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6.2 角
【提升训练】
一、单选题
1．若∠A＝，∠B＝，则（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
2．已知，自顶点引射线，若，那么的度数是（ ）
A．10° B．40° C．70° D．10°或70°
3．钟表上12时15分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．120° B．90° C．82.5° D．60°
4．和的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且,那么的另一半落在的( )
A．另一边上 B．内部; C．外部 D．以上结论都不对
5．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
6．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中正确的有（ ）
①由两条射线所组成的图形叫做角；
②两点之间，线段最短：
③两个数比较大小，绝对值大的反而小：
④单项式和多项式都是整式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．190 B．380 C．231 D．462
9．如图所示，点在点的北偏东60°，，则射线的方向是（ ）
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A．北偏西50° B．西偏北50° C．北偏西40° D．北偏西30°
10．已知，，射线平分，则的度数为（ ）
A．20° B．40° C．20°或30° D．20°或40°
11．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）21教育网
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A．85° B．105° C．125° D．160°
12．在海面上，灯塔位于艘船的北偏东，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
A．北偏东 B．南偏西
C．北偏东 D．南偏西
13．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形的个数是（ ）
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A． B． C． D．
14．2时30分，时针与分针所夹的锐角是( )
A． B． C． D．
15．如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若∠BOC＝∠AOD，则∠BOC的度数为（ ）
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A．22.5° B．30° C．45° D．60°
16．甲看到乙的方向是北偏东，则乙看到甲的方向是（ ）
A．南偏东 B．南偏东 C．南偏西 D．南偏西
17．如图，下列说法中不正确的是（ ）
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A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠AOC也可以用∠O表示
C．∠β＝∠BOC D．图中有三个角
18．下列说法，正确的是( )
A．经过一点有且只有一条直线
B．两条射线组成的图形叫做角
C．两条直线相交至少有两个交点
D．两点确定一条直线
19．已知锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）21·cn·jy·com
A．68.5° B．22° C．51.5° D．72°
20．如图，若∠BOC：∠AOC＝1：2，∠AOB＝63°，且OC在∠AOB的内部，则∠AOC＝（ ）
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A．78° B．42° C．39° D．21°
21．下面图形中，射线是表示北偏东60°方向的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
22．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．30° B．25°
C．20° D．15°
23．OB是∠AOC内部一条射 ( http: / / www.21cnjy.com )线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4
24．如图，∠AOB是直角，OA平分∠COD，OE平分∠BOD，若∠BOE=23°，则∠BOC的度数是（ ）
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A．113° B．134° C．136° D．144°
25．已知∠A=60°24′，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″，则( )
A．∠A>∠B>∠C B．∠A>∠B=∠C
C．∠B>∠C>∠A D．∠B=∠C>∠A
26．如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=20°,则∠AOB等于( ).
A．50° B．40° C．30° D．20°
27．钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数是（ ）
A．120° B．105° C．100° D．90°
28．下列说法中正确的是( )
A．8时45分，时针与分针的夹角是30° B．6时30分，时针与分针重合
C．3时30分，时针与分针的夹角是90° D．3时整，时针与分针的夹角是90°
29．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：
①； ②；
③； ④
其中正确的个数有（ ）
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A．个 B．个 C．个 D．个
30．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
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A．30° B．35° C．36° D．45°
31．4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55° B．65°
C．70° D．以上结论都不对
32．将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=50°，则∠AED 的大小是（ ）
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A．65° B．50° C．75° D．55°
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
33．如图①，在长方形ABCD中，E点在A ( http: / / www.21cnjy.com )D上，并且∠ABE=28°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n°，则∠DEC的度数为____度．2·1·c·n·j·y
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34．如图，已知∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针旋转，当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．___________秒后，OC与OD的夹角是30°．2-1-c-n-j-y
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35．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是_________．21*cnjy*com
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36．一副三角板如图摆放，若，则的度数是__________．
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37．如图，点依次在直线上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，直线保持不动，设旋转时间为t秒，现以射线中两条为边组成一个角，使射线为该角的角平分线，此时t的值为_______．
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三、解答题
38．如图，已知，，是的角平分线，求的度数．
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39．如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠MOB．
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（1）若∠AOC＝36°，求∠CON的度数；
（2）若∠CON＝60°，求∠AOC的度数．
40．（1）特例感知：如图1，OC、OD是内部的两条射线，若，，则 °．
（2）知识迁移：如图2，OC是内部的一条射线，若OM、ON分别平分和，且，则的值为 ．www.21-cn-jy.com
（3）类比探究：如图3，OC、OD是内部的两条射线．若OM、ON分别平分和，且，求的值．
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41．如图，点在同一条直线上，为直角，将绕点在直线上方旋转（大于，且小于或等于），射线是的平分线．【出处：21教育名师】
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（1）当时，求的度数﹔
（2）若恰好将分成了的两个角，求此时的度数．
42．如图，在内．
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（1）如果和都是直角．
①若，求的度数；
②猜想与的数量关系；
（2）如果，，求的度数（用含、的式子表示）．
43．（1）计算：
（2）如图，平分，，．求的度数．
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44．已知直线与射线相交于点．
（1）如图，，射线平分，求的度数；
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（2）如图，，射线在的内部，射线在的内部，且，．若射线使，请在图中作出射线，并求出的度数．
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45．如图，点在直线上，、分别平分、．
（1）当时，
（2）当，时，求的度数；
（3）当时，求的度数；
（4）当时，直接写出的度数（用含的式子表示）．
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46．如图，已知，∠AOB=120°，在∠AOB内画射线OC，∠AOC=40°．
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（1）如图1，求∠BOC的度数；
（2）如图2，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
47．如图，若，射线在的内部，射线，分别是，的平分线．
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（1）当时， ；
（2）当为的平分线时， ；
（3）当射线在内部转动（不与边，重合），求的度数．
48．已知内部有三条射线，其中，平分，平分．
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（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求的度数（用含的式子表示）；
