空间中点线面的位置关系3T
认识平面
基本事实1：
基本事实2：
基本事实3：
推论1：
推论2：
推论3:
例题1.下列图形中,不一定是平面图形的是 ( )
A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四条边相等的四边形
例题2.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是 ( )
①A∈a,a∈α A∈α;
②A a,a α A α;
③A∈a,a α A α.
A.0 B.1 C.2 D.3
例题3.若平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有 条
证明：三点交于一线
证明：三线交于一点
例题4.如图所示，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP，DC的延长线交于K.求证M、N、K三点共线.
例题5.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中.M、N分别为AA与AB的中点.求证：DM、DA、CN三线共点
点线面的位置关系
线线关系
共面直线：1. ：
2. ：
异面直线：
线面关系
：
：
：
面面关系
：
：
例题1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
例题2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是 ( )
相交 B.异面 C.平行 D.垂直
例题3.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面
例题1.如图所示.在正方体中.AA1与BB1 位置关系： ；BA1与CC1位置关系： ；BB1与DD1位置关系：
例题2.如图所示.在正方体中.A1A与平面DD1C1C位置关系: ; AC与平面ABCD位置关系： ；A1C1与ABB1A1位置关系：
例题3.如图所示.在正方体中.平面ABCD与平面A1B1C1D1位置关系：
平面AA1B1B与平面ABCD位置关系：
第一二三题 第四题 第五题
例题4.如图所示,正方体木料ABCD-A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成
例题5.如图所示,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
明日复明日，明日何其多二、空间直线、平面平行
1.线线平行
基本事实4：
（互补相等）定理：
线线所成角:
判定证明：
1.（中位线）三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触）并且等于第三边的一半。
2.（平行四边形\矩形\菱形\正方形）--------两组对边平行且相等
3.（传递性--基本事实4）平行于同一直线的两条直线平行。
4.（线面平行的性质）：如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
5.（面面平行的性质）：如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
6.（线面垂直的性质之一）：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
例题1.下列图形中,不一定是平面图形的是 ( )
A.三角形 B.菱形 C.梯形 D.四条边相等的四边形
例题2.如图所示，在三棱锥S MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面
例题3.已知正方体ABCD A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
例题4.已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10 C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
例题5..已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2.线面平行
判定定理：
性质定理:
注：（外线与交线平行，证明线线平行）
判定证明：
1.定义：证明直线与平面无公共点；
2.判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3.面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
例题1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（ ）
A.不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在
例题2.如图1，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面
图1 图2 图3
例题3.已知l，m是两条直线，是平面，若要得到“l∥”，则需要在条件“m，l∥m”中另外添加的一个条件是___________。
例题4.如图2，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件 _________ 时，A1P∥平面BCD。
例题5.如图3，在直四校柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB = 2CD，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，设F是棱AB的中点。
证明：直线EE1∥平面FCC1·
3.面面平行
判断定理：
性质定理：
判定证明：
如果一个平面内有两条相交直线与都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
2.如果两个平面都垂直同一条直线,那么这两个平面是互相平行的。
例题1.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，aα，bα，cβ，dβ，则α与β的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对
例题2.已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有_________个。
例题3.在棱长为a的正方体ABCD - A1B1C1D1中，M，N分别是校A1B1，B1C1的中点，P是校AD上一点，AP =，若P，M，N组成的平面与棱CD交于点Q，则PQ =_________ .
第3题 第4题
例题4.如图所示，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，C1B1，C1D1的中点，点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动，则H满足条件 _________ 时，有BH∥平面MNP.
例题5.如图所示，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD = 2AB， P， Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.
明日复明日，明日何其多三、空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直
(直角三角形-勾股定理的逆定理)：利用线线构成三角形。
(三垂线定理):平面上的一条线和过平面上的一条斜线的影垂直，则这条直线与斜线垂直。
(线面垂直的性质):当一条直线垂直于一个平面时，则这条直线垂直于平面上的任何一条直线，简称线面垂直则线线垂直。
例题1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交
例题2.如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
例题3.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
例题4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条.
例题5.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
例题5.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
2.线面垂直：
判定定理：
性质定理：
垂足： 垂面: 垂线:
线面所成角：
判定证明:
(线面判定定理)如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
例题1、判断题
（1）若直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直。 （ ）
（2）若直线与平面内的所有直线垂直，则直线与平面垂直。 （ ）
（3）若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直。 （ ）
（4）若直线与平面内的两条直线垂直，则直线与平面垂直。 （ ）
例题2、直线平面，直线，则与的位置关系为
例题3、如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边。则能保证该直线与平面垂直的为（ ）
例题4、如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=，
求证：PD⊥平面ABCD
（难）例题5、如图所示,几何体是某圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是 的中点.
(1)设P是 上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角的大小.
3.面面垂直：
判定定理：
性质定理：
判定证明：
1.（判定定理）：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
推论：2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）
例题1.若平面α⊥平面β,直线a∥平面α,则( )
A.直线a⊥平面β B.直线a∥平面β C.直线a与平面β相交 D.以上都有可能
例题2.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )
A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α
例题3.如图所示,四棱锥的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=a,E为PA的中点.
求证:平面EDB⊥平面ABCD.
（性质题）例题4.如图所示,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角。
明日复明日，明日何其多
