第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试（B）-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（word含答案解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（B）
一、单选题
1．若，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．关于x的方程的解集为（ ）
A．{0} B．{x|x≤0或x>1}
C．{x|0≤x<1} D．{x|x≠1}
3．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
4．已知,则关于的不等式的解集是
A．或 B．或
C． D．
5．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是（ ）
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m6．下列四个命题中的真命题为（ ）
A． x∈Z，1<4x<3 B． x∈Z，5x＋1＝0
C． x∈R，x2－1＝0 D． x∈R，x2＋x＋2>0
7．设四边形的两条对角线为、，则“四边形为菱形”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩( UB)＝（ ）
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
二、多选题
9．下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．若，，则
10．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有：
A． B．
C． D．
12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（ ）
A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为
B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}
C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝
三、填空题
13．某公司有20名技术人员，计划开发，两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件）
类
类 6
今制订计划欲使总产值最高，则类电子器件应开发_______件，最高产值为______万元.
14．已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝_____．
15．设命题：对任意，不等式恒成立.若为真命题，则实数的取值范围是___________.
16．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
四、解答题
17．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
18．若正数x，y满足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．
19．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．
20．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
21．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
22．已知集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，全集U＝R．
（1）当a＝2时，求A∪B和( RA)∩B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
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参考答案
1．B
【解析】解：若，，且，
则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：B．
2．B
【解析】因为，
所以≥0，
所以x≤0或x>1，
所以方程的解集为{x|x≤0或x>1}．
故选：B
3．D
【解析】
又∵－4∴x－1<0．
∴－(x－1)>0．
∴．当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
故选：D
4．A
【解析】
由得：或
不等式的解集为或
故选
5．B
【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0的两个根为m，－n．
因为m＋n>0，
所以m>－n，
所以原不等式的解集是{x|－n故选：B．
6．D
【解析】选项A中，选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；
选项C中，x＝±1，与 x∈R矛盾；
选项D中，由Δ＝1－8＝－7<0可知D正确．
故选：D
7．A
【解析】若四边形为菱形，则对角线；反之若，则四边形为正方形或菱形或等腰梯形，故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件，选A.
8．B
【解析】∵全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，
∴ UB＝{x|x≤1}，
∴A∩( UB)＝{x|0故选：B．
9．BC
【解析】对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；
对于C中，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，，，可得，，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确.
故选：BC.
10．CD
【解析】，，
A．，故错误；
B．，当时，，故错误；
C．，故正确；
D．，，故正确．
故选：CD．
11．AC
【解析】由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；
对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；
对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.
故选：AC
12．AB
【解析】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为 ，故A正确；
当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4为x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b为x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；
由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．
故选：AB
13．20 330
【解析】解：设应开发类电子器件件，则开发类电子器件件.根据题意，得，解得.
由题意，得总产值，当且仅当时，取最大值330.
所以欲使总产值最高，类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
14．1
【解析】∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}，
故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，
由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1．
故答案为：1．
15．
【解析】对于：因为对任意，不等式恒成立，所以对任意，成立，又因为，
所以，即.
若为真命题，则.
故答案为:
16．
【解析】原不等式变形为3x2－5x＋4<0．
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，
3x2－5x＋4<0的解集为 ．
故答案为：
17．（1）4；（2）25．
【解析】（1）因为a、b是正数，
所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．（2）由
因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
18．（1）3x+4y的最小值为5．（2）xy的最小值为．
【解析】（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．
（2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出．
解：（1）∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．
∴
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值为1．
当且仅当x=1，y=时取等号．
∴3x+4y的最小值为5．
（2）∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴5xy≥，
解得：xy≥，当且仅当x=3y=时取等号．
∴xy的最小值为．
19．该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益．
【解析】解：投入商品的资金为万元（），则投入商品的资金为万元，并设获得的收益为万元．
（1）当时，
，当且仅当，即时取“＝”；
（2）当时，
，当时，取“＝”．
∵，∴最大收益为11万元．
∴该个体户可对商品投入3万元，对商品投入2万元，这样可以获得11万元的最大收益
20．（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.
21．详见解析.
【解析】原不等式可化为，
即，
①当即时，；
②当时，即时，原不等式的解集为；
③当即时，，
综上知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
22．（1）A∪B＝{x|－2≤x≤7}；( RA)∩B＝{x|－2≤x<1}；（2）或．
【解析】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，
则A∪B＝{x|－2≤x≤7}， RA＝{x|x<1或x>7}，( RA)∩B＝{x|－2≤x<1}．
（2）∵A∩B＝A，
∴A B．
若A＝ ，则a－1>2a＋3，解得a<－4；
若A≠ ，由A B，得，
解得－1≤a≤
综上，a的取值范围是或 ．
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