（3）若将题中的“平分”条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ．
49．如图：已知直线AB、CD相于点O，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
50．如图，，平分，平分，且，求的度数．
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51．已知：
（1）如图1，吗？请说明理由．
（2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由．
（3）若，，求的大小．
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52．数学家华罗庚曾说过：“数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com )百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题：21cnjy.com
（1）如图1：射线是的平分线，这时有数量关系：______．
（2）如图2：被射线分成了两部分，这时有数量关系：______．
（3）如图3：直线上有一点，射线从射线开始绕着点顺时针旋转，直到与射线重合才停止．
①请直接回答与是如何变化的？
②与之间有什么关系？请说明理由．
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53．已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠COB
（1）若已知∠AOC＝60°，求∠EOF的大小．
（2）小明说无论∠AOC等于多少度，∠EOF的度数不变，他的说法对吗？
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54．如图，已知，相交于点，，，平分，平分，求．
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55．阅读材料：若，且是钝角，则我们称是的差余角．例如：由，，可得，则是的差余角．21·世纪*教育网
利用以上知识解决下列问题．
已知，点O在直线AB上，是钝角．
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（1）如图1，OD平分，OE平分．
①请你说明：是的差余角；
②写出图中的其它差余角．
（2）如图2，点C和点P在直线AB的上方．若，是的差余角，求的值．
56．已知，∠AOD=120°，若B是∠AOD内任意一点，连接OB．
(1) 如图①，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数．
(2) 如图②，OC是∠BOD内的射线，且∠BOC=20°，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的大小．
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57．已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，，．
（1）如图1，，当OD平分时，求的度数．
（2）如图2，若，且，求的度数（用含的代数式表示）．
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58．如图，OB,OC是AOD内部的两条射线，OM平分AOB，ON平分COD，BOC=40，
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
59．如图，已知是的角平分线，是的角平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，且，求的度数．
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60．如图（1），已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”．请你解决以下问题：
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（1）角的平分线_______这个角的“2倍角线”吗？（填“是”或“不是”）
（2）若，射线为的“2倍角线”，求的度数；
（3）如图（2），已知，射线从出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为t秒．当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值；
（4）若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于180°的角）【来源：21cnj*y.co*m】
61．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
（1）如图1，若，，则__________度；
（2）如图2，若，，若射线在的内部绕点旋转，求 的大小；
（3）在（2）的条件下，若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，求的大小．【版权所有：21教育】
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62．如图，OC平分∠AOB，OD为∠BOC内一条射线，且∠AOD=2∠BOD．
（1）若已知∠AOB=120°，试求∠COD的度数；
（2）若已知∠COD=18°，试求∠AOB的度数；
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63．若A、O、B三点共线，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．
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（1）如图 1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE=_______°；
（2）如图2，将三角板 DOE 绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC 的________；21教育名师原创作品
（3）如图3，将三角板 DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=∠AOE时，求∠BOD的度数；
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC 重合，求t的值．21*cnjy*com
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6.2 角
【提升训练】
一、单选题
1．若∠A＝，∠B＝，则（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．无法确定
【答案】A
【分析】
先把∠B的0.15°化成分，再比较大小．
【详解】
解：∵1°=60′，
∴38.15°=38°+(0.15×60)′=38°9′，
∵∠A＝38°15′，∠B＝38.15°＝38°9′，
∴∠A＞∠B．
故选：A．
【点睛】
本题考查了度分秒的换算和角的比较，掌握度分秒的互化是解决本题的关键．
2．已知，自顶点引射线，若，那么的度数是（ ）
A．10° B．40° C．70° D．10°或70°
【答案】D
【分析】
分为两种情况：①OC和OB在OA的两侧时，②OC和OB在OA的同侧时，分别进行求解即可．
【详解】
∵∠AOB=30°，∠AOC：∠AOB=4：3，
∴∠AOC=40°，
分为两种情况：
当OC和OB在OA的两侧时，如图1
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∠BOC=∠AOB+∠AOC=30°+40°=70°
②OC和OB在OA的同侧时，如图2
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∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°-30°=10°
故选：D．
【点睛】
考查了角的计算，解题关键是分两种情况：OC、OB在OA的两侧时和OC、OB在OA的同侧时．
3．钟表上12时15分时，时针和分针的夹角是（ ）
A．120° B．90° C．82.5° D．60°
【答案】C
【分析】
求出时针和分针每分钟转的角度，由此即可得．
【详解】
因为时针每分钟转的角度为，分针每分钟转的角度为，
所以当钟表上12时15分时，时针转过的角度为，分针转过的角度为，
所以时针和分针的夹角为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了钟面角，熟练掌握时钟表盘特征和时针、分针每分钟转的角度数是解题关键．
4．和的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且,那么的另一半落在的( )
A．另一边上 B．内部; C．外部 D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】
根据题意画出图形，利用数形结合即可得出结论.
【详解】
解：如图所示：
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故选C.
【点睛】
本题考查的是角的大小比较，能根据题意画出图形是解答此题的关键.
5．如图所示，点A、O、E在一条直线上，，那么下列各式中错误的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据角的和与差进行比较，，即；利用，选项D正确，再减去共同角，可得，由此得到正确选项．
【详解】
∵
∴即，所以A正确；
∵
∴，所以D正确；
∴即，所以B正确．
故选C．
【点睛】
考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．
6．计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先进行度、分、秒的乘法除法计算，再算减法．
【详解】
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了度、分、秒的四则混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．
7．下列说法中正确的有（ ）
①由两条射线所组成的图形叫做角；
②两点之间，线段最短：
③两个数比较大小，绝对值大的反而小：
④单项式和多项式都是整式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据角的定义、线段的性质、有理数的大小比较及整式的定义逐一分析可得．
【详解】
①两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故①错误；
②两点之间，线段最短，故②正确：
③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故③错误：
④单项式和多项式都是整式，故④正确．
正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角的定义，线段的性质，有理数的大小比较以及整式的定义，熟记理解相关的定义内容是解题的关键．21·世纪*教育网
8．如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）【版权所有：21教育】
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A．190 B．380 C．231 D．462
【答案】C
【分析】
根据画一条、两条、三条射线时可以得出的角的个数整理出当画n条射线可以得出的角的个数，然后进一步求解即可.
【详解】
∵在内画一条射线时，则图中共有 个角；
在内画两条射线时，则图中共有个角；
在内画三条射线时，则图中共有个角；
以此类推，所以画n条射线时，则图中共有=个角，
∴当在内画20条射线时，图中有的角的个数为：，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了角的概念，熟练掌握相关性质是解题关键.
