冀教版九年级数学下册30.2 第1课时 二次函数y=ax?的图像和性质 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
30.2 二次函数的图像和性质
第1课时 二次函数y=ax2的
图像和性质
第三十章 二次函数
课时导入
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
回顾旧知
知识点
二次函数y=ax2的图像
知1－讲
感悟新知
1
　　在同一直角坐标系中，画出函数y = x2 和
y =－x2 的图象，这两个函数的图象相比， 有
什么共同点？有什么不同点？
知1－讲
感悟新知
函数图象画法
列表
描点
连线
注意：列表
时自变量取
值要均匀和
对称
知1－讲
感悟新知
想一想
在图中画出 y= x2的图
象.它与y=x2，y=2x2的图像有
什么相同和不同？
知1－讲
感悟新知
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图像
(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
知1－讲
感悟新知
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
函数y= x2, y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点
知1－讲
总 结
感悟新知
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.
不同点：
相同点：
知1－讲
感悟新知
特别提醒
用描点法可以画出任意一个二次函数的图像. 用描点法画出的图像只是二次函数图像的一部分，并且是
近似的. 在画二次函数图像时，图像必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图像越精确，
但也要具体问题具体分析.
抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画
“出头”，左右两侧必须保持关于对称轴对称.
感悟新知
知1－练
例 1
在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2和
y3＝ x2的图像，正确的是图中的(　　)
D
知1－练
感悟新知
当x＝1时, y1, y2, y3的图像上的对应点分别是(1, 2),
(1, －2), (1， ), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B, C；在第一象限内, y1的对应点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
导引：
感悟新知
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图像，下列说法错误的是(　　)
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图像关于x轴对称
C
感悟新知
知1－练
2 关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有
(　　)
①它们的图像都是抛物线；②它们的图像的对称轴都
是 y轴；③它们的图像都经过点(0，0)；④二次函数 y
＝2x2的图像开口向上，二次函数y＝－2x2的图像开口
向下；⑤它们的图像关于x轴对称．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
感悟新知
知1－练
若二次函数y＝ax2的图像过点P(－2，4)，
则该图像必经过点(　　)
A．(2，4)　 B．(－2，－4)
　 C．(－4，2)　 D．(4，－2)
A
感悟新知
知1－练
函数y＝ax－2与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
4
A
知识点
二次函数y＝ax2的性质
知2－讲
感悟新知
2
议一议
观察二次函数y=x2与 y =－x2的图象，你能发现什么问题？
感悟新知
知2－讲
感悟新知
知2－讲
抛物线
y=x2
y=－x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0.
当x=0时，最大值为0.
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
知2－讲
感悟新知
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=－2时，y=4
当x=－1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=－2时，y=－4
当x=－1时，y=－1
当x=1时，y=－1
当x=2时，y=－4
知2－讲
感悟新知
要点解读
1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y 随x 的增大
而增大，“下坡路”就是y 随x 的增大而减小.
2. 在二次函数y=ax2（a ≠ 0）中，a 的正负决定开口
方向，|a| 决定开口的大小．|a| 越大， 抛物线开口越小， 反之，|a| 越小， 抛物线开口越大．
3. 二次函数y=-ax2（a ≠ 0）与y=ax2（a ≠ 0） 的图
像关于x 轴对称.
知2－练
感悟新知
已知函数y＝－ x2，不画图象，回答下列各题．
(1)开口方向：______；
(2)对称轴：_____；
(3)顶点坐标：______；
(4)当x＞0时，y随x的增大而______；
(5)当x____时，y＝0；
(6)当x____时，函数值y最____，是___．
导引：根据二次函数y＝ax2(a≠0)的性质直接作答．
向下
y轴
减小
（0, 0）
=0
=0
大
0
例2
感悟新知
a(地平线)
例 3
知2－练
已知抛物线y＝4x2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0
时，y1 ________ y2.
导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1，
将它们分别代入y＝4x2中，得y1＝16，
y2＝4，所以y1＞y2.
方法二：在平面直角坐标系中画出抛
物线y＝4x2，如图，显然y1＞y2.
方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小，所以y1＞y2.
＞
知2－讲
总 结
感悟新知
方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的
值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；
方法二运用数形结合思想，根据题意画出图像，利用
图象来解题；
方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达
式的特点，结合图像的性质进行判断．
感悟新知
知2－练
不画图像，请指出函数y＝－9x2图像的开口方向、对称轴、顶点坐 标以及最高(或最低)点．
1
开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)，最高点为(0，0)．
解：
感悟新知
知2－练
先指出抛物线y＝－ x2的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后再画出它的图像.
2
开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．
图像如图．
解：
课堂小结
二次函数
1. 画函数图像的步骤有哪些？
2. 二次函数y=ax2的图像有哪些性质？