第二章一元二次函数、方程和不等式过关检测——2021-2022学年高一上学期数学必修一（人教A版2019）（Word含答案解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式过关检测
考试时间：120分钟，满分150分
姓名 _________ 学号 _________ 得分 _________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人 得分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知，则a-b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则“”是“"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
4．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
{x|-21或x<-2}
C．{x|x>-2或x<1} D．{x|-26．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．命题，成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知实数，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
评卷人 得分
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知，则下列关系中一定正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
12．已知，若对一切实数恒成立，且一元二次方程有实数根﹐则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人 得分
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知正数且，则的最大值和最小值之和为____________.
14．设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解为___________.
15．已知，则的最大值为________．
16．设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②； ③(a＋b)； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
评卷人 得分
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知，，，求证：
（1）；
（2）
18．（10分）已知集合， .
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知快递公司要从地往地送货，，两地的距离为100km，按交通法规，，两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为元/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，
（1）试建立行车总费用元关于车速的函数关系：
（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为多少
20．（12分）已知命题“，，命题．
（1）写出命题，并求为真命题时实数的取值集合；
（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21．（12分）已知实数，，.
（1）求的最小值：
（2）求的最大值.
22．（14分）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
参考答案
1．B
依题意，
则，
所以.
2．A
解：因为，即，解得或，
因为，
所以“”是“”的充分不必要条件．
3．B
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值.
4．D
选项A：由，所以，因此本选项不正确；
选项B：若，，显然，因此本选项不正确；
选项C：若，，显然，因此本选项不正确；
选项D：，因为，所以，因此有，所以本选项正确，
5．A
结合图像易知，
不等式的解集
6．C
结合题意得，解得，
因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是
7．D
命题，成立，
即，成立，则.
又可以推出，反之，推不出，
所以是命题成立的一个充分不必要条件，
8．D
因为，设，则，
．
当且仅当且即，，时等号成立，
9．AC
，A正确；
取，，，B错误；
∵，，∴，C正确；
∴，，∴，∴，D错误.
故选：AC.
10．BC
A选项：∵，
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，，
当且仅当时等号成立，
∴取值范围为，A错误；
B选项：∵
，
由，
当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，B正确；
C选项：∵，
由，
当且仅当时等号成立，
∴最小值为2，C正确；
D选项：∵，
，当且仅当时等号成立，
∴（时等号成立），
最大值为2，D错误.
11．AC
关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
方程的两根为、，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，由的分析过程可知，所以
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
12．AD
解：因为对一切实数恒成立﹐
所以
又因为方程有实数根﹐
所以，
故，
即，
所以，
当且仅当时不等式取等号.
13．17
由，当且仅当，即时等号成立，
解得，得
时，，时，．
故的最大值和最小值之和为.
14．
解:由题可知，不等式的解为，
而，
所以，则，
则不等式，而，则，
所以，解得：，
15．1
，则，
当且仅当即时取等号．
16．①②③
由于a2＋1－a＝，故①恒成立；
由于＝＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当即a＝b＝1时等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，
那么a＝b＝1时等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
17．
证明：（1）∵且，，
∴即；
（2）∵，∴，
又，∴，
∴，∴.
18．（1）；（2）或.
【详解】
（1）∵，
当时，或，所以.
（2），或.
又是的充分不必要条件，所以A是B的真子集.
所以或，
解得或；
19．（1），；（2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.
【详解】
解：（1）设车速为，则时间为，
依题意可得，；
（2），
当且仅当，即时取等号，
所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.
20．（1）；（2）．
【详解】
解：（1）：“，恒成立，
即恒成立，
∵，
∴当时，取得最大值，则，
即．
（2）由得方程的根为或，
①若，即时，，
若是的必要不充分条件，
则是的充分不必要条件，则，
即，得，此时；
②当，即时，解集，满足，
③若，即时，，
若，则，得，此时，
综上，．
21．（1）；（2）.
【详解】
解：（1）
因为，，所以，
当且，即时，等号成立.
所以的最小值为
（2）因为，
又，所以，
故
当且仅当，即，时，等号成立.
故取得最大值
22．
（1）对于平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）点是点的“上位点”，，.
，
点是点的“下位点”，
，
点是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件：在时恒成立.
由（2）中的结论可知，，时满足条件.
若，由于，
则不成立.
因此，的最小值为.
试卷第2页，共2页