9．如图所示，点在点的北偏东60°，，则射线的方向是（ ）
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A．北偏西50° B．西偏北50° C．北偏西40° D．北偏西30°
【答案】A
【分析】
利用方位角的定义结合图形分别进行分析判断即可.
【详解】
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如图所示，
∵点在点的北偏东60°，
∴∠FOB=60°，
∵，
∴∠COF=∠BOC ∠FOB=50°，
∴射线OC的方向为北偏西50°，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了方位角问题，熟练掌握相关概念是解题关键.
10．已知，，射线平分，则的度数为（ ）
A．20° B．40° C．20°或30° D．20°或40°
【答案】D
【分析】
先求出∠AOC，分两种情况求出∠BOC，利用平分分别求出的度数.
【详解】
∵，，
∴∠AOC=20，
当OC在∠AOB内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=40，
∵平分,
∴=20；
当OC在∠AOB外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=80，
∵平分,
∴=40，
综上，的度数是20°或40°.
故选：D.
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【点睛】
此题考查角度的和差计算，角平分线的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，根据题意正确画出两种情况的图形是此题的难点，再根据图形中角度的大小关系进行加减计算即可得到所求角的度数.21世纪教育网版权所有
11．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
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A．85° B．105° C．125° D．160°
【答案】C
【分析】
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】
根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
12．在海面上，灯塔位于艘船的北偏东，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
A．北偏东 B．南偏西
C．北偏东 D．南偏西
【答案】D
【分析】
灯塔位于艘船的北偏东，则这艘船位于这个灯塔南偏西.
【详解】
由题意得：这艘船位于这个灯塔南偏西.
故选：D.
【点睛】
此题考查方位角，注意两个物体间的位置关系，相对而言时，所得到的方向是相反的，角度是相同的.
13．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形的个数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据直角三角板可得第一个图形∠β= ( http: / / www.21cnjy.com )45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．
【详解】
根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°，
根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，
第三个图形∠α+∠β=180°，不相等，
根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，
因此∠α=∠β的图形个数共有3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
14．2时30分，时针与分针所夹的锐角是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据时针与分针相距的份数乘以每份的读度数，可得答案．
【详解】
2时30分，时针与分针相距3+=份，
2时30分，时针与分针所夹的锐角30×=105°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
15．如图，两块直角三角板的直角顶点O重合在一起，若∠BOC＝∠AOD，则∠BOC的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】
此题由“两块直角三角板”可知∠DOC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BOA＝90°，根据同角的余角相等可以证明∠DOB＝∠AOC，由题意设∠BOC＝x°，则∠AOD＝7x°，结合图形列方程即可求解．
【详解】
解：由两块直角三角板的直顶角O重合在一起可知：∠DOC＝∠BOA＝90°，
∴∠DOB+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠DOB＝∠AOC，
设∠BOC＝x°，则∠AOD＝7x°，
∴∠DOB+∠AOC＝∠AOD﹣∠BOC＝6x°，
∴∠DOB＝3x°，
∴∠DOB+∠BOC＝4x°＝90°，
解得：x＝22.5．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的简单性质,属于简单题,熟悉直角三角形的性质是解题关键.
16．甲看到乙的方向是北偏东，则乙看到甲的方向是（ ）
A．南偏东 B．南偏东 C．南偏西 D．南偏西
【答案】C
【分析】
首先作出甲与乙的位置示意图，然后可以直接写出．
【详解】
解：乙看甲的方向是南偏西30°．
故选C.
【点睛】
本题考查方向角的定义，理解定义是关键．
17．如图，下列说法中不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠AOC也可以用∠O表示
C．∠β＝∠BOC D．图中有三个角
【答案】B
【分析】
根据角的表示方法：角可以用一个大写 ( http: / / www.21cnjy.com )字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
A、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
B、∠AOC也可用∠O来表示，说法错误；
C、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
D、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
故选B．
【点睛】
考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
18．下列说法，正确的是( )
A．经过一点有且只有一条直线
B．两条射线组成的图形叫做角
C．两条直线相交至少有两个交点
D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】
根据直线的性质、角的定义、相交线的概念一一判断即可．
【详解】
A、经过两点有且只有一条直线，故错误；
B、有公共顶点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；
C、两条直线相交有一个交点，故错误；
D、两点确定一条直线，故正确，
故选D．
【点睛】
本题考查直线的性质、角的定义、相交线的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键.
19．已知锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（ ）
A．68.5° B．22° C．51.5° D．72°
【答案】C
【分析】
根据锐角和钝角的概念进行解答，锐角是大于0°小于直角（90°）的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，求出范围，然后作出正确判断．21*cnjy*com
【详解】
解：∵锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，
∴0＜α＜90°，90°＜β＜180°，
∴22.5°＜＜67.5°，
∴满足题意的角只有51.5°，
故选C．
【点睛】
本题考查了角的计算的知识点，理解锐角和钝角的概念，锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角．
20．如图，若∠BOC：∠AOC＝1：2，∠AOB＝63°，且OC在∠AOB的内部，则∠AOC＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．78° B．42° C．39° D．21°
【答案】B
【分析】
根据∠BOC：∠AOC＝1：2，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题．
【详解】
解：∵∠BOC：∠AOC＝1：2，
∴∠AOC＝∠AOB＝×63°＝42°．
故选B．
【点睛】
本题考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键．
21．下面图形中，射线是表示北偏东60°方向的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据方位角性质,找到北偏东60°即可解题.
【详解】
解：A表示北偏西60°,B表示西偏北60°,C表示北偏东60°,D表示东偏北60°.
故选C.
【点睛】
本题考查了方位角的识别,属于简单题,熟悉方位角的表示方法是解题关键.
