2018-2019学年山东省潍坊市奎文区八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2018-2019学年山东省潍坊市奎文区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
3．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠2且x≠3 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
4．（3分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值（　　）
A．扩大10倍 B．缩小10倍
C．是原来的100倍 D．不变
5．（3分）若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
6．（3分）下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．
如图，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
7．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．90° B．135° C．150° D．180°
8．（3分）如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论中不正确的是（　　）
A．CD＝DN B．△ACN≌△ABM C．∠1＝∠2 D．BE＝CF
9．（3分）对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（　　）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB上一点，DE∥CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足（　　）
A．PB＝PD B．PC＝PE C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为（　　）
A．8 B．11 C．13 D．14
12．（3分）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有（　　）
①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共18分.把答案填写在题中横线上.）
13．（3分）若代数式的值等于零，则x＝　 　．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B＝　 　．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝65°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，连接BD，则∠DBC＝　 　．
17．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：
①AE＝CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③EF＝AB；
④S四边形AEPF＝S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），
上述结论中始终正确的有　 　（把你认为正确的结论的序号都填上）．
18．（3分）有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1＝，a2＝，a3＝，…an＝（n≥2且a为正整数），则a2018＝　 　．
三、解答题（本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（6分）计算：
（1）12a2b4 （）÷（﹣）；
（2）（） ．
20．（8分）先化简代数式÷（﹣x﹣2），再从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE，点B、F、E、C在一条直线上，求证：△ABE≌△DCF．
22．（12分）按下列要求分别作图：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；并利用尺规作图作出线段PD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（2）如图2是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画出与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形．（注：有几个画几个）
23．（10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F．
求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）△GFC是等边三角形．
24．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C，求证：CD＝AB+BD．
25．（12分）[特例探究]
在等边△ABC中，点D、E分别是直线AC、AB上的点，且AE＝CD，BD与EC交于点F．
（1）若点D、E在线段AC、BA上，如图①．猜想：BD　 　CE，∠BFE＝　 　度；
（2）若点D、E在AC、BA的延长线上，如图②，以上结论是否成立？并说明理由．
[问题推广]
在等腰△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D、E分别在AC、OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB＝α，如图③，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．
2018-2019学年山东省潍坊市奎文区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠2且x≠3 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴（x+1）（x﹣2）≠0，
∴x≠﹣1且x≠2，
故选：D．
4．（3分）如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值（　　）
A．扩大10倍 B．缩小10倍
C．是原来的100倍 D．不变
【分析】x，y都扩大成原来的10倍就是分别变成原来的10倍，变成10x和10y．用10x和10y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【解答】解：用10x和10y代替式子中的x和y得：＝＝，则分式的值不变．
故选：D．
5．（3分）若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，
∴m＝5，n＝7，
则m+n的值是：12．
故选：C．
6．（3分）下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．
如图，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
【分析】利用基本作图得到OD＝OE，EC＝DC，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等．
【解答】解：由作图可得OD＝OE，EC＝DC，
而OC＝OC，
所以根据“SSS”可判定△OCD和△OCE全等．
故选：C．
7．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．90° B．135° C．150° D．180°
【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：B．
8．（3分）如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论中不正确的是（　　）
A．CD＝DN B．△ACN≌△ABM C．∠1＝∠2 D．BE＝CF
【分析】∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF可得△ABE≌△ACF，三角形全等的性质BE＝CF；∠BAE＝∠CAF可得∠1＝∠2；由ASA可得△ACN≌△ABM．CD＝DN不能证明成立．
【解答】解：在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，
即∠1＝∠2，
∵△ABE≌△ACF，
AB＝AC，
在△ACN≌△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）．
CD＝DN不能证明成立，
故选：A．
9．（3分）对于任意的x值都有＝+，则M，N值为（　　）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
【分析】先计算+＝，根据＝+得，解之可得．
【解答】解：+＝＝，
∴，
解得：，
故选：B．
10．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB上一点，DE∥CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足（　　）
A．PB＝PD B．PC＝PE C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE
【分析】如图，作点P关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
【解答】解：如图，作点D关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
由对称性可知：∠APD＝∠APD′，
∵∠CPB＝∠APD′，
∴∠CPB＝∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠CPB＝∠DPE，
故选：D．
11．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为（　　）
A．8 B．11 C．13 D．14
【分析】根据角平分线的定义，可得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，根据平行线的性质，可得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，根据等腰三角形的判定，可得OD＝BD，OE＝CE，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
∵DE∥BC，
∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，
∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，
∴DO＝BD，OE＝EC．
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．
故选：D．
12．（3分）如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有（　　）
①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR＝∠PAS，AR＝AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ＝PQ，利用等边对等角易得∠1＝∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC＝2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC＝2∠1，等量代换，从而有∠PQC＝∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
