2021-2022学年上学期人教版九年级数学同步练习：
第21章21.1
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合；
B、是一元二次方程，故此选项符合；
C、不是一元二次方程，故此选项不符合；
D、不是一元二次方程，故此选项不符合；
故选：B．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：A、方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【答案】B
【详解】
解：方程x2+x-1=0的一个正实数根为a，
∴a2+a-1=0，
∴a2=-a+1，
∴a3=-a2+a=-(-a+1)+a=2a-1，
∴2a3+a2-3a=2×(2a-1)-a+1-3a=4a-2-a+1-3a=-1．
故选：B．
4．方程化为一般形式后，的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：由原方程移项，得
，
所以．
故选：C．
5．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：A、∵，
∴，
根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当=0，b≠0时，一元一次方程，当时是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故选择：A．
本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．
6．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】
解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．
故选：B．
7．若关于的方程有一个根是1，则等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】C
【详解】
解：把x=1代入方程x2-2x+a=0得1-2+a=0，
解得a=1．
故选：C．
8． a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】A
【详解】
解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
9．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
解：由题意可知：a﹣2＝0，
∴a＝2，
∵a+2≠0，
∴a的值为2，
故选：C．
10．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
【答案】C
【详解】
A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
11．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
12．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
A．，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意．
B．，含有两个未知数，故该选项不符合题意．
C．，不是整式方程，故该选项不符合题意．
D．，a可能为0，即二次项系数可能为0，故该选项不符合题意．
故选：A．
13．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：A、方程是一元一次方程，故选项不符合题意；
B、不是整式方程，故选项不符合题意；
C、方程只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程，符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意．
B、未知数的最高次数是4；故选项不符合题意；
故选：C．
14．若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】
解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：A．
15．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
【答案】B
【详解】
解：∵a﹣b+c＝0，
∴a×12﹣b×1+c＝0，
∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1．
故选：B．
16．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A．a=1 B．a=-1 C．a=±1 D．a=0
【答案】A
【详解】
解：依题意得：|a| 1＝0且a+1≠0，
解得a＝1．
故选A．
17．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y+x2﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣3y+5＝0 D．2x﹣6＝
【答案】B
【详解】
A、是二元二次方程，故A错误；
B、是一元二次方程，故B正确；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：B．
18．关于x的方程ax23x21是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a0 B．a＞0 C．a0 D．a＞1
【答案】C
【详解】
解:∵ax2-3x+2=1是一元二次方程
∴a≠0
故选C
19．下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①；②；③；④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
解：是一元二次方程，
是二元二次方程，
是分式方程，
是一元二次方程，
所以一元二次方程有两个，
故选：
20．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2021﹣2a＋2b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
【答案】A
【详解】
解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
所以原式＝2021﹣2（a﹣b），
＝2021﹣2×1，
＝2021﹣2，
＝2019，
故选：A．
二、填空题
21．把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
【答案】-6
【详解】
解：
所以一元二次方程的常数项为：
故答案为：
22．如果关于x的方程有一个根为2，那么m=_________．
【答案】9
【详解】
把x=2代入方程中，得：4-12+m-1=0
解得：m=9
故答案为：9
23．如果m是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2m2+4m＝_____．
【答案】6．
【详解】
解：由题意可知：，
∴，
∴，
故答案为：6．
24．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．
【答案】②③④
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF＝EF＝2，∠EAF＝60°，
∴
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝90°-∠BAE＝75°，即③正确
∵CB＝CD，
∴CB﹣BE＝CD-DF，
∴CE＝CF，即②正确；
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF＝EF＝
设正方形的边长为：x，则BE＝x-，
Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴BE+DF＝2（x-）＝2（-）＝-≠2，即①错误；
四边形面积＝x2＝＝，即④正确．
故答案为：②③④．
25．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
【答案】2022
【详解】
解：由题意可得：
a+b+1=0，
∴a+b=-1，
∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，
故答案为2022．
三、解答题
26．巳知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
【答案】（1）2a2+3a+1；（2）6
【详解】
解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）x2+x﹣＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程x2+x﹣＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
27．关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）m=1；（2）见解析．
【详解】
解：（1）把x=1代入原方程得1+m+m-3=0 解得：m=1
（2）证明：△=m2-4（m-3）=（m-2）2+8
∵（m-2）2≥0
∴（m-2）2+8＞0，即△＞0，
∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
28．化简求值：，其中是一元二次方程的解．
【答案】原式=，当=-2时，原式=5
【详解】
原式=
=
解方程得
=3，=－2
∵时分式无意义
∴当x=－2 时，
原式
29．若是一元二次方程的根，求的值．
【答案】
【详解】
解：由题可得：是方程的根，
∴；
∴，将其代入代数式中：
∴原式＝
＝
＝．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中，点C在x轴的正半轴上，且．
（1）求的面积：
（2）将直线向下平移6个单位长度得到直线，直线与y轴交于点E，与直线交于点D，过点E作y轴的垂线，若点P为y轴上一个动点，Q为直线上一个动点，求的周长的最小值：
（3）在（2）的条件下，直线上找一点M，使得是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或
【详解】
（1）∵（）分别与x轴、y轴交于A、B两点
∴点，点
根据题意得：
∴
∴，
∵，且
∴
∴
∴或（舍去）
∴
∵
∴
∴，点
∴的面积；
（2）根据（1）的结论，得直线：
将直线向下平移6个单位长度得到直线：
∴点
设直线：
∴
∴，
∴直线：
∵直线与直线交于点D
∴
∴，，即点
过点E作y轴的垂线，得直线：
如图，作点D关于y轴的对称点R，连接；作点D关于直线的对称点N，连接；连接，交y轴于点，交直线于点；
∴，，，，，
∴，，，
如图，分别连接、，
当点和点重合，点和点重合时，
∵
∴的周长的最小值为：；
（3）根据（2）的结论直线：，设点
∴，，，
∴
是等腰三角形，分三种情况分析：
当时，得
∴
∴
∴
∴，即三角形成立；
∴；
当时，得
∵
∴等式不成立；
当时，得
∴或
∴，
当时，
∴，即三角形成立
当时，
∴，即三角形成立
∴或
∴存在点M使得是等腰三角形，M的坐标为或或．
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第21章21.1
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．设方程x2+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
4．方程化为一般形式后，的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C．D．
6．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若关于的方程有一个根是1，则等于（ ）
A． B． C．3 D．1
8． a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
9．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a﹣2＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．2 D．3
10．下列是一元二次方程的是（ ）
A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0
11．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
12．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
13．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
14．若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
15．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定
16．若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A．a=1 B．a=-1 C．a=±1 D．a=0
17．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y+x2﹣1＝0 B．x2+3＝0 C．x﹣3y+5＝0 D．2x﹣6＝
18．关于x的方程ax23x21是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a0 B．a＞0 C．a0 D．a＞1
19．下列方程中，一元二次方程共有（ ）
①；②；③；④；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2021﹣2a＋2b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
二、填空题
21．把一元二次方程5x（x-3）=6-2x化成一般形式后常数项是___
22．如果关于x的方程有一个根为2，那么m=_________．
23．如果m是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2m2+4m＝_____．
24．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE+DF＝EF；②CE＝CF；③∠AEB＝75°；④四边形面积＝2+，其中正确的序号是_____．
25．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
三、解答题
26．巳知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
27．关于x的一元二次方程．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
28．化简求值：，其中是一元二次方程的解．
29．若是一元二次方程的根，求的值．
30．如图，在平面直角坐标系中，直线：（）分别与x轴、y轴交于A、B两点，其中，点C在x轴的正半轴上，且．
（1）求的面积：
（2）将直线向下平移6个单位长度得到直线，直线与y轴交于点E，与直线交于点D，过点E作y轴的垂线，若点P为y轴上一个动点，Q为直线上一个动点，求的周长的最小值：
（3）在（2）的条件下，直线上找一点M，使得是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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