22．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
A．30° B．25°
C．20° D．15°
【答案】B
【详解】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
23．OB是∠AOC内部一条 ( http: / / www.21cnjy.com )射线，OM是∠AOB平分线，ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，OQ是∠MOA平分线，则∠POQ∶∠BOC＝（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶5 D．1∶4
【答案】D
【分析】
依据OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，可得∠AOQ=∠AOM=∠AOB，依据ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，可得∠AOP=∠AON=∠AOC=（∠AOB+∠BOC），进而得出∠POQ：∠BOC=1：4．
【详解】
解：∵OM是∠AOB平分线，OQ是∠MOA平分线，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴∠AOQ=∠AOM=∠AOB，
∵ON是∠AOC平分线，OP是∠NOA平分线，
∴∠AOP=∠AON=∠AOC=（∠AOB+∠BOC），
∴∠POQ=∠AOP-∠AOQ
=（∠AOB+∠BOC）-∠AOB，
=∠BOC，
∴∠POQ：∠BOC=1：4，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算．
24．如图，∠AOB是直角，OA平分∠COD，OE平分∠BOD，若∠BOE=23°，则∠BOC的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．113° B．134° C．136° D．144°
【答案】B
【分析】
首先根据OE平分∠BOD，∠BOE ( http: / / www.21cnjy.com )=23°，求出∠BOD的度数是多少；然后根据∠AOB是直角，求出∠AOD的度数，再根据OA平分∠COD，求出∠COD的度数，据此求出∠BOC的度数是多少即可．
【详解】
∵OE平分∠BOD，∠BOE=23°，
∴∠BOD=23°×2=46°；
∵∠AOB是直角，
∴∠AOD=90°-46°=44°，
又∵OA平分∠COD，
∴∠COD=2∠AOD=2×44°=88°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=46°+88°=134°．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了角的计算，以及角平分线的含义和求法，要熟练掌握．
25．已知∠A=60°24′，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″，则( )
A．∠A>∠B>∠C B．∠A>∠B=∠C
C．∠B>∠C>∠A D．∠B=∠C>∠A
【答案】B
【分析】
将∠A、∠B、∠C统一单位后比较即可．
【详解】
∵∠A=60°24′=60.4°，∠B=60.24°，∠C=60°14′24″=60.24°，
∴∠A>∠B=∠C．21·cn·jy·com
故选B．
【点睛】
本题考查了度、分、秒的转化计算，比较简单，注意以60为进制即可．
26．如图,已知∠BOC=2∠AOB,OD平分∠AOC,∠BOD=20°,则∠AOB等于( ).
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】B
【分析】
由题意，根据角平分线的性质可知∠AOD= ∠COD=∠AOC ，根据角之间的等量关系∠BOC=2∠AOB ，∠BOC=∠COD+∠ BOD以及∠AOB=∠AOD- ∠BOD ，进行求解即可．
【详解】
因为OD平分∠AOC ，所以∠COD =∠AOD =∠AOC ；又因为∠BOC=2∠AOB ，所以∠COD+∠BOD=2(∠AOD-∠BOD) ，所以3∠BOD=2 ∠AOD-∠COD =∠AOD =∠COD ；因为∠BOD=20°，所以∠AOB= ∠AOD- ∠BOD =2∠BOD =40°．
【点睛】
本题主要考查角的运算和角平分线的性质定理．
27．钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数是（ ）
A．120° B．105° C．100° D．90°
【答案】B
【分析】
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【详解】
∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∴钟表上2点30分，时针与分针的夹角可以看成3×30°+0.5°×30=105°．
故选B．
【点睛】
本题考查了钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
28．下列说法中正确的是( )
A．8时45分，时针与分针的夹角是30° B．6时30分，时针与分针重合
C．3时30分，时针与分针的夹角是90° D．3时整，时针与分针的夹角是90°
【答案】D
【分析】
画出图形，利用钟表表盘的特征解答．分别计算出四个选项中时针和分针的夹角，进行判断即可．
【详解】
8时45分时，时针与分针的夹角是30°×＝7.5°，故A选项错误，
6时30分时，时针在6和7的中间，分针在6的位置，时针与分针不重合，故B选项错误，
3时30分时，时针与分针的夹角为30°×2.5＝75°，不为直角，故C选项错误，
3时整，时针与分针的夹角是90°
故选D.
【点睛】
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中 ( http: / / www.21cnjy.com )，常利用两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
29．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：
①； ②；
③； ④
其中正确的个数有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】
根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可．
【详解】
解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∵平分，平分，
∴,
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵不能证明，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
【点睛】
本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算.
30．如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．35° C．36° D．45°
【答案】C
【分析】
延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】
解：如图延长BG交CD于G
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BF∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】
本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
31．4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55° B．65°
C．70° D．以上结论都不对
【答案】B
【详解】
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动×30°=5°，4点10分时，分针与时针的夹角是2×30°+5°=65°．
故选B．
点睛：本题考查钟表时针与分针的夹角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
32．将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=50°，则∠AED 的大小是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．65° B．50° C．75° D．55°
【答案】A
【详解】
试题分析：根据折叠的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )得到∠AED=∠AED′，由平角的定义得到∠AED+∠AED′+∠CED′=180°，而∠CED′=50°，则2∠DEA=180°-50°=130°，即可得到∠AED=65°．
点睛：本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，是解决问题的关键．
二、填空题
33．如图①，在长方形ABCD中，E点在 ( http: / / www.21cnjy.com )AD上，并且∠ABE=28°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n°，则∠DEC的度数为____度．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
