化概念
小结作业
A B A是B的什 么条件 B是A的什么条件
两个角相等 两个角是对顶角
a≥b a>b
x∈A且x∈B x∈A∩B
ab≠0 a≠0
m是4 的倍数 m是6 的倍数
例1：
判别步骤：Ⅰ) 认清条件和结论.
Ⅱ) 考察是否有 A B和B A
即原命题与逆命题的真假
理解概念
形成概念
感知概念
形成概念
深化概念
小结作业
[图1]
例2：
A
C
开关A闭合是灯泡亮的什么条件？
理解概念
形成概念
感知概念
形成概念
深化概念
小结作业
逆向思维探究活动
理解概念
形成概念
感知概念
理解概念
深化概念
小结作业
发散练习1：
参照例2 设计两组电路图，满足开关A闭合分别是灯泡亮的必要非充分条件和充要条件.
参考设计：
[图2]
A
C
参考设计：
[图3]
A
理解概念
形成概念
感知概念
理解概念
深化概念
小结作业
理解概念
形成概念
感知概念
理解概念
深化概念
小结作业
练习2：
举出生活中或数学知识中符合充分条件或必要条件关系的实例.
Q
P
P、Q
P、Q
即“ P =Q”，
理解概念
形成概念
感知概念
深化概念
小结作业
深化概念
探究问题：
探究结论：
p表示某元素属于集合P, q表示该元素属于集合Q
如何用集合间的关系理解 的含义？
│x│>1 的一个充分不必要条件是（ ）
A. x<0或 x>1 ； B. x>3 ;
C. x<-1或 x>1 ； D. x<0 ；
B
分析： ①确定谁是定义中的条件p
②利用集合思想画数轴解决问题
例3：
理解概念
形成概念
感知概念
深化概念
小结作业
深化概念
Ⅰ)认清条件和结论.
Ⅱ)考察是否有 p q 和 q p
即原命题与逆命题的真假
小结：
理解概念
形成概念
感知概念
深化概念
小结作业
小结作业
1.掌握充分、必要、充要条件的概念;
2.判断条件和结论间的逻辑关系时应注意：
一、复习引入
小 结
作 业
复 习
新 课
（2）因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。
所以并不能得到a一定为0。
3、例 :判断下列命题的真假。 （1）若x>a2+b2，则x>2ab 。 （2）若ab=0,则a=0。
真命题
假命题
解（1）因为若x>a2+b2 ，而a2+b2 2ab，所以可以
得到 x>2ab 。
一、复习引入
小 结
作 业
复 习
新 课
解（1）原命题：若一个三角形有两个角相等，则这个
三角形是等腰三角形。
（2）原命题：若a2>b2，则a>b。
逆命题：若一个三角形是等腰三角形，则这个
三 角形有两个角相等。
4、例， 将（1）改写成“若p，则q”的形式 并判断下列命题的真假及其逆命题的真假。 （1）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （2）若a2>b2，则a>b。
逆命题：若a>b，则a2>b2。
真命题
真命题
假命题
假命题
一、复习引入
在真命题（1）中，p是q成立所必须具备的前提。 在假命题（2）中，p不是q成立所必须具备的前提。
在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。 在假命题（2）中条件p不充分。
（1）若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。 （2）若a2>b2，则a>b。
5、在原命题中研究条件对结论的制约程度
6、在逆命题中研究结论对条件的依赖程度
小 结
作 业
复 习
新 课
练习1 用符号 与 填空。 （1） x2=y2 x=y； （2）内错角相等 两直线平行； （3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数；（4）ac=bc a=b
1、如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。
二、新课
小 结
作 业
新 课
复 习
2、如果命题“若p则q”为假，则记作p q 。
二、新课
定义2：如果已知q p，则说p是q的必要条件。
1、定义1：如果已知p q，则说p是q的充分条件。
① p q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q
② q p，相当于Q P ，即 Q P 或 P、Q
③ p q，相当于P=Q ，即 P、Q
有它就行
缺它不行
同一事物
2、从集合角度理解：
定义3：如果既有p q，又有q p，就记作 则说p是q的充要条件。
p q，
复 习
小 结
作 业
新 课
二、新课
例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件
复 习
小 结
作 业
新 课
如果已知p q，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。
3、简化定义：
1、充分条件的特征是：当p成立时，必有q成立，但当p不成立时，未必有q不成立。因此要使q成立，只需要条件p即可，故称p是q成立的充分条件。
2、必要条件的特征是：当q不成立时，必有p不成立，但当q成立时，未必有p 成立。因此要使p成立，必须具备条件q，故称q是p成立的必要条件。
如何正确理解充分条件与必要条件
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的充分条件？
(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
(2) 若x > 5，则x > 10。
解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
所以命题（1）中的p是q的充分条件。
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
4、判别步骤：
5、判别技巧：
判别充分条件与必要条件
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？
(1) 若x=y，则x2=y2。
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
(3) 若a>b，则ac>bc。
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，
所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
练习3 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的必要条件？
(1) 若a+5是无理数，则a是无理数。
(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。
解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，