【解答】解：（1）PA平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，AP＝AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR＝∠PAS，
∴PA平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS＝AR；
（3）∵AQ＝PQ，
∴∠1＝∠APQ，
∴∠PQS＝∠1+∠APQ＝2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∴∠PQS＝∠BAC，
∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP＝∠CSP，
∵PR＝PS，
∴△BRP不一定全等于△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分.把答案填写在题中横线上.）
13．（3分）若代数式的值等于零，则x＝　0　．
【分析】直接利用分式的值为零条件进而分析得出答案．
【解答】解：∵代数式的值等于零，
∴x2﹣x＝0，x﹣1≠0，
解得：x＝0．
故答案为：0．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为40°，则∠B＝　65°或25°　．
【分析】根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
【解答】解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD＝90°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°；
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝∠DAB＝25°．
故答案为65°或25°．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝3，CE＝2，则DE＝　5　．
【分析】首先证明∠DBA＝∠CAE，然后再根据AAS定理证明△BDA≌△AEC，根据全等三角形的性质可得DA＝CE，AE＝DB，进而得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°，
在△BDA和△AEC中，
，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴DA＝CE＝2，AE＝DB＝3，
∴ED＝5．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝65°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，连接BD，则∠DBC＝　15°　．
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠A，由线段垂直平分线的性质可求得∠ABD，则可求得∠DBC．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．
故答案为：15°．
17．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：
①AE＝CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③EF＝AB；
④S四边形AEPF＝S△ABC，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），
上述结论中始终正确的有　①②④　（把你认为正确的结论的序号都填上）．
【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【解答】解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE＝∠CPF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，
∴AP＝CP，
又∵AP＝CP，∠EPA＝∠FPC，∠EAP＝∠FCP＝45°
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，
∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF＝S△ABC，①②④正确；
∵旋转过程中，EF的长度的变化的，故EF≠AB，③错误，
始终正确的是①②④，
故答案为①②④．
18．（3分）有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1＝，a2＝，a3＝，…an＝（n≥2且a为正整数），则a2018＝　2　．
【分析】求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后求解可得．
【解答】解：∵a1＝，a2＝＝＝2，a3＝＝＝﹣1，a4＝＝＝，……
∴这列数每3个数为一周期循环，
∵2018÷3＝672…2，
∴a2018＝a2＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（6分）计算：
（1）12a2b4 （）÷（﹣）；
（2）（） ．
【分析】（1）先根据分式的乘法进行计算，把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算即可；
（2）先算括号内的加法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）12a2b4 （）÷（﹣）
＝﹣18a3b （﹣）
＝36a；
（2）（）
＝[+]
＝
＝
＝
＝
＝．
20．（8分）先化简代数式÷（﹣x﹣2），再从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件得出x≠2，x≠0，x≠3，最后把x＝1代入求出答案即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝
＝﹣，
∵x﹣2≠0，x≠0，x﹣3≠0，
∴x≠2，x≠0，x≠3，
∴取x＝1，
当x＝1时，原式＝﹣＝2．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE，点B、F、E、C在一条直线上，求证：△ABE≌△DCF．
【分析】根据平行线性质求出∠B＝∠C，求出BE＝CF，根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
22．（12分）按下列要求分别作图：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；并利用尺规作图作出线段PD．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
（2）如图2是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画出与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形．（注：有几个画几个）
【分析】（1）作∠CAB的平分线交BC于点P，作PD⊥AB即可；
（2）根据网格和全等三角形的判定即可画出与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；线段PD即为所求；
（2）如图2中与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形有6个．
23．（10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F．
求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）△GFC是等边三角形．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACE＝∠BCD，根据全等三角形的判定得出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出△GDC≌△FEC，求出GC＝FC，根据等边三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝60°，
由平角定义可得∠GCF＝60°＝∠FCE，
又由（1）可得∠GDC＝∠FEC，
在△GDC和△FEC中
∴△GDC≌△FEC（AAS），
∴GC＝FC，
又∵∠GCF＝60°，
∴△GFC是等边三角形．
24．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C，求证：CD＝AB+BD．
【分析】在DC上取DE＝BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB＝AE，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C＝∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE＝CE，然后即可得证．
【解答】证明：如图，在DC上取DE＝BD，
∵AD⊥BC，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE，
又∵∠B＝2∠C，
∴2∠C＝∠C+∠CAE，
∴∠C＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∴CD＝CE+DE＝AB+BD．
25．（12分）[特例探究]
在等边△ABC中，点D、E分别是直线AC、AB上的点，且AE＝CD，BD与EC交于点F．
（1）若点D、E在线段AC、BA上，如图①．猜想：BD　＝　CE，∠BFE＝　60　度；
（2）若点D、E在AC、BA的延长线上，如图②，以上结论是否成立？并说明理由．
[问题推广]
在等腰△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D、E分别在AC、OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB＝α，如图③，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．
【分析】[特例探究]（1）证明△ACE≌△CBD，得BD＝CE，∠ACE＝∠CBD，即可推出∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°；
（2）证明△ACE≌△CBD，得BD＝CE，∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，即可推出∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°；
[问题推广]证明△AEC≌△CDB，得∠E＝∠D，即可推出∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ECA＝∠OAC＝α．
【解答】【特例探究】
解：（1）猜想：BD＝CE，∠BFE＝60°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠CBD，
∴∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°，
故答案为：＝，60；
（2）（1）中的结论均成立．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，
∴∠CAE＝∠BCD＝120°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，
∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°；
【问题推广】
解：∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO＝α，
∠EAC＝∠DCB＝180°﹣α，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（SAS），
∴∠E＝∠D，
∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ACE＝∠CAO＝α．