求∠CED的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出∠CED大小即可．
【详解】
解：折叠后的图形如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ABE=28°，
∴∠BEA'=∠BEA=62°，
又∵∠CED'=∠CED，
∴∠DEC=∠DED'，
∴∠DEC=（180°﹣∠A'EA+∠AED）
=（180°﹣124°+n°）
=（28+n）°
故答案为：（28+n）．
【点睛】
本题综合考查了以长方形、平行线、两 ( http: / / www.21cnjy.com )角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
34．如图，已知∠AOB=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针旋转，当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．___________秒后，OC与OD的夹角是30°．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】12或24
【分析】
设转动t秒，OC与OD的夹角是30°，分两种情况讨论列方程即可得到结论；
【详解】
解：设转动t秒，OC与OD的夹角是30°，
分情况讨论：
①如图1，由题意得：4t＋t＝90 30，
解得：t＝12，
②如图2，由题意得：4t＋t＝90＋30，
解得：t＝24，
∴旋转的时间是12秒或24秒，
故答案为：12或24．
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了角的有关计算，注意分情况讨论是解题的关键．
35．如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据已知条件可直接确定∠AOB的度数，再根据补角的定义即可求解．
【详解】
解：∵OA是表示北偏东方向的一条射线，OB是表示南偏东38°12′方向的一条射线，
∴∠AOB=180°--38°12′=78°56′，
∴∠AOB的补角的度数是180°-78°56′=101°4′．
故答案是：101°4′．
【点睛】
本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强．
36．一副三角板如图摆放，若，则的度数是__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
此题首先根据、的度数利用减法求出的度数，然后根据进行计算即可．
【详解】
解：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角的计算，直角三角形的性质，是基础题，比较简单．
37．如图，点依次在直线上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，直线保持不动，设旋转时间为t秒，现以射线中两条为边组成一个角，使射线为该角的角平分线，此时t的值为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】15s或12s或24s
【分析】
由题意易得∠BON=6t°，∠M ( http: / / www.21cnjy.com )OA=3t°，则有OA与OB重合时，时间为t=20s，进而分①当OA与OB相遇前，又分当∠MON=2∠BON时和当∠AON=2∠BON时；②当OA与OB相遇后，∠AOM=2∠BOM，最后分类列方程进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：∠BON=6t°，∠MOA=3t°，
∴当OA与OB重合时，则有，解得：，
∴①当OA与OB相遇前，即时，
当OB是∠MON的角平分线时，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠MON=180°，
∴，
∴，
当OB是∠AON的角平分线时，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵OB是∠AON的角平分线，
∴，
解得：；
②当OA与OB相遇后，即，
当OB是∠AOM的角平分线时，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴，
∵OB是∠AOM的角平分线，
∴，
解得：；
综上所述：以射线中两条为边组成一个角，使射线为该角的角平分线，此时的值为15s或12s或24s；
故答案为15s或12s或24s．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义、一元一次方程的应用及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、一元一次方程的应用及角的和差关系是解题的关键．
三、解答题
38．如图，已知，，是的角平分线，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】75°
【分析】
根据角的和差性质计算，得∠AOC；根据角平分线的性质计算，得；再根据角的和差性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵∠AOB＝120°，∠BOC＝30°
∴∠AOC＝∠AOB -∠BOC＝90°
又∵OD是∠AOC的角平分线，
∴
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC =45°＋30°＝75°．
【点睛】
本题考查了角的和差和角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角的和差和角平分线的性质，从而完成求解．
39．如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠MOB．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若∠AOC＝36°，求∠CON的度数；
（2）若∠CON＝60°，求∠AOC的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用角平分线的定义结合平角的定义即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合平角的定义即可得出答案．
【详解】
解：（1）OM平分∠AOC，∠AOC＝36°，
∠AOM=∠COM＝∠AOC＝18°，
ON平分∠MOB
（2）设，
根据题意，得
可得
解得
．
【点睛】
本题考查了平角及角平分线的定义，一元一次方程的应用，正确得出的度数是解题的关键．
40．（1）特例感知：如图1，OC、OD是内部的两条射线，若，，则 °．
（2）知识迁移：如图2，OC是内部的一条射线，若OM、ON分别平分和，且，则的值为 ．2·1·c·n·j·y
（3）类比探究：如图3，OC、OD是内部的两条射线．若OM、ON分别平分和，且，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）30；（2）1；（3）
【分析】
（1）根据，可推出，即可求出结果．
（2）根据OM、ON分别是和角平分线，可得出，，通过化简计算从而得到，进而求出比值结果．
（3）根据OM、ON分别是和角平分线，可得到，，，进而求出比值结果．
【详解】
（1）∵
∴，
∴
∵
∴
（2）∵OM、ON分别平分，，
，，
，
，
（3）∵OM、ON分别平分和，
，，
又，
，
，
；
【点睛】
本题主要考察角平分线的性质，角的计算，准确找出题目中的等角，利用等角找出它们之间的联系是解题关键．
41．如图，点在同一条直线上，为直角，将绕点在直线上方旋转（大于，且小于或等于），射线是的平分线．2-1-c-n-j-y
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（1）当时，求的度数﹔
（2）若恰好将分成了的两个角，求此时的度数．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）利用平角的定义求得∠BOC=150，利用角平分线的性质求得∠COE=75，再利用余角的性质即可求得∠DOE=15；21cnjy.com
（1）分：①∠AOC：∠COE=1：2；②∠AOC：∠COE=2：1两种情况讨论，利用平角的定义和角平分线的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
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∴，
∵射线是的平分线，
∴，
∵，
∴；
（1）∵恰好将分成了的两个角，
∴有两种情况：①∠AOC：∠COE=1：2；②∠AOC：∠COE=2：1；
①如答图1，当∠AOC：∠COE=1：2时，
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设∠AOC=，∠COE=，
则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴；
②如答图2，当∠AOC：∠COE=2：1时，
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设∠AOC=，∠COE=，
则，
∵
∴，
解得，，
∴，
∴；
综上所述或．