所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。
分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。
所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。
二、新课
复 习
小 结
作 业
新 课
答：命题（1）为真命题：
练习4，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 –4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sin =sin 是 = 的充分条件； （4）ab 0是a 0的充分条件。
=
=
命题（2）为真命题；
命题（3）为假命题；
命题（4）为真命题。
三、小结
如果已知p q，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。
① 认清条件和结论。
② 考察p q和q p的真假。
① 可先简化命题。
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
1、定义：
2、判别步骤：
3、判别技巧：
新 课
复 习
作 业
小 结
能 力 测 试
1、用符号“充分”或“必要”填空：
（1）“0（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形
为正方形”的 条件。
（3）“xy > 0”是“ x+y = x + y ”的 条件。
（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”
的 条件。
充分
必要
充分
充分
四、作业
1、课本P14练习2（1）（2） 2、课本P14习题1.2 A组 2(1)(2) 3(1)(3)(5) B组 1
新 课
复 习
小 结
作 业(共21张PPT)
充分条件与必要条件
构 思
指导思想
教材
教学目标
教学过程
教学评价
說
教法、学法
一、指导思想
人本主义学习理论
代表人——罗杰斯
1)“教为主导，学为主体”
的辩证统一的教学观
2)“独立性与依赖性相统一”
的心理学发展观
3)“学会学习”的学习观
建构主义学习理论
代表人——皮亚杰
二、教材分析
Ⅰ、教材所处的地位、作用
简易逻辑
充要条件
简单命题
逻辑联结词
复合命题
四种命题
（初中只学
过两种）
初三
正确表述
合情推理
认识问题
研究问题
Ⅱ、教学内容
充要条件
充分条件与必要条件的概念（第一课时）
充 要 条 件
（第二课时）
充分条件
必要条件
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
Ⅲ、教学重、难点和关键
关键
难点
重点
充分条件、必要条件和充要条件的判断
必要条件的判断
命题真假的证明
三、目标分析
教学目标
知识目标
能力目标
德育目标
能求出已知条件的充要条件
逻辑思维能力
证明推理能力
阅读自学能力
辩证唯物主义观
思维品质
科学的学习态度和创新意识
充要条件的四种表现形式及其定义
四、教法分析、学法指导
五、教学过程
4、如果命题“若p则q”为假，则记作p q。
3、若命题“若p则q”为真,记作p q（或q p）。
互 逆
原命题
若p则q
逆命题
若q则p
否命题
若 则
逆否命题
若 则
互
为
为
互
否
逆
逆
否
互
否
互
否
互 逆
2、四种命题及相互关系：
1、命题：可以判断真假的语句，
可写成：若p则q。
复习旧知
引入新课
例 “若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0
x2>0；
“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，
两三角形面积相等.
可写成：两三角形全等
一般地，如果已知p
q，那么我们就说，p是q的充分条件，
q是p的必要条件.
在上面是两个例子中，
“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件
“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件
“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
课时一
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x2=y2.
q：三角形的三个角相等..
⑵ p：三角形的三条边相等；
分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：
⑴由p
q ，即x=y
⑵由p
课时一
x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
q,即三角形的三边相等
三角形的三角相等,知p是q的充分条件,q是p的必要条件;
课时一
课堂练习：课本P35练习：1、2
答案： 1填在课本上（略）
2⑴∵p
q，∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
p，∴p是q的必要条件, q是p的充分条件
q，∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
又∵q
p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
q,∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
又∵q
p，
∴ q也是p的充分条件,p也是q的必要条件
⑵∵q
⑶∵p
⑷∵p
课时一
①从命题角度看
引申
把命题“若x>0,则x2>0” 与命题“若两三角形全等,则两三角形面积相等”中的条件与结论分别记作p与q ,则原命题与逆命题同p与q的关系之间有什么联系呢
㈠如果原命题是真命题,那么p是q的充分条件
㈡如果逆命题是真命题,那么p是q的必要条件
㈢如果原命题是假命题,那么p是q的不充分条件
㈣如果逆命题是假命题,那么p是q的不必要条件
课时一
②从集合角度看
引申
⑴p是q的充分条件，相当于
，即:
或
⑵p是q的必要条件，相当于
，即:
或
q
p等价于
⑶q
P相当于
P=Q
,即:互为充要的两个条件表示的是——同一事物。
作业:课本习题：1.8第1、3（1）（2）（3）
一、复习上节课的内容(略)
二、指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴p：x>2，q：x>1；
⑵p：xy>0 ，q：x>0 ,y>0
⑶p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.
