圆周角定理及其运用

(共23张PPT)
24.1.4 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给
圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义，
给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
不是
是
不是
不是
顶点不在圆上。
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
有一边和圆不相交。
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
生活实践
E
●O
B
D
C
A
你能发现什么规律？
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系
说说你的想法,并与同伴交流.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角定理的证明
H:\第24章圆.课件\圆周角定理的证明.gsp
结论：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。
∠ACB的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系
分析:连接OA,OB,
∵AB=AB
⌒
⌒
∴
∠C=
=1/2∠AOB
∴ ∠ACB的度数等于它所
对的弧AB的度数的一半.
规律：
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系 .
B
A
C
D
E
生活实践
E
●O
B
D
C
A
规律：都相等，都等于圆心角∠AOC的一半
AC所对的圆周角∠ AEC ∠ ABC ∠ ADC的大小有什么关系？
⌒
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
结论:
圆周角的定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
结论:
圆周角的定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个
圆周角相等，它们所对的弧
一定相等．
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四
边形ABCD的对角线把4个内角分成
8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。
A
B
O
C1
C2
C3
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是 。
90°
180°
探究与思考：
·
A
B
C1
O
C2
C3
归纳：定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
定 理
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;
90°的圆周角所对的弦是直径．
　在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
推 论
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
C
B
O
D
E
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
D
A
B
C
O
O
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
练 习
第二课时　应用
回顾：圆周角定理及推论？
思考：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（　　）
2.相等的圆周角所对的弧相等（　　）
3.90°角所对的弦是直径（　　）
4.直径所对的角等于90°（　 　）
5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（ ）
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
例题
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴ △ABC 为直角三角形.
课本　练 习
课堂练习
1.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且
∠BCD=100°，求∠BOD（ 所对的圆心角）
和∠BAD的大小。
探究
3、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。
A
C
B
D
F
·
O
∴△ABC是锐角三角形
解：（1）AB=AC。
证明：连接AD
又∵DC=BD，∴AB=AC。
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有怎样的关系？为什么？