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形并且运用好有关性质准确计算角的和差倍分是解题的关键．
42．如图，在内．
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（1）如果和都是直角．
①若，求的度数；
②猜想与的数量关系；
（2）如果，，求的度数（用含、的式子表示）．
【答案】（1）①；②；（2）
【分析】
（1）①根据直角的定义先求出∠AOB，再根据角的和差关系即可得出答案；
②先得到，再得出，代入求出即可；
（2）类比②可得：∠AOD+∠BOC=∠BOD+∠AOC，依此代入计算即可求解．
【详解】
解：（1）①∵和都是直角，，
∴，
∴；
②猜想．
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）类比②可得：，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了角的有关计算，主要考查学生根据图形进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．
43．（1）计算：
（2）如图，平分，，．求的度数．
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【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先计算有理数的乘方、将除法转化为乘法、小数化为分数，再计算有理数的乘法与加减法即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】
（1）解：
；
（2）解：，，
，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数混合运算、与角平分线有关的角度计算，熟练掌握各运算法则和角平分线的定义是解题关键．【出处：21教育名师】
44．已知直线与射线相交于点．
（1）如图，，射线平分，求的度数；
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（2）如图，，射线在的内部，射线在的内部，且，．若射线使，请在图中作出射线，并求出的度数．
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【答案】（1）；（2）45°或75°．
【分析】
（1）由可求，由OD是的平分线得，可求；
（2）由，可求∠BOC=60 ，由，设∠BOE=x 可得∠BOD=4x°，∠DOE=3x°由， 可求，可得∠COE=∠BOE=由，可求，当OF在∠EOC内部时，当OF在∠DOC内部时利用角和差计算即可．
【详解】
证明：（1）∵
∴
∵OD是的平分线，
∴．
∴，
∴；
（2）∵，
∴∠BOC=180 -∠AOC=60 ，
∵，
设∠BOE=x ，
∴∠BOD=4x°，∠DOE=3x°，
∵，，
∴，
∴∠COE=∠BOE=，
∵，
∴，
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当OF在∠EOC内部时，
，
当OF在∠DOC内部时，
，
的度数为45°或75°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．21教育名师原创作品
45．如图，点在直线上，、分别平分、．
（1）当时，
（2）当，时，求的度数；
（3）当时，求的度数；
（4）当时，直接写出的度数（用含的式子表示）．
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【答案】（1）18°；（2）130°；（3）110°；（4）90°+x°
【分析】
（1）先求出∠AOC的度数，然后根据角平分线的定义求解即可；
（2）先根据角平分线的定义求出∠AOE和∠BOF的度数，然后可求∠EOF的度数；
（3）由，可知∠AOC+∠BOD=140°，然后根据角平分线的定义可求出∠COE+∠DOF的值，进而可求∠EOF的值；
（4）仿照（3）的步骤求解即可；
【详解】
解：（1）∵，
∴∠AOC=180°-144°=36°，
∵平分，
∴∠COE=∠AOC=18°，
故答案为：18°；
（2）∵、分别平分、，，，
∴∠AOE=，∠BOF=，
∴∠EOF=180°-20°-30°=130°；
（3）∵，
∴∠AOC+∠BOD=180°-40°=140°，
∵、分别平分、，
∴∠COE=，∠DOF=，
∴∠COE+∠DOF=(+)=70°，
∴∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=70°+40°=110°；
（4）∵，
∴∠AOC+∠BOD=180°-x°，
∵、分别平分、，
∴∠COE=，∠DOF=，
∴∠COE+∠DOF=(+)=90°-x°，
∴∠EOF=∠COE+∠DOF+∠COD=90°-x°+x°=90°+x°．
【点睛】
本题考查了角的和差，以及角平分线的定义，正确识图是解答本题的关键．
46．如图，已知，∠AOB=120°，在∠AOB内画射线OC，∠AOC=40°．
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（1）如图1，求∠BOC的度数；
（2）如图2，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【答案】（1）80°；（2）60°
【分析】
（1）利用两个角的和进行计算即可；
（2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出∠DOE═∠AOB即可．
【详解】
解：（1）如图1，
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∵∠AOB =120°，∠AOC =40°；
∴∠BOC=∠AOB－∠AOC
=120°－40°=80°；
（2）如图2，
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∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=（∠AOC+∠BOC）
=∠AOB
=×120°
＝60°．
【点睛】
本题考查角平分线的意义，根据图形直观，得出角的和或差，是解决问题的关键．
47．如图，若，射线在的内部，射线，分别是，的平分线．
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（1）当时， ；
（2）当为的平分线时， ；
（3）当射线在内部转动（不与边，重合），求的度数．
【答案】（1）60；（2）60；（3）60°
【分析】
（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝20°，∠CON＝∠BOC＝（∠AOB-∠AOC）=（120°-40°）=40°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝60°，
故答案为：60；
（2）∵为的平分线，
∴∠AOC=∠BOC=，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝30°，∠CON＝∠BOC=30°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝60°，
故答案为：60；
（3）∵射线，分别是，的平分线，
∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，
∴=∠COM+∠CON=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．
48．已知内部有三条射线，其中，平分，平分．
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（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，若，求的度数（用含的式子表示）；
（3）若将题中的“平分”条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ．
【答案】（1）∠EOF=45°，（2）∠EOF=α，（3）∠EOF=α .
【分析】
(1) 首先求得∠BOC的度数， 然后根据角的平分线的定义和角的和差可得：∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解；
(2) 根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF= ∠BOC+∠AOC= (∠BOC+∠AOC)，即可求解；21教育网
(3) 根据角的等分线的定义可得：∠EOF=∠EOC+∠COF= ∠BOC+ ∠AOC= (∠BOC+∠AOC) =∠AOB，即可求解 .www.21-cn-jy.com
【详解】
解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF= ∠AOC=×30°=15°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF= ∠BOC+ ∠AOC= （∠BOC+∠AOC）= ∠AOB= α；
（3）3∠EOB=∠COB ，3∠COF=2∠COA
即∠EOB=∠BOC，∠COF=∠AOC，
∴∠EOC=∠BOC
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC= （∠BOC+∠AOC）=∠AOB= α．
【点睛】
本题主要考查角的计算及角平分线的定义，角的等分线的定义，注意运算的准确性.
