2021春北师版九下数学1.1锐角三角函数课件(两课时，共24张PPT)

(共24张PPT)
1锐角三角函数(1)
梯子是我们日常生活中常见的物体.如图，梯子AB和EF的顶端都靠在同一面墙壁上，而下端都在地面上。
（1）在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
可以用梯子的顶端放在墙上位置的高低及梯子的底端离墙的远近来判断。
梯子的倾斜角的大小
α
β
3m
3m
2m
4m
（2）如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子的顶端到地面的高度与其底端到墙的水平距离的比值相同时，梯子就一样陡。
比值大的梯子陡。
α
β
1
知识点
正切的定义
如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，
B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
A
B1
C2
C1
B2
B
C
(1) Rt AB1C1和Rt AB2C2有什么关系？
(2) 有什么关系
(3)如果改变B2在梯子AB上的位置呢？由此你能得出什么结论
C
B
归 纳
改变点B2的位置， 的值始终不变，等于
正切的定义：
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A，
即tan A＝
说明：tan A表示锐角A的正切，一般省略“∠”，但当用三个字母表示角时，不能省略“∠”．如tan ∠ABC.
如图,梯子AB的倾斜程度与tanA有怎样的关系
议一议
B
C
2
知识点
正切的应用
1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，tanA＝
tanA的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
例1下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中
乙梯中
∵ tanα> tanβ
∴甲梯更陡
4 m
┐
8 m
α
甲
甲梯
A
B
C
β
乙
5 m
┌
13 m
乙梯
D
E
F
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3.坡度越大,坡面越陡。
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
i
3
知识点
坡度和坡角
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则tan A＝___．
由正切定义可知tan A＝
因为 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得
tan A＝
练 习
2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____．
根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是(　　)
A. B．3 C. D．
4、 一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值(　　)
A．都没有变化 　　 B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
5、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　 )
A．2 B. C. D.
D
D
A
总 结
2、倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
3、利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
1、正切的定义：
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A，
即tan A＝
4、坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度，
二要明确坡度其实就是坡角的正切．
1锐角三角函数(2)
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比
叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA=
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
复习回顾
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗
结论:
在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠ A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
想一想
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正
弦,记作sinA,即
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
锐角A的正弦,余弦,正切和都是做∠A的三角函数.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
sinA=
cosA=
想一想
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:
sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗
想一想
例1 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6
求:BC的长.
老师期望:
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.
200
A
C
B
┌
解:在Rt△ABC中,
例题解析
求:AB, sinB.
10
┐
A
B
C
例2如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,
老师期望:
注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系
例题解析
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
求:△ABC的周长.
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
5
5
6
A
B
C
┌
D
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
┐
A
B
C
课内练习
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
4.已知∠A, ∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
A
B
C
┌
课内练习
C
=
=
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
老师提示:
模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.
┍
┌
A
C
B
D
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
课内练习
7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(2)BC=3,sinA= , 求AC和AB.
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3
4
┌
A
C
B
3
4
(1)
(2)
课内练习
定义中应该注意的几个问题:
小结 拓展
1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
小结 拓展
6. 锐角三角函数定义:
请思考:在Rt△ABC中,
sinA和cosB有什么关系
tanA=
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
sinA=
cosA=