课时二
解：
⑴∵x>2
x>1，
∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵∵ x>0 ,y>0
xy>0
∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.
⑶ ∵x=0,y=0
x2+y2=0，
∴p是q的充分条件,q是p的必要条件;
又∵ x2+y2=0
x=0,y=0,
∴q是p的充分条件,p是q的必要条件.
在问题⑶ 中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，
充分必要条件又简称充要条件 。
新课
课时二
一般地，如果既有p
这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 。
q，
又有
q
p
就记作
q
P。
,故p不是q的必要条件，
例：
1)p:x是6的倍数，
q:x是2的倍数。
其中
p
q
,故p是q的充分条件，
但是q
p
所以, p是q的充分不必要条件.
新课
课时二
,故p不是q的充分条件，
2)p:x是2的倍数，
q:x是6的倍数。
其中
q
p
,故p是q的必要条件，
但是p
q
所以, p是q的必要不充分条件.
,故p是q的充分条件，
3)p:x既是2的倍数,也是3的倍数
q:x是6的倍数。
其中
q
p
,故p是q的必要条件，
而且p
q
所以, p是q的充要条件.
新课
课时二
,故p不是q的必要条件，
4)p:x是4的倍数，
q:x是6的倍数。
其中
p
q
,故p不是q的充分条件，
而且q
p
所以, p是q的既不充分也不必要条件.
课堂练习：课本P练习：1，2；
答案： 1填在课本上（略）
2、（口答）⑴充分不必要条件
⑵、充分不必要条件
⑶、充要条件
⑷、必要不充分条件
课时二
①从命题角度看
引申
若把命题中的条件与结论分别记作p与q ,则原命题与逆命题同p与q之间有如下充要关系：
㈠若原命题是真命题,逆命题是假命题,那么p是q的充分不必要条件
㈡若原命题是假命题,逆命题是真命题,那么p是q的必要不充分条件
㈢若原命题和逆命题都是真命题,那么p和q互为充要条件
㈣若原命题和逆命题是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件
充分不
必要条件
必要不
充分条件
充要
条件
既不充分也
不必要条件
p
q
q
p
p
q
p
q
p
q
p
q
q
P
p
q
q
p
即:
即:
即:
即:
课时二
②从集合角度看
引申
⑴p是q的充分不必要条件，相当于
,如右图:
⑵p是q的必要不充分条件，相当于
,如左图:
⑶q
P相当于
P=Q
作业:课本练习：1，2
,即:互为充要条件的两个事物表示的是——同一事物。如右图:
归纳总结
六、评价分析
诊断性评价
（教学前）
形成性评价
（教学中）
总结性评价
（教学后）
根本目的:
为改进和发展教学积累经验，在教学中能更有效的调动师生积极性，提高教学效果，增强学生的学习效率，从而提高教学质量。(共20张PPT)
充分条件与必要条件
2、四种命题及相互关系
1、命题：可以判断真假的语句
可以写成：若p则q。
复习旧知
引入新课
4、如果命题“若p则q”为假， 则记作p q.
3、若命题“若p则q”为真,
记作p q（或q p）.
原命题 若 p则 q
逆命题 若 q则 p
否命题 若 p 则 q
逆否命题若 q 则 p
互逆
互逆
互否
互否
互为
逆否
3、若命题“若p则q”为真,
例 “若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0
x2>0；
“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题,
两三角形面积相等.
可写成：两三角形全等
一般地，如果已知p
q，那么我们就说，
p是q的充分条件，
q是p的必要条件.
在上面两个例子中，
“x>0”是“x2>0”的 ，“x2>0”是“x>0”的
“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的
“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的
一.充分条件与必要条件
充分条件
必要条件
充分条件
必要条件.