49．如图：已知直线AB、CD相于点O，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）58°；（2）40°
【分析】
（1）根据平角的定义，结合角的和差进行计算；
（2）根据平角的定义，结合角的比进行求解计算．
【详解】
解：（1）直线AB、CD相交于点O
（2），
．
【点睛】
本题考查几何图形中角度的和差计算，理解题意，列出角的和差关系，正确计算是解题关键．
50．如图，，平分，平分，且，求的度数．
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【答案】144°
【分析】
设，然后利用角平分线的定义求得，从而根据角的和差关系列方程求解．
【详解】
解：∵
∴设，则
∵平分，平分
∴
∴
即，解得：
∴．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用和角的和差匀速，正确理解题意，找准角的和差关系，准确列方程计算是解题关键．
51．已知：
（1）如图1，吗？请说明理由．
（2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由．
（3）若，，求的大小．
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【答案】（1），见解析；（2）直线平分，见解析；（3）150°或110°
【分析】
（1）根据角的和差关系可得结论；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）分在内部和外部两种情况进行求解即可．
【详解】
解：（1）．理由如下：
即
（2）直线平分．理由如下：
，
又
直线平分
即直线平分．
（3），
，
①当在内部时，如图所示：
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②当在外部时，如图所示：
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综上所述，的度数为150°或110°．
【点睛】
本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．
52．数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般 ( http: / / www.21cnjy.com )好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题：
（1）如图1：射线是的平分线，这时有数量关系：______．
（2）如图2：被射线分成了两部分，这时有数量关系：______．
（3）如图3：直线上有一点，射线从射线开始绕着点顺时针旋转，直到与射线重合才停止．
①请直接回答与是如何变化的？
②与之间有什么关系？请说明理由．
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【答案】（1）（答案不唯一）；（2）；（3）①逐渐增大，逐渐减小；②，见解析．
【分析】
（1）根据角平分线定义容易得出结论；
（2）根据图形解答；
（3）①由射线从射线开始绕着点顺时针旋转可知逐渐增大，逐渐减小；②由∠AMB是平角即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵射线是的平分线，
∴，
故答案为：（或）；
（2）由图可知，，
故答案为：；
（3）①逐渐增大，逐渐减小；
②．
证明：∵，，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，角的有关计算，注意利用数形结合的思想．
53．已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分∠COB
（1）若已知∠AOC＝60°，求∠EOF的大小．
（2）小明说无论∠AOC等于多少度，∠EOF的度数不变，他的说法对吗？
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【答案】（1）90°；（2）对
【分析】
（1）根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据角平分线的定义求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠AOC＝180°-60°=120°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠COB
∴∠EOC=∠AOC=30°，∠COF=∠BOC=60°
∴∠EOC+∠COF =30°+60°=90°；
（2）小明说的对，理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠COB
∴∠EOC=∠AOC，∠COF=∠BOC
∵∠AOB是平角
∴∠EOC+∠COF =（∠AOC+∠BOC）=×∠AOB=×180°=90°
所以，无论∠AOC等于多少度，∠EOF=90°
【点睛】
本题考查角平分线的定义；角的和差关系．结合图形解题是本题的关键．
54．如图，已知，相交于点，，，平分，平分，求．
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【答案】45°
【分析】
先通过，，求，再求，再根据角平分线的性质求，，利用角的和差即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴
∵，
∴，
∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
55．阅读材料：若，且是钝角，则我们称是的差余角．例如：由，，可得，则是的差余角．【来源：21·世纪·教育·网】
利用以上知识解决下列问题．
已知，点O在直线AB上，是钝角．
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（1）如图1，OD平分，OE平分．
①请你说明：是的差余角；
②写出图中的其它差余角．
（2）如图2，点C和点P在直线AB的上方．若，是的差余角，求的值．
【答案】（1）①见解析，②是的差余角，是的差余角，是的差余角；（2）0或4
【分析】
（1）①由角平分线的定义可知，，然后结合平角定义即可求解；
②结合①的解答求解即可；
（2）分两种情况求解：点P在内部，②点P在内部．
【详解】
解：（1）①∵OD平分，
∴．
∵OE平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的差余角；
②∵，，
∴是的差余角，是的差余角，是的差余角；
（2）是的差余角，
∴，
∴；
①点P在内部，
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∵，
∴，
∴，
则，
∴；
②点P在内部，
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∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上可知，的值是0或4．
【点睛】
本题考查了新定义，角平分线的定义，以及角的和差，正确理解“差余角”的定义是解答本题的关键．
56．已知，∠AOD=120°，若B是∠AOD内任意一点，连接OB．
(1) 如图①，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数．
(2) 如图②，OC是∠BOD内的射线，且∠BOC=20°，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的大小．
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【答案】（1）60°；（2）50°
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠MOB和∠BON，然后根据∠MON=∠MOB+∠BON代入数据进行计算即可得解；
（2）由图②可知，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，根据角平分线的定义求出∠MOC=∠AOC，和∠BON=∠BOD，将其代入到∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC中，然后进行角度的等量转换，即可求得．
【详解】
(1)∵OM平分∠AOB，
∴ ∠MOB=∠AOB，
又 ∵ ON平分∠BOD，
∴ ∠BON=∠BOD，
∴ ∠MON=∠MOB+∠BON，
=∠AOB+∠BOD，
=∠AOD，
=×120°，
=60°；
(2) ∵OM平分∠AOC，
∴ ∠MOC=∠AOC，
又∵ ON平分∠BOD，
∴ ∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，
=∠AOC+∠BOD-∠BOC，
=×(∠AOC+∠BOD)-∠BOC，
=×(∠AOD+∠BOC)-∠BOC，
=(120°+20°)-20°，
=50°．
【点睛】
本题考查了角的计算、角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
57．已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，，．
（1）如图1，，当OD平分时，求的度数．
（2）如图2，若，且，求的度数（用含的代数式表示）．
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【答案】（1）50°；（2）．
【分析】
（1）根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论．
【详解】
解：（1）平分，
，
当时，即.
