2.1.1倾斜角和斜率 同步学案（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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2.1.1倾斜角和斜率
要点一　直线的倾斜角
1．倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_正方向_与直线l__向上__方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是_ _，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_ _．
【知识技巧】
由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的.
要点二　直线的斜率
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的_正切__值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝__ ___.
2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝__ __，当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
3．斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_直线的倾斜程度_．
【方法技巧】
斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围) α＝0 ° 0 °＜α＜90 ° α＝90 ° 90 °＜α＜180 °
斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°.(　　)
(2)若k是直线的斜率，则k∈R.(　　)
(3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．(　　)
(4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．(　　)
【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　)
A．0° B．45°C．60° D．90°
【答案】A
【解析】∵k＝＝0，∴θ＝0°.
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B. C．1 D.
【答案】A
【解析】由题意可知，k＝tan 30°＝.故选A.
4．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数a的值是________．
【答案】
【解析】依题意：kAB＝kAC，即＝，解得a＝.
题型一　求直线的倾斜角
【例1】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋40°
B．α－140°
C．140°－α
D．当0°≤α＜140°时为α＋40°，当140°≤α＜180°时为α－140°
【答案】D
【解析】根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤a＜140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α＜180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故D.
【方法技巧】
求直线倾斜角的两点注意：
①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0 °，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90 °.
②注意直线倾斜角的取值范围是0 °≤α＜180 °.
【方法技巧】
求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
【变式训练】
1.如图，直线l的倾斜角为(　　)
A．60° B．120° C．30° D．150°
【答案】D　
【解析】由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2.一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　)
A．α B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
【答案】(2)D
【解析】(2)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.
题型二　求直线的斜率
【例2】
(1)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率；
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．
【解析】(1)l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝.
∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－.
(2)当a＝3时，斜率不存在；
当a≠3时，直线的斜率k＝.
【方法技巧】
1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
3．涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
【变式训练】
(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
【答案】(1)－5　(2)1
【解析】(1)直线AB的斜率k＝tan 135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)由斜率公式k＝＝1，得m＝1
题型三　直线斜率的应用
【例3】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
【分析】结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90 °时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90 °时，则有k≤kPA.
【解析】如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
【方法技巧】
①直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90 °时．直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
②直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0 °≤α＜90 °时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90 °＜α＜180 °时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
【变式训练】
1.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【解析】(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是[，].
1．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
【答案】A　
【解析】因为斜率k＝＝1，所以倾斜角为45°.
2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1【答案】D　
【解析】由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，∴k13．若点A(－1，－2)，B(4,8)，已知AB的方向向量为(1，k)，则实数k的值为(　　)
A． B．－ C．2 D．－2
【答案】C　
【解析】AB的方向向量坐标为(4＋1,8＋2)，即(5,10)．又(1，k)也是AB的方向向量，∴k＝＝2.]
4．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
【答案】D　
【解析】根据题意，画出图形，如图所示．
A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.]
5．如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[0,2]
C． D．(0,3]
【答案】B　
【解析】如图，经过(1,2)和(0,0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0≤k≤2.故选B.]
6．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍，则点P的坐标为________．
【答案】(－5,0)　
【解析】[设P(x,0)，由条件kPA＝2kPB，则＝2×，解得x＝－5，故P(－5,0)．]
7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
【答案】(3,0)或(0,3)
【解析】　[由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m,0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3,0)或(0,3)．]
8．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】　[由k＝＝＞0得a＞1或a＜－2.]
9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
【解析】∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.∴kAB＝kAC.
∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线．
10．已知直线l的倾斜角α的范围是45°≤α≤135°，求直线l的斜率k的范围．
【解析】分类讨论：当α＝90°时，l的斜率不存在；
当45°≤α＜90°时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]．
∴l的斜率不存在或斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　)
A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2
B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2
C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2
D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2
【答案】ABC
【解析】当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．]
12．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A． B． C．－ D．－
【答案】C　
【解析】设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－.]
13．(一题两空)直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．
【答案】30°　　
【解析】如图所示．
∵直线l的倾斜角为150°，∴绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan α＝tan 30°＝.
14．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为________．
【答案】(－∞，－1]∪[3，＋∞)　
【解析】如图，要使l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间．当直线l的倾斜角为钝角时，∵直线PA的斜率为＝－1，∴k∈(－∞，－1]，
当l的倾斜角为锐角时，又直线PB的斜率为＝3，∴k∈[3，＋∞)．故k∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
15．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．
【解析】(1)由斜率公式得kAB＝＝0，
kBC＝＝，kAC＝＝.
倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内，∵tan 0°＝0，
∴直线AB的倾斜角为0°.∵tan 60°＝，∴直线BC的倾斜角为60°.
∵tan 30°＝，∴直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为
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