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x2=y2.
q：三角形的三个角相等.
⑵ p：三角形的三条边相等；
分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
x2=y2， 知p是q的
⑵由p
q,即三角形的三边相等
三角形的三角相等,
解:(1) 由p q ,即x=y
反过来，由q p，即三角形的三个角相等 三角形的三条边相等，q也是p的充分条件，p也是q的必要条件．
充分条件，q是p的必要条件.
知p是q的充分条件,q是p的必要条件;
课堂练习：课本P35练习：1、2
答案： 1填在课本上(略）
2⑴∵p
p，
q，∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
p，∴p是q的必要条件, q是p的充分条件
q，∴p是q的充分条件， q是p的必要条件
又∵q
p∴q也是p的充分条件p也是q的必要条件.
q,∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
又∵q
∴ q也是p的充分条件,p也是q的必要条件
⑵∵q
⑶∵p
⑷∵p
二.充要条件
在例1的第(2)小题中,”三角形的三条边相等”既是三角形的三个角相等”的充分条件,又是”三角形的三个角相等”的必要条件,我们就说,”三角形的三条边相等”是”三角形的三个角相等”的充分必要条件,简称充要条件.
一般地,如果既有p q,又有q p,就记作
P q
这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件，
我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 。
例：
“x是6的倍数”
是“x是2的倍数”
的充分不必要条件
“x是2的倍数”
是
“x是6的倍数”
的必要不充分条件
“X既是2的倍数也是3的倍数”是
的既不充分也不必要条件
“x是6的倍数”
“x是４的倍数”
是
“x是６的倍数”的
充要条件
条件p与结论q的四种关系
p
q
p
q
p是q的充分
不必要条件
p是q的必要
不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分
也不必要条件
p
p
q
q
p
q
p
q
p
p
q
q
p
q
归纳
back
例２
指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
(1)p: (x-2)(x-3)=0; q: x-2=0
(2)p: 同位角相等; q: 两直线平行
(3)p: x=3; q: x2=9
(4)p: 四边形的对角线相等
q: 四边形是平行四边形
Go to 1
Go to 2
解：
(1) q:（x-2)=0 p:(x-2)(x-3)=0
(x-2)(x-3)=0 （x-2)=0
所以p是q的
back
（２）同位角相等 两直线平行
所以p是q的
必要不充分条件
充要条件
(3)p:x=3 q:x2=9
x2=9 x=3
所以p是q的
back
充分不必要条件
4)p:四边形的对角线相等 q:四边形是平行四边形
四边形是平行四边形 四边形的对角线相等
所以p是q的
既不充分也不必要条件
课堂练习：课本P36练习：1，2；
答案： 1.填在课本上（略）
2.（口答）
⑴充分不必要条件
⑵.充分不必要条件
⑶.充要条件
⑷.必要不充分条件
①从命题角度看
引申
若把命题中的条件与结论分别记作p与q ,则原命题与逆命题同p与q之间有如下关系：
㈠若原命题是真命题,逆命题是假命题,
㈡若原命题是假命题,逆命题是真命题,
㈢若原命题和逆命题都是真命题,
㈣若原命题和逆命题是假命题,
充分不
必要条件
必要不
充分条件
充要
条件
既不充分也
不必要条件
即:
即:
即:
即:
那么p是q的充分不必要条件
那么p是q的必要不充分条件
那么p和q互为充要条件
那么p是q的既不充分也不必要条件
back
p
q
q
p
q
p
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
q
p
②从集合角度看
引申
⑶
p q,相当于P=Q , 即:互为充要条件的两个事物表示的是——同一事物。如右图:
⑴p是q的充分不必要条件，相当于P Q,如右图
⑵p是q的必要不充分条件,相当于P Q ,如左图
back
例３（用集合的方法来判断下列
各题中的p是q的什么条件）
１．p:菱形 q:正方形
2. p: x>4 q: x>1
解：１．由图１可知p是q的
２．由图２可知p是q的
p:菱形
q:正方形
图１
q
p
0
1
4
图２
必要不充分条件
充分不必要条件
练习
设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么（ ）
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
丙
甲（乙）
情况２
情况１
甲
乙
丙
从集合的角度考虑
A
解法２（常规解法－－画线型流程图）
丙 乙 甲
从而丙是甲的充分不必要条件
小结
充分条件、必要条件、充要条件的概念
充分条件、必要条件的正确判断
从定义出发
从命题角度考虑
从集合角度考虑
充要条件
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