则
；
（2），，
，，
，则
．
【点睛】
此题主要考查了几何图形中角度计算问题，角平分线的定义以及角的有关计算，熟记角平分线的定义是解决此题的关键．
58．如图，OB,OC是AOD内部的两条射线，OM平分AOB，ON平分COD，BOC=40，
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）∠AOC=80°；（2）∠MON=79°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得，相加可得∠MON的度数；
（2）先求得，根据角平分线的定义可得，相加可得∠MON的度数．
【详解】
（1）∵，平分，
∴，
∴；
（2）∵，
∵平分，平分，
∴，
∴．
【点睛】
本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
59．如图，已知是的角平分线，是的角平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，且，求的度数．
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【答案】（1）100°；（2）22.5°
【分析】
（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果；
（2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD ( http: / / www.21cnjy.com )=x．得∠BOE=45° x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得．
【详解】
解：（1）因为是的角平分线，，
所以．
因为是的角平分线，
所以．
所以．
（2）因为是的角平分线，
所以设．
因为，所以，．
因为是的角平分线，所以
因为，所以，
所以，即．
【点睛】
本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数．
60．如图（1），已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”．请你解决以下问题：
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（1）角的平分线_______这个角的“2倍角线”吗？（填“是”或“不是”）
（2）若，射线为的“2倍角线”，求的度数；
（3）如图（2），已知，射线从出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为t秒．当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值；
（4）若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于180°的角）
【答案】（1）是；（2）为或或；（3）t的值为4或10或16；（4）或．
【分析】
（1）根据角平分线的定义结合2倍角线的概念回答问题；
（2）分三种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求t的值；
（3）分三种情况讨论，列出方程可求t的值；
（4）分六种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求t的值．
【详解】
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”；
故答案为：是；
（2）有三种情况：
①若时，且
∴；
②若时，且
∴；
③若时，且
∴．
综上为：或或
（3）由题意得，运动时间范围为：，则有
①，解得，
②，解得，
③，解得，
综上，t的值为4或10或16
（4）在整个过程，有如下几个临界点：
当OP、OQ共线时，由（3）知，t=4或10或16，
当OP为OA的反向延长线时，t==9，
当OQ为OA的反向延长线时，t==12，
故一共分成6种情况，
①当0＜t≤4时，如图1，
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∠AOP=20t°，∠AOQ=60°+10t°，
若∠AOQ=2∠AOP时，∠AOP=∠AOQ，即20t=60+10t，解得t=6（舍去）；
若∠AOP=2∠AOQ，则20t=120+20t，无解；
若2∠AOP=∠AOQ，则40t=60+10t，解得t=2，
②当4＜t＜9时，如图2，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；
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③当9≤t＜10时，如图3，
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∵∠QOP=360°-60°-20t°-10t°=300°-30t°，则∠AOQ=60°+10t°，
若∠POA=2∠AOQ时，∠QOP=∠AOQ，则300-30t=60+10t，解得t=6；
若∠QOP=2∠AOQ时，则300-30t=120+20t，解得t=3.6（舍去）；
若2∠QOP=∠AOQ时，则600-60t=60+10t，解得t=（舍去）；
④当10≤t≤12时，如图4，
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则∠QOP=（20°+10°）（t-10）=30t°-300°，∠AOP=360°-20t°，
若∠AOQ=2∠AOP时，∠QOP=∠AOP，则30t-300=360-20t，解得t=13.2（舍去）；
若∠QOP=2∠AOP时，则30t-300=720-40t，解得t=14（舍去）；
若2∠QOP=∠AOP时，则60t-600=360-20t，解得t=12；
⑤当12＜t＜16时，如图5，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；
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⑥当16≤t≤18时，如图6，
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则∠QOA=300°-10t°，∠AOP=360°-20t°，
若∠QOP=2∠AOP时，∠QOA=∠AOP，则300-10t=360-20t，解得t=6（舍去）；21*cnjy*com
若∠QOA=2∠AOP时，则300-10t=720-40t，解得t=14（舍去）；
若2∠QOA=∠AOP时，则600-20t=360-20t，无解；
综上，t=2或12．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
61．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
（1）如图1，若，，则__________度；
（2）如图2，若，，若射线在的内部绕点旋转，求 的大小；
（3）在（2）的条件下，若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，求的大小．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】（1）50；（2）；（3）当射线，只有1条在外面时，；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，．
【分析】
（1）先求解 再利用角平分线的性质求解 从而可得答案；
（2）由射线平分，射线平分，可得，，可得 从而可得答案；
（3）分以下两种情况：①当射线，只有1条在外部时，如图3①，②当射线，都在外部时，如图3②，再利用角平分线的性质可得： 结合角的和差可得答案．
【详解】
解：（1） ，，
射线平分，射线平分,
故答案为：50．
（2）∵射线平分，射线平分
∴，
（3）分以下两种情况：
①当射线，只有1条在外部时，如图3①，
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同理可得：
②当射线，都在外部时，如图3②，
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同理可得：
综上所述：当射线，只有1条在外面时，；当射线都在的外部时，．
【点睛】
本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．
62．如图，OC平分∠AOB，OD为∠BOC内一条射线，且∠AOD=2∠BOD．
（1）若已知∠AOB=120°，试求∠COD的度数；
（2）若已知∠COD=18°，试求∠AOB的度数；
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【答案】（1）20°；（2）108°
【分析】
(1)由 OC平分∠AOB，可求 ( http: / / www.21cnjy.com )∠AOC=∠COB=60°，由∠AOD=2∠BOD，可得2∠BOD+∠BOD=120°解方程求出∠BOD=40°，由角的差∠COD=∠BOC-∠BOD=20°即可；
(2)由OC平分∠AOB，推出∠COB= ，由∠AOD=2∠BOD，推出∠BOD=由角和差可得-=18°，求出即可．
【详解】
解：(1)∵∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=60°，
又∵∠AOD=2∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD=120°，
∴2∠BOD+∠BOD=120°，
∴∠BOD=40°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=60°-40°=20°，
(2)∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB= ，
∵∠AOD=2∠BOD，
∴∠AOD+∠BOD=∠AOB，
∴∠BOD=，
∵∠COD=∠BOC-∠BOD=-=18°，
∴∠AOB=6×18°=108°．
【点睛】
本题考查角平分线，三等分线，角的和差，构造方程，掌握角平分线定义，三等分线概念，角的和差计算方法，会利用角的和差构造方程是解题关键．
63．若A、O、B三点共线，∠BOC=50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠DEO=30°）．
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（1）如图 1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE=_______°；
（2）如图2，将三角板 DOE 绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC 的________；
（3）如图3，将三角板 DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=∠AOE时，求∠BOD的度数；
（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，OE恰好与直线OC 重合，求t的值．
【答案】（1）∠COE=40 ；（2）角平分线；（3）∠BOD=58 ；（4）t的值为28或64
【分析】
（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；
（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE ( http: / / www.21cnjy.com )=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；
（3）根据平角等于180°求出即可；
（4）分两种情况：在一周之内，当OE ( http: / / www.21cnjy.com )与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，
又∵∠BOC=50°，
∴∠COE=40°；
故答案为：40°．
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE= ∠COA，
∵∠EOD=90°，
∴∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的角平分线；
故答案为：角平分线．
（3）设∠COD=x°，则∠AOE=4x°，
∵∠DOE=90°，∠BOC=50°，
∴5x=40，
∴x=8，
即∠COD=8°
∴∠BOD=58°．
（4）如图，
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分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，
∴5t=140，
∴t=28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，
∴5t=320，
∴ t=64．
所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合．
综上所述，t的值